专题2.1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性） （培优热点专练）（全国适用）（原卷版及解析）

1/10专题2.1函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、周期性）内容导航内容导航热点解读题型突破限时训练热点内容解读深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。热点题型突破逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。热点限时训练模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。近三年：1、函数的性质是近3年的高考命题热点，包括单调性、奇偶性、周期性与对称性；单一性质的题目减少，综合题成为绝对主流。特别是对称性+周期性的组合，是近年选择题压轴的热门模型。例如，给出一个函数有两条对称轴或一个对称中心加一条对称轴，推导其周期性，然后进行函数值求和。2会以基本初等函数、抽象函数或新定义/新情境函数为载体进行考核，内容贴近实际应用；以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是集合间的基本运算．3解题方法上注重数形结合与转化化归，确定数学思考的渗透。预测2026年：可能以选填题的形式考核：①“四性”综合小题：对称性与周期性的综合题仍是压轴小题的最大热门；②比较大小，利用单调性比较指数、对数、幂函数值的大小，可能涉及中间量法；③函数零点问题：判断零点个数或所在区间，本质是函数与方程思想的应用，需结合单调性和零点存在定理。若出现在解答题中，会结合导数一起，会涉及到分类讨论，题目信息更接近生活，需要有较好的函数建模能力与应用意识。题型01奇偶性的基础解｜题｜策｜略1判断函数的奇偶性的方法有①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f②性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；2奇偶性的性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0。1（2025·广东佛山·一模）设fx是定义在R上的奇函数,当x>0时，fx=3+log2A．72 B．−72 2（25-26高三上·重庆·月考）已知函数fx=xcosxA．－1 B．1 C．0 D．－23（25-26高三上·辽宁·期中）设函数fx=x3−3xA．−1 B．0 C．1 D．3题型02单调性求参数解｜题｜策｜略1根据函数的特性，结合图象分析；2若已知分段函数的单调性，则先由单调性确定各段函数的参数取值范围，再数形结合使得各段函数之间也形成单调性，最终得到参数范围或其值；3若函数是奇偶函数，可先处理y轴右侧函数部分，利用函数单调性求出参数，再结合对称性得到最后结果。1（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数fx=−x2A．3,+∞ B．−3,−1 C．−∞,−12（25-26高二下·浙江·月考）已知函数f(x)=−14x+1+2x3+3A．{a|a<45} B．{a∣a<5} C．{a|0<a<3（25-26高三上·江西·期中）已知函数fx=x−sinx+1，则满足不等式fm+2A．m|m<−13 B．m|m>−13 C．4（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数f(x)=(a+3)x2−(2a−2)x,x≥4x3−2ax2+3x,x<4，若对于任意的A．−32,4 B．12,4 题型03单调性与奇偶性综合解｜题｜策｜略1奇函数在y轴两侧的单调性相同，偶函数在y轴两侧的单调性相反；2处理奇偶函数的单调性，可以只需要严谨函数在y轴右侧的单调性便可；3单调性与奇偶性结合的题目，常常用到数形结合，注意奇偶性的性质的运用。1（25-26高三上·安徽·期中）已知函数fx是定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数，且当x>0时，fxA．−∞,−3∪C．−3,0∪−1,0 2（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间−8,8上的大致图象，则该函数可能是（

