材料力学复试重点知识总结及习题解析

材料力学复试重点知识总结及习题解析引言材料力学作为工科各专业的重要技术基础课，其核心在于研究构件在外力作用下的内力、应力、变形以及强度、刚度和稳定性问题。复试阶段，考官不仅关注考生对基本概念和公式的掌握程度，更看重其分析问题和解决实际工程问题的能力。本文旨在梳理材料力学复试中的重点知识，并通过典型习题的解析，帮助考生巩固所学，提升应试能力。一、重点知识总结（一）基本概念与基本原理1.材料力学的任务与研究对象：材料力学主要研究构件在外力作用下的受力、变形和破坏规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的理论基础和计算方法。其研究对象主要是杆状构件，即长度远大于横截面尺寸的构件。2.基本假设：*连续性假设：假定材料是连续分布的，忽略其微观不连续性。*均匀性假设：假定材料在宏观上具有均匀的性质。*各向同性假设：假定材料的力学性能在各个方向上相同。*小变形假设：假定构件的变形较小，在建立平衡方程时可以忽略构件尺寸和形状的微小改变。3.外力与内力：*外力包括主动力和约束力，按其作用方式可分为体积力和表面力。*内力是构件内部各部分之间的相互作用力，通过截面法求解。截面法的基本步骤：截开、代替、平衡。*内力分量：轴力（N）、剪力（Q）、弯矩（M）、扭矩（T）。4.应力与应变：*应力是表征构件内部一点受力程度的物理量，包括正应力（σ）和切应力（τ）。应力的单位是帕斯卡（Pa）。*应变是表征构件内部一点变形程度的物理量，包括正应变（ε）和切应变（γ）。应变是无量纲量。*胡克定律：在弹性范围内，正应力与正应变成正比（σ=Eε），切应力与切应变成正比（τ=Gγ）。E为弹性模量，G为切变模量，二者与泊松比ν之间的关系为G=E/[2(1+ν)]。5.材料的力学性能：主要指材料在静载荷作用下的拉伸、压缩、剪切等性能，包括弹性极限、屈服极限、强度极限、伸长率、断面收缩率等指标。低碳钢和铸铁的拉伸、压缩应力-应变曲线是重点。6.强度理论：对于复杂应力状态下的强度问题，需要建立强度条件。常用的四个强度理论（第一至第四强度理论）及其适用范围是重点，特别是第四强度理论（畸变能密度理论）在机械设计中应用广泛。（二）基本变形分析1.轴向拉伸与压缩：*内力：轴力FN，通过截面法求解，轴力图绘制。*应力：横截面上正应力均匀分布，σ=FN/A。*变形：纵向变形Δl=FN*l/(E*A)，横向变形Δb=-ν*Δl*b/l。*强度条件：σ_max=|FN|_max/A≤[σ]。*圣维南原理：在距离载荷作用点一定距离的截面上，应力分布趋于均匀。2.剪切与挤压：*剪切内力：剪力FS，剪切应力τ（假设均匀分布），τ=FS/A_s。*剪切强度条件：τ≤[τ]。*挤压应力：σ_bbs=Fbs/A_bbs（挤压面面积A_bbs的计算需注意是实际接触面积）。*挤压强度条件：σ_bbs≤[σ_bbs]。*应用：连接件（铆钉、螺栓、键等）的强度计算。3.圆轴扭转：*内力：扭矩T，通过截面法求解，扭矩图绘制。*应力：横截面上产生切应力，分布规律为τ_ρ=T*ρ/I_p，最大切应力τ_max=T*R/I_p=T/W_p。I_p为极惯性矩，W_p为抗扭截面系数。*变形：单位长度扭转角θ=T/(G*I_p)，总扭转角φ=T*l/(G*I_p)。*强度条件：τ_max=T_max/W_p≤[τ]。*刚度条件：θ_max=T_max/(G*I_p)≤[θ]（注意单位换算，[θ]常用单位为°/m）。*圆轴扭转变形的叠加。4.弯曲内力：*内力：剪力FS和弯矩M，通过截面法（或直接法、简便法）求解。*剪力图与弯矩图绘制：掌握根据外力（载荷、支座反力）直接绘制内力图的方法，理解荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系（dM/dx=FS，dFS/dx=q）及其在绘制和校核内力图中的应用。*控制截面的确定及最大内力值的计算。