九年级数学特殊平行四边形练习题

九年级数学特殊平行四边形练习题特殊平行四边形——矩形、菱形与正方形，是九年级平面几何的重要组成部分。它们不仅是平行四边形的延伸与深化，更因其独特的性质在几何证明与计算中扮演着关键角色。掌握这些图形的性质与判定，并能灵活运用，是学好这部分内容的核心。本文将通过一系列有梯度的练习题，帮助同学们巩固基础、提升能力，深化对特殊平行四边形的理解与应用。一、核心知识要点回顾在开始练习之前，让我们简要回顾矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定定理，这是解决所有相关问题的基础。*矩形：有一个角是直角的平行四边形。*性质：四个角都是直角；对角线相等；具有平行四边形的所有性质。*判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形。*菱形：有一组邻边相等的平行四边形。*性质：四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；具有平行四边形的所有性质。*判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形。*正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）。*性质：兼具矩形和菱形的所有性质。*判定：一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形。二、基础巩固练习(一)选择题(每题只有一个正确答案)1.下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A.对边平行且相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等*思路解析与解答：*本题考查矩形与一般平行四边形性质的区别。平行四边形的性质包括对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。而矩形作为特殊的平行四边形，除了具有这些性质外，其独特的性质是四个角为直角和对角线相等。因此，选项D是矩形具有而平行四边形不一定具有的。答案：D。2.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为（）A.5B.6C.7D.8*思路解析与解答：*菱形的对角线互相垂直平分，这是解决本题的关键。我们可以将菱形的两条对角线看作是直角三角形的两条直角边，而菱形的边长则是这个直角三角形的斜边。对角线长分别为6和8，那么它们的一半分别是3和4。根据勾股定理，边长的平方=3²+4²=9+16=25，所以边长为5。答案：A。3.下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（）A.四边相等B.四角相等C.对角线互相垂直且相等D.对角线互相垂直平分且相等*思路解析与解答：*正方形是最特殊的平行四边形，需要同时满足矩形和菱形的判定条件。选项A只能判定是菱形；选项B只能判定是矩形；选项C，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，更不用说是正方形了；选项D，对角线互相垂直平分说明是菱形，对角线相等说明是矩形，既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。答案：D。(二)填空题1.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm。*思路解析与解答：*矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO。已知∠AOB=60°，所以三角形AOB是一个等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。因此，AO=AB=4cm。所以AC=2AO=8cm。答案：8。2.菱形的一个内角为60°，一条边长为6，则菱形较短的对角线长为______。*思路解析与解答：*菱形的四条边都相等。当菱形有一个内角为60°时，连接这个内角的两条边与较短的对角线可以构成一个等边三角形。因为这个内角的两边相等（菱形的边），且夹角为60°，所以较短的对角线长度等于菱形的边长，即6。答案：6。3.正方形ABCD中，对角线AC=8，则正方形的面积为______。*思路解析与解答：*正方形的对角线互相垂直平分且相等。我们可以将正方形看作是两个全等的等腰直角三角形，其底和高都是对角线的一半，即4。一个三角形的面积是(8×4)/2=16，那么正方形的面积就是16×2=32。或者，正方形面积还有一个公式：对角线乘积的一半，即(AC×BD)/2=(8×8)/2=32。答案：32。(三)解答题1.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF是平行四边形。*思路解析与解答：*要证明四边形AECF是平行四边形，我们可以利用平行四边形的判定定理，比如“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”等。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D=90°。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=1/2AB，CF=1/2CD。∴AE=CF。又∵AB∥CD，即AE∥CF。∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。2.已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，求另一条对角线的长及菱形的面积。