）A．fx=xC．fx=x3（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数f(x)=ex+aA．当a=1时，函数f(x)为奇函数，且在(0,+∞B．当a=1时，函数f(x)为偶函数，且在(0,+∞C．当a=−1时，函数f(x)为奇函数，且在(0,+∞D．当a=−1时，函数f(x)为偶函数，且在(0,+∞题型04抽象函数的单调性与奇偶性解｜题｜策｜略判断抽象函数的单调性或奇偶性，我们都是利用它们的定义判断。1（2025·辽宁·一模）对任意x,y∈R，都有fx+yfx−y=f2x−fA．0 B．2 C．4 D．62（2025高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数fx满足2fx+yfA．f0=2 B．C．y=fx有零点 D．3（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数fx，满足∀x，y∈R，A．f1=1 B．C．fx为奇函数 D．若f8题型05判断函数周期性解｜题｜策｜略1对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.2若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.3若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；4若fx+a=1fx1（2025·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数fx满足fx+2=fx，且当0<x≤1时，fxA．12 B．−12 C．12（25-26高三上·广东广州·期中）已知定义域为R的函数fx满足f−x=−fx，f2+x+f4−x=0，当A．−2 B．2 C．−3 D．33（25-26高三上·山东泰安·期中）已知定义在R上的函数fx，gx，其导函数分别为f'x，g'x，fx+gA．6 B．4 C．2 D．0题型06抽象函数的赋值问题解｜题｜策｜略1对于抽象函数的赋值问题，先要确定抽象函数的结构，大胆进行尝试，往往赋予一些特殊值（如取x=0等）或特殊关系（如取y=x,y=−x等）。2了解常见的抽象函数模型特殊模型抽象函数正比例函数ff幂函数ffxy=f指数函数ffx+y=f对数函数ffxy=f3遇到数值较大的，往往要用到函数的周期进行运算。1（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数fx的定义域为R，fx+f2−x=0，A．47 B．−1 C．1 D．22（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=12025f(k)=（A．－3 B．－2 C．0 D．13（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数fx满足：f2x+f2x+2=4，且A．1 B．2 C．−2 D．题型07中心对称型函数解｜题｜策｜略若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b−x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)1（25-26高三上·江西·期中）已知函数fx=lnx−1−A．关于x=1对称 B．关于x=2对称C．关于1,0对称 D．关于2,0对称2（25-26高三上·河南·期中）已知函数f(x)=e2x−4−1ex−2+x−1在区间[a,b]上的值域为[m,M].若A．1 B．2 C．4 D．83（2025·湖南郴州·一模）函数fx对∀x∈R,fx+2=f4−x，且A．若x∈0,3时fxB．fxC．fx的图象关于−6,0D．f题型08一元三次函数型中心对称解｜题｜策｜略特殊的一元三次函数具有中心对称性，要求其对称中心，可直接根据中心对称的定义求解；也可以把函数进行变形再通过平移，转化为奇函数，便可得到对称中心.1（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数fx=13xA．1,1312 B．2,1112 C．2（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数fx=xA．y=fx+1是奇函数 B．y=fC．y=fx的图象关于x=1对称 D．y=f3（2025·全国·模拟预测）若函数fx=x−23+2x−4，且fA．1a>1b B．sina<sin题型09轴对称型函数解｜题｜策｜略若f(x+a)=f(b−x),则y=f(x)有对称轴x=a+b注意与函数周期性的“若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b”混淆。1（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数fx=eA．fx关于点2,0对称 B．fx关于点C．fx关于直线x=1对称 D．fx关于直线2（25-26高三上·江西·期中）已知函数fx=sinA．fx是奇函数B．fC．fx的图象关于0,1对称D．fx的图象关于3（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数fxx∈R满足fx=f4−x，若函数y=x2−4x与A．4 B．6 C．8 D．12题型10两个函数的对称性问题解｜题｜策｜略1轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.2中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a1（25-26高一上·天津宁河·期中）函数y=3x与y=1A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称2（2025高三·全国·专题练习）设函数y=fx的定义域为R，则函数y=f(x−3)A．直线y=1对称 B．直线C．直线y=2对称 D．直线3（2025·四川成都·三模）函数y=32x与y=3A．关于x=2对称 B．关于x=1对称C．关于x=12对称 D．关于题型11“四性”综合问题解｜题｜策｜略1若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|2若函数y=f(x)同时关于点a,0,(b,0)对称，则函数y=f(x)的周期3若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0对称则函数y=f(x)的周期T=4|b−a|4若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2|a|5若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4|a|。1（25-26高二下·湖南·月考）已知函数fx为定义在R上的偶函数，f0=1，且fA．f1=12 B．C．fx以6为周期的函数 D．2（2025·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足f2x+6=f−2x，且①f(2024)=1；②fx的图象关于直线x=−3③fx④k=12025其中结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=cosA．π是fx的一个周期B．x=π是fC．π2,0是fD．fx在区间0,题型12新定义中的函数性质解｜题｜策｜略1新定义问题，理解定义是关键，可以先通过具体例子感性上认识下，再通过其共性理解定义的本质；2判断函数或其性质是否新定义，则严格按照新定义去作进行，其中要注意各符号或字母的含义，注意它们的先后顺序等。1（2025高三·全国·专题练习）若定义在R上的函数fx满足对任意x1,x2，都有fx0+x2−fx1−x0x0<0A．2 B．4 C．1 D．32（2025高三·全国·专题练习）方程x|x|16+y|y|9=−1的曲线即为函数y=f(x)的图象，对于函数y=f(x)，有如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)=4f(x)+3x不存在零点；③函数y=f(x)的值域是R；④若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则y=g(x)A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③3（多选）（25-26高三上·广东揭阳·期中）若定义在D上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2，则称该函数是D上的完美函数.下列判断正确的是（