5.弯曲应力：*纯弯曲时横截面上的正应力：σ=M*y/I_z，最大正应力σ_max=M/W_z。I_z为截面对中性轴的惯性矩，W_z为抗弯截面系数。*中性轴位置：通过截面形心，且与梁的弯曲平面垂直。*弯曲切应力：矩形截面τ=FS*S_z/(I_z*b)，最大切应力发生在中性轴上。工字形截面腹板上的切应力近似均匀分布。*强度条件：正应力σ_max=M_max/W_z≤[σ]；切应力τ_max=FS_max*S_z_max/(I_z*b)≤[τ]。一般情况下，梁的强度由正应力控制，仅在短梁或受较大剪力的梁（如悬臂梁靠近支座处）需校核切应力。*提高弯曲强度的措施：合理安排受力情况、选择合理截面形状、采用变截面梁等。6.弯曲变形：*挠度w和转角θ：梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移称为挠度，横截面绕中性轴的角位移称为转角，二者关系为θ=dw/dx。*挠曲线近似微分方程：EI*d²w/dx²=M(x)。*积分法求变形：通过对挠曲线微分方程积分，并利用边界条件和连续条件确定积分常数，从而得到挠度方程和转角方程。*叠加法求变形：利用已知简单梁的变形结果，通过叠加原理计算复杂梁（如外伸梁、阶梯梁）在组合载荷作用下的变形。*刚度条件：|w|_max≤[w]，|θ|_max≤[θ]。*简单超静定梁的解法：通过变形协调条件建立补充方程，联立静力平衡方程求解支座反力。（三）组合变形与压杆稳定1.组合变形：*基本概念：构件同时发生两种或两种以上基本变形的情况。*分析方法：将组合变形分解为几种基本变形，分别计算每种基本变形引起的应力，然后进行应力叠加（需注意应力的方向和作用点）。*常见组合形式：*拉伸（压缩）与弯曲组合：例如偏心拉伸（压缩），需计算截面上的最大拉应力和最大压应力。*弯曲与扭转组合：例如传动轴，危险点处于平面应力状态，需应用强度理论进行强度校核。*强度计算步骤：外力分析与简化、内力分析确定危险截面、应力分析确定危险点、应用强度理论建立强度条件。2.压杆稳定：*基本概念：压杆在轴向压力作用下，保持其直线平衡形式的能力。失稳是指压杆从直线平衡状态突然转变为弯曲平衡状态的现象。*临界力Fcr：使压杆开始丧失稳定的最小轴向压力。*欧拉公式：Fcr=π²EI/(μl)²，适用于大柔度杆（细长杆），即λ=μl/i≥λ_p。其中μ为长度系数（与杆端约束有关），i为截面惯性半径（i=√(I/A)），λ为压杆的长细比（柔度）。*临界应力σcr=Fcr/A=π²E/λ²。*中柔度杆和小柔度杆的临界应力：需采用经验公式或试验曲线确定。*稳定条件：F≤Fcr/[n_st]或σ=F/A≤σcr/[n_st]=[σ_st]，其中[n_st]为稳定安全系数。*提高压杆稳定性的措施：减小压杆长度、改善杆端约束、合理选择截面形状、合理选用材料（对细长杆效果不明显）。二、典型习题解析（一）弯曲内力与内力图绘制例题1：试绘制图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出|FS|_max和|M|_max。（梁长l，跨中受集中力F作用）解析：1.求支座反力：由对称性可知，FAy=FBy=F/2，方向竖直向上。2.分段建立剪力方程和弯矩方程：*AC段（0≤x<l/2）：FS(x)=FAy=F/2；M(x)=FAy*x=Fx/2。*CB段（l/2<x≤l）：FS(x)=FAy-F=-F/2；M(x)=FAy*x-F(x-l/2)=F(l-x)/2。3.绘制内力图：*剪力图：AC段为水平线，FS=F/2；CB段为水平线，FS=-F/2。在集中力F作用点C处，剪力图发生突变，突变值等于F。*弯矩图：AC段和CB段均为斜直线。在A、B支座处M=0；在跨中C点，M(l/2)=Fl/4。弯矩图为一三角形。4.确定最大值：|FS|_max=F/2；|M|_max=Fl/4。点评：本题为简支梁受跨中集中力作用，是最基本的弯曲内力问题。