*思路解析与解答：*首先，由菱形的周长可以求出其边长。菱形四边相等，周长为20cm，所以边长为20÷4=5cm。菱形的对角线互相垂直平分，我们设两条对角线分别为AC和BD，相交于点O。已知一条对角线长为8cm，假设AC=8cm，则AO=4cm。在Rt△AOB中，AB=5cm，AO=4cm，根据勾股定理可得：BO²=AB²-AO²=5²-4²=25-16=9。∴BO=3cm。∴另一条对角线BD=2BO=6cm。菱形的面积=(AC×BD)/2=(8×6)/2=24cm²。答：另一条对角线的长为6cm，菱形的面积为24cm²。三、能力提升练习1.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF并延长交AE的延长线于点G。求证：AG⊥CG。*思路解析与解答：*这道题涉及到正方形的性质、图形的翻折以及角度的证明。翻折的性质是关键，即折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等。证明：∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，∴△ABE≌△AFE。∴AB=AF，BE=FE，∠ABE=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=90°。∴AF=AD。连接DF，在△AFD和△ADC中，AF=AD，AD=AD，暂时看不出全等，但我们可以考虑∠AFG。∵∠AFE=90°，∠AFC=180°-∠AFE=90°（平角定义）。设∠BAE=∠FAE=α，则∠FAD=90°-2α。∵AF=AD，∴△AFD是等腰三角形，∠AFD=∠ADF=(180°-∠FAD)/2=(180°-(90°-2α))/2=(90°+2α)/2=45°+α。∵∠AFC=90°，∴∠DFC=∠AFC-∠AFD=90°-(45°+α)=45°-α。在Rt△FCD中，∠FCD=90°-∠DFC=90°-(45°-α)=45°+α。在△EGC中，∠GEC=∠AEB=90°-α（在Rt△ABE中）。∠GCE=∠FCD=45°+α。∴∠EGC=180°-∠GEC-∠GCE=180°-(90°-α)-(45°+α)=180°-90°+α-45°-α=45°。（此处原思路有误，修正如下）换一种思路：在Rt△ABE中，∠BAE=α，则∠AEB=90°-α。∵∠AEB=∠FEG（对顶角相等）。∵EF=BE，设BE=EF=x，EC=y，则BC=x+y，FC=?在Rt△EFC中，EF=x，EC=y，FC=√(y²-x²)。但或许从角度关系更直接：∵∠AFG=∠ADG=90°（∠AFE=90°，∠ADC=90°），∴A、F、D、G四点共圆（四边形AFDG的对角互补）。∴∠AGD=∠AFD=45°+α(已证)。又∵∠FGC=180°-∠AGD-∠AGF?似乎复杂。更简便的：延长AF交CG于点H。∵∠AFE=∠CFE=90°，EF=EF，若能证△EFC≌△EFB，但BF未知。回到原题，要证AG⊥CG，即证∠AGC=90°。∵∠AFG=90°，若能证点F在以AC为直径的圆上，或证∠FAG+∠FCG=90°。∠FAG=α，∠FCG=∠FCD=45°+α(已求)。α+(45°+α)=45°+2α，不一定是90°。重新梳理：∵AB=AF=AD，∴∠ABF=∠AFB，∠ADF=∠AFD。∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠FBC=90°-∠ABF，∠FDC=90°-∠ADF。在四边形BFDC中，∠FBC+∠FDC+∠BCD+∠BFD=360°。∠BFD=∠AFB+∠AFD=(180°-∠BAF)/2+(180°-∠DAF)/2=180°-(∠BAF+∠DAF)/2=180°-45°=135°。∴∠FBC+∠FDC=360°-90°-135°=135°。∴(90°-∠ABF)+(90°-∠ADF)=135°→∠ABF+∠ADF=45°。∵∠AGC=180°-(∠GAC+∠GCA)。∠GAC=α，∠GCA=∠DCA-∠DCG。∠DCA=45°（正方形对角线平分角）。∠DCG=90°-∠DFC，∠DFC=180°-∠FDC-∠FCD=180°-(90°-∠ADF)-45°=45°+∠ADF。∴∠DCG=90°-(45°+∠ADF)=45°-∠ADF。∴∠GCA=45°-(45°-∠ADF)=∠ADF。∴∠AGC=180°-(α+∠ADF)。又∵∠BAF=2α=90°-∠DAF，∠DAF=90°-2α，∠ADF=(180°-∠DAF)/2=(180°-90°+2α)/2=45°+α。∴α+∠ADF=α+45°+α=45°+2α。∵∠BAF=2α，且∠BAF≤90°，∴∠AGC=180°-(45°+2α)=135°-2α。这似乎仍未得到90°。看来之前的思路有误。正确简证：∵△ABE≌△AFE，∴∠AEB=∠AEF，BE=FE。∵AB∥CD，∴∠AEB=∠GCF（内错角相等）。∵∠AEF=∠GEF（对顶角），∴∠GEF=∠GCF。∴△GEF∽△GCF（有两个角对应相等）。∴∠GFE=∠GFC。又∵∠AFE=90°，∴∠AFG=90°-∠GFE。∠CFG=180°-∠GFC=180°-∠GFE。∴∠AFG+∠CFG=90°-∠GFE+180°-∠GFE=270°-2∠GFE。而∠AFC=180°（平角），即∠AFG+∠CFG=180°。∴270°-2∠GFE=180°→2∠GFE=90°→∠GFE=45°。∴∠GFC=45°，∠FGC=180°-∠GCF-∠GFC=180°-∠AEB-45°。在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠BAE=90°-α。∴∠FGC=180°-(90°-α)-45°=45°+α。同时，∠FAG=α，∠AFG=90°-∠GFE=45°。在△AFG中，∠AGF=180°-∠FAG-∠AFG=180°-α-