）A．y=2xx2B．若fx是D上的完美函数，则gx=2fC．y=lgx2D．存在a∈R，使得ℎx=a（建议用时：60分钟）1（25-26高三上·山西吕梁·月考）已知a>0，且a≠1．若函数fx=logax+1,x>0xA．0,1 B．2,+∞ C．0,122（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞上是增函数，则f−2、f1、A．f−2<f1C．f1<f−23（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数fx是−∞,+∞上的偶函数，若对于x≥0，都有fx+2=−fx，且当x∈A．−2 B．−1 C．2 D．14（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数fx满足f−2−x=f−2+x，对任意x1,x2∈−∞A．−∞,−2∪C．−∞,−4∪5（2025·山东·模拟预测）若方程x2−2x+2−1=0的非整数根是函数A．0,1 B．0,2 C．2,0 D．2,16（2025·福建三明·三模）已知函数fx=ex−1−e1−x+xA．1 B．52 C．5 D．7（2025高三·全国·专题练习）如果对定义在R上的函数fx，对任意两个不相等的实数x1,x2，都有x1fx1+x2fx2>xA．①② B．②③ C．③④ D．①④8（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数fx，称“f1x=fx−f−x2A．奇分解函数f1x为奇函数，偶分解函数B．函数fxcosC．函数fxsinD．若f2x9（2025·四川遂宁·二模）定义在R上的函数fx满足f(x)−f(−x)=sinx，当x≤0时，f'x≥110（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数f(x)=x(x−2)(x−a)，其导函数记作y=f(1)当a=1时，求函数y=f(x)图象对称中心的坐标；(2)若方程f(x)=0与f'(x)=0存在非零公共根x0，证明：x

专题02数列解答题目录第一部分题型目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式训练题型01裂项相消求和 题型02错位相减求和 题型03分组、并项求和（不含奇偶项） 题型04含绝对值求和 题型05关于奇偶项求和 题型06数列与不等式（含数学归纳法） 第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01裂项相消求和【例1-1】（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，.(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；(2)【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解.（2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解.【详解】（1）因为，所以，

所以.

因为，所以，

则数列是首项为2，公差为1的等差数列，

从而，故.（2）由（1）可知，

则，

故.【例1-2】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.(1)求双曲线的方程；(2)求；(3)证明：.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解；（2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解；（3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解.【详解】（1）设双曲线的方程为，代入得，故双曲线的方程为.（2）联立方程与，解得的横坐标.因为，故，所以.（3）因为，故，当时成立.故.