求解时需注意剪力方程和弯矩方程的分段，以及内力图的特征（集中力作用处剪力图突变，弯矩图转折；集中力偶作用处弯矩图突变，剪力图不变）。熟练掌握此类基本梁的内力图绘制是解决复杂问题的基础。（二）弯曲正应力强度计算例题2：一矩形截面简支梁（b×h），跨度为l，在全梁上受均布载荷q作用。已知材料的许用应力为[σ]，试求该梁所能承受的最大均布载荷集度q。解析：1.求支座反力及最大弯矩：FAy=FBy=ql/2。最大弯矩发生在跨中截面，M_max=ql²/8。2.计算抗弯截面系数：矩形截面W_z=bh²/6。3.应用弯曲正应力强度条件：σ_max=M_max/W_z≤[σ]。即ql²/8/(bh²/6)≤[σ]。4.求解q：q≤8[σ]bh²/(6l²)=4[σ]bh²/(3l²)。故该梁所能承受的最大均布载荷集度q_max=4[σ]bh²/(3l²)。点评：本题考察弯曲正应力强度条件的直接应用。关键在于正确计算梁的最大弯矩和截面的抗弯截面系数。在计算时，需注意单位的一致性，并明确公式中各参数的物理意义。对于不同截面形状的梁，其W_z的计算公式不同，需熟练记忆。（三）组合变形强度计算例题3：一圆形截面悬臂梁，自由端受一与梁轴线垂直但不通过截面形心的集中力F作用（偏心拉伸与弯曲组合）。已知梁长l，截面直径d，偏心距e，材料的许用拉应力[σ_t]和许用压应力[σ_c]。试校核梁的强度。解析：1.外力分析与变形分解：将集中力F向截面形心简化，得到一个通过形心的轴向拉力F和一个附加力偶矩M=F*e（使梁产生弯曲）。故该梁发生轴向拉伸与弯曲的组合变形。2.内力分析确定危险截面：固定端截面为危险截面。该截面上的内力有：轴力FN=F（拉力），弯矩M_max=F*l+F*e=F(l+e)（若e较小，主要由梁的弯曲产生）。3.应力分析确定危险点：*轴力引起的正应力：σ_N=FN/A=F/(πd²/4)=4F/(πd²)，均匀分布，拉应力。*弯矩引起的正应力：σ_M=M_max/W_z，W_z=πd³/32。最大弯曲拉应力发生在截面的上边缘（或下边缘，取决于弯曲方向），σ_M_max=M_max/W_z=32F(l+e)/(πd³)；另一侧为最大弯曲压应力，大小相等，方向相反。*叠加：危险点可能在最大弯曲拉应力与轴向拉应力叠加处，其总应力为σ_t=σ_N+σ_M_max；另一侧为σ_c=-σ_M_max+σ_N（若σ_N<σ_M_max，则为压应力）。4.强度校核：*最大拉应力σ_t≤[σ_t]*若存在压应力，最大压应力|σ_c|≤[σ_c]点评：组合变形问题的关键在于正确的“分解”与“叠加”。首先将复杂外力分解为基本变形对应的外力，计算各基本变形的内力和应力，然后在危险点处进行应力状态的叠加。对于本题的偏心拉伸（压缩），需注意轴力和弯矩共同作用产生的应力叠加效果，明确危险点的位置。若为弯曲与扭转组合，则需运用强度理论进行校核。（四）压杆稳定计算例题4：一两端铰支的细长压杆，长度为l，横截面为圆形，直径为d，材料的弹性模量为E。试计算该压杆的临界力Fcr和临界应力σcr。若将杆长缩短一半，其他条件不变，临界力变为原来的多少倍？解析：1.确定压杆的长度系数μ：两端铰支，μ=1。2.计算截面惯性矩I和惯性半径i：圆形截面I=πd⁴/64，i=√(I/A)=√[(πd⁴/64)/(πd²/4)]=d/4。3.计算长细比λ：λ=μl/i=1*l/(d/4)=4l/d。因题目已说明是细长杆，故λ≥λ_p，可应用欧拉公式。4.计算临界力Fcr：Fcr=π²EI/(μl)²=π²E*(πd⁴/64)/(l)²=π³Ed⁴/(64l²)。5.计算临界应力σcr：σcr=Fcr/A=[π³Ed⁴/(64l²)]/(πd²/4)=π²Ed²/(16l²)=π²E/λ²（与欧拉公式σcr=π²E/λ²一致）。6.杆长缩短后的临界力：当杆长变为l'=l/2时，λ'=4(l/2)/d=2l/d=λ/2。Fcr'=π²EI/(μl')²=π²EI/((