【变式1-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，，记的零点为.(1)求；(2)求数列中的最小项；(3)证明：.【答案】(1)1；(2)；(3)证明见解析【分析】（1）对求导，确定单调性即可求解；（2）由通过作差得到，构造函数利用其单调性，确定数列单调性即可求解；（3）令，求导确定单调性，得到，再通过，分别令和，即可证.【详解】（1）当时，，定义域为，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以有唯一零点1，即；（2）由的零点为，得，两式相减得：，即，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以由，得到，所以，所以数列是递增数列，所以数列中的最小项是；（3）令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立，即，因为，所以,所以，所以，所以在中，令，得当且仅当时，等号成立，当时，，所以当且仅当时，，中等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，当时，在中，令，得，所以，所以当时，，当时，成立，所以，综上得证.【变式1-2】（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由与的关系列式计算可得，利用等比数列通项公式求解即可；（2）由（1）可得，化简，利用裂项相消法计算求解.【详解】（1）已知，当时，有，用减去，根据，可得：，即，当时，，又，所以，此时，满足，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即，（2）由（1）可得，又，所以，化简可得，则，所以．所以数列的前项和为：．【变式1-3】（2025·浙江宁波·一模）记为正项数列的前项和，已知.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由与关系结合题意可得答案；（2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案.【详解】（1）当时，可得，当时，，.作差可得，因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以.（2）由题可得，所以，又，所以，又也满足上式，所以，题型02错位相减求和【例2-1】（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式；（2）利用错位相减求和可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得.所以.由数列满足，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；（2）由（1），得，则，则，两式作差，得所以.【例2-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由等比数列通项公式基本量的计算和与的关系即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，，得，即，所以，由，当时，，所以，，当时，，满足上式，所以.（2）由（1）得，则，两边同时乘以2，得，两式作差得，所以一、错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；【变式2-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：.(1)证明是等比数列，并求通项；(2)若，求数列的前项和的表达式.【答案】(1)证明见解析；；(2).【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.【详解】（1）由，得，因为是正项数列，所以，即，又，所以是公比为的等比数列，又，得，所以，即.（2）由（1）知，所以.所以，即，，所以，所以.【变式2-2】（2025·云南·模拟预测）在等比数列中，，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质，即可求解；（2）利用错位相减法求数列的和，利用裂项相消法求数列的和，再相加求.【详解】（1）设的公比为，由，得.因为成等差数列，所以，得到，即，解得（舍），或.又，所以.（2）由，设是数列的前项和，可得，两边同乘以，得，两式相减，得，所以.设是数列的前项和，可得，即，由.【变式2-3】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，各项均为正数的递增数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)记数列的前项和为，求.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据与的关系得到递推关系，再根据等比数列通项公式求解；（2）根据已知条件判断出，两边同时开方，得到，求出，再求解即可；（3）根据错位相减法求和.【详解】（1）当时，，又，所以.当时，，，两式相减得：，即，所以.故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）因为数列是以为首项的递增数列，所以.又数列的各项均为正数，且，所以，即，即，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.（3）由（1）和（2）可知，则①，所以②，由①②可得：.令③，则④，由③④得，所以，所以，所以.题型03分组、并项求和【例3-1】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.(1)证明：是等差数列，是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证；（2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得.【详解】（1）由，，则，故，又，故，有，故数列是等差数列；，则，又，故数列是以为公比，为首项的等比数列；（2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则，又，则，则.【例3-2】（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式；（2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得，所以的通项公式为.（2）设等比数列的公比是，由，得，解得，所以的通项公式为，此时，，满足，故.结合（1）知，所以数列的前项和.一、分组求和的常见类型并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．【变式3-1】（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．(1)证明：数列与均为等比数列；(2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如)【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可；（2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求.【详解】（1）由，可得，又，所以与均为等比数列；（2）由（1）知，，所以，则，，.【变式3-2】（2025·广东江门·模拟预测）在数列中，.(1)求证：是等比数列；(2)若等比数列满足.（i）求的值；（ii）记数列的前项和为.若，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；（2）（i）由（1）可得，求得，利用等比数列性质求得，再验证即可求解；（ii）利用并项求和法求得，然后列方程求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）（i）由（1）可得，所以，所以，则，因为数列为等比数列，所以，即，化简得，解得或，又，所以，当时，，此时为定值，符合题意；（ii）由（i）可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，易知，所以，所以为偶数，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以．【变式3-3】（2025·四川绵阳·一模）已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.(1)求常数的值及数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列【分析】（1）设数列公比为，进而待定系数得再根据等比数列的通项公式求解即可得的通项公式；（2）结合（1）得，再根据分组求和与错位相减法求解即可.【详解】（1）解：因为数列为等比数列（为常数），设公比为，所以，当时，，即，因为，时，，所以,解得所以，，又，，所以是等比数列，公比为，首项为，所以，即（2）解：由（1）知，令的前项和为，则，两式相减得：，所以所以数列的前项和.题型04含绝对值求和【例4-1】（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解；（2）求得，利用分组求和即可求解.【详解】（1）当时，由题意可知，因为，即，当时，，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以，当时，，当，，因为，所以，综上，.【例4-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若．(1)求证：是等差数列；(2)求的前项和的最小值；(3)求的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解；（2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析的最值；（3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以是以为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以，令，解得，可知当时，；当时，，所以的最小值为.（3）因为，，，当时，；当时，，所以当时，；当时，，所以.一、数列绝对值求和1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有【变式4-1】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.【答案】(1)；(2)52【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解；（2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，所以，.【变式4-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．(1)求数列的通项公式．(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；（2）结合（1）得到，再分和两种情况即可．【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以．又因为，则，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，．当时，，；当时，，．综上，.【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，∵，∴

，∴公差为，∴，∴；（2）由已知，时，；时，；综上.题型05关于奇偶项求和【例5-1】（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式；（2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围.【详解】（1）时，，解得或，因为，所以，时，，得，因为，所以，又，故数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列的通项公式为；（2）解法一：由，所以，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，因为对任意的，成立，所以，当为奇数时，即，所以，不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，因为为奇数，所以时，，则当为偶数时，，所以，同理可得，因为为偶数，所以时，，则，综上，.解法二：由，当为偶数时，.当为奇数时，，所以（下同解法一）解法三：因为对任意的，成立，则，即求的最小值，令，当为奇数时，则，所以最小值一定在为奇数时取到，当为奇数时，，当时，，当时，，所以当为奇数时，，则的最小值为，所以.【例5-2】（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1);(2)【分析】（1）根据求数列的通项公式.（2）利用分组求和法求和.【详解】（1）当时，，当时，，，两式相减得，，所以是以为首项，3为公比的等比数列，故.（2）当为奇数时，，当为偶数时，，所以.【变式5-1】（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．(1)求；(2)若数列满足，求数列的前20项和．【答案】(1)；(2)4212【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得；（2）先求出，再利用分组求和法求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，得，解得，所以．（2）因为，所以，故【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列；（2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可.【详解】（1）因为是与的等差中项，所以，所以，因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以，所以数列是公差为1，首项为的等差数列；（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，所以，所以，当时，，当时，，所以,所以，【变式5-3】（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.(1)求，的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，求.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案；（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.【详解】（1）因为，所以时.当时，，所以，，满足，所以，数列是正项等比数列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.题型06数列与不等式【例6-1】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．【答案】(1)不是等比数列，且；(2)证明见解析【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立.【详解】（1）因为，且对任意的，，当时，，当时，由可得，上述两个等式作差得，即，所以，又因为，故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，当时，，即，综上所述，.（2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，，，，所以，，，因为、、成等比数列，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以，所以，故原不等式得证.【例6-2】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.(1)求的通项公式；(2)对于任意，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解；（2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，因为，解得，又，得，所以.（2）由（1）可知，则，由可得，令，，当时，，当时，，则数列的最大项为，故，即实数的取值范围为.数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．（9）．【变式6-1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见详解；(2)；(3).【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证；（2）利用错位相减法求解可得；（3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.（2）又（1）可得，，所以①，则②，由①-②得：，所以（3）由（1）可得，，所以，即，记，因为，所以时，，即，当时，，即，所以，所以，所以实数的取值范围为.【变式6-2】（2025·河南·一模）数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据已知得，再应用作差法及等差数列的定义证明；（2）根据（1）得，应用裂项相消法求，根据不等式能成立求参数值.【详解】（1）设数列，则，由，得，所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，所以，因此，解得，所以满足题意的最小正整数.【变式6-3】（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为.(1)求证：数列为等比数列；(2)求证：；(3)若，求满足条件的最大整数n.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2025.【分析】（1）对两边取倒数，并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断；（2）根据等比数列前n项和公式，结合（1）得，进而通过作差法比较大小即可证明；（3）结合（1）得，进而求数列的前n项和，再根据其单调性求解即可.【详解】（1）记，由题意，数列满