专题03 抽象函数与嵌套函数（题型专练）（全国适用）（原卷版及解析）

专题03抽象函数与嵌套函数目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01抽象函数的奇偶性、周期性、对称性题型02两个混合型函数的抽象函数题型03抽象函数与导数题型04抽象函数赋值与构造题型05判断零点个数题型06根据零点个数求参第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01抽象函数的奇偶性、周期性、对称性【例1-1】（多选）已知是定义在上的偶函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（

）A． B．C．在区间上单调递增 D．【例1-2】（2025高三上·浙江·专题练习）（多选）已知定义域是的函数不恒为0，满足且则（

）A． B．C．是函数的一条对称轴 D．1.周期性：；；；（为常数）；2.对称性：对称轴：或者关于对称；对称中心：或者关于对称；3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期【变式1-1】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）（多选）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（

）A． B．的周期C．在上单调递增 D．满足【变式1-2】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（

）A． B．的周期为2C． D．的图象关于中心对称【变式1-3】（多选）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，则（

）A．对称中心是 B．函数的周期为4C． D．若，则题型02两个混合型函数的抽象函数【例2-1】（25-26高三上·江苏南京·期中）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于对称C．是以2为周期的周期函数D．【例2-2】（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．函数为偶函数 B．函数的图象关于对称C． D．函数的图象关于对称求抽象函数在特定点的函数值，最值以及解析式，或判断函数的单调性，奇偶性及周期性，往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用。【变式2-1】（多选）已知函数与的定义域均为，且，若为偶函数，则（

）A．函数的图象关于直线对称 B．C．函数的图象关于点对称 D．【变式2-2】（多选）已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（

）A．和均为奇函数 B．C． D．【变式2-3】（多选）已知函数的定义域均为是偶函数，，则（

）A． B．是奇函数C． D．是的对称轴题型03抽象函数与导数【例3-1】（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（

）A． B．C． D．【例3-2】（多选）设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（

）A． B．的图象关于直线对称C．的一个周期是4 D．奇函数求导变成偶函数偶函数求导变成奇函数【变式3-1】（多选）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（

）A．为偶函数 B．为奇函数C．函数是周期函数 D．【变式3-2】（多选）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（

）A．函数的图象关于对称 B．的周期为4C． D．【变式3-3】（多选）已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（

）A． B． C． D．题型04抽象函数赋值与构造【例4-1】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的定义域为R，且，，则（

）A． B． C．0 D．1【例4-2】（多选）定义在上的函数满足，则（

）A． B．C．为偶函数 D．可能在上单调递增一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段【变式4-1】（25-26高三上·福建厦门·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，，则（

）A． B．为奇函数C．在上单调递增 D．当时，【变式4-2】（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（

）A．B．为偶函数C．在上单调递减D．任意，存在，使得【变式4-3】（多选）函数满足，，，则（

）A． B．C．为奇函数 D．题型05判断零点个数【例5-1】（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例5-2】若函数y=f（x）对x∈R满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1﹣x2，g（x）则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间x∈[-5，11]内零点的个数为（）A．8 B．10 C．12 D．14复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.【变式5-1】（25-26高三上·江苏淮安·月考）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（

）A．14 B．13 C．12 D．11【变式5-2】已知函数，则函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【变式5-3】已知函数，函数与的图像关于直线对称，令，则方程解的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型06根据零点个数求参【例6-1】（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6-2】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为.对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.【变式6-1】已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【变式6-2】函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（25-26高三上·四川成都·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．B．有3个实数根C．若有8个实数根，则D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则一、单选题1．已知，设，最大值为，最小值为，那么（

）A． B． C． D．2．已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（

）A． B． C． D．3．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数，则方程实数根的个数为（

）A．6 B．7 C．10 D．115．已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知定义在R上的函数恒大于0，对，，都有，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C．是奇数 D．有最小值7．已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（

）A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称C．是奇函数 D．二、多选题8．已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（

）A．B．是增函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称9．函数关于x的方程：有六个零点，则下列选项正确的（

）A．减区间为，B．C．或D．函数与有5个交点10．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数满足：，且，，则下列说法正确的是（

）（注：分别表示对应函数的平方）A．B．C．为奇函数D．的图象关于点对称12．已知函数的定义域均为，是偶函数，且，若，则（）A． B．的图象关于点中心对称C． D．13．已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（

）A．B．为偶函数C．D．三、填空题14．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为.

专题2.5导数与数列的综合内容导航内容导航热点解读题型突破限时训练热点内容解读深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。热点题型突破逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。热点限时训练模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。近三年：1、近三年以导数为核心工具证明与数列有关的题目较多，包括一些不等式的证明：题目先给出一个数列通项或前n项和的关系，然后证明一个与自然数n相关的不等式；或者数列的单调性、有界性、极限问题：数列可视为定义在正整数集上的特殊函数。当递推式为an+12、往往需要构造一个辅助函数，利用导数证明该函数在某个区间上的单调性或最值，从而实现对数列项的放缩；3、难度较大，技巧性很强，其中的背景包含。预测2026年：核心方向仍为“导数证明函数不等式→代换为数列不等式”,数列递推与导数（迭代函数）的深入结合；或者数列递推与导数（迭代函数）的深入结合，预测题型：给出一个由函数迭代定义的数列，如an+1=题型01导数与数列的单调性解｜题｜策｜略1若an+1>an，则{a2求证数列单调性，常用方法有三：作差法，比较an+1−a作商法，比较an+1an与1视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意n的取值范围是正整数.3与导数相结合的题目中，利用导数分析好数列对应的函数的单调性便可。1（多选）（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列an的首项为a1，且anA．存在a1使数列aB．存在a1使数列aC．存在a1使数列aD．存在a1使得a【答案】ABD【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项【分析】首先分析可得an<7且an+1=an+ln7−an，设f【详解】因为an+e又ean+1−an=7−a所以f'所以当x<6时f'x>0，当6<x<7所以fx在−∞,6上单调递增，在6,7当a1=6时a2=a故当a1=6使数列当a1<6时，由fx又fx≤f6当6<a1<7时，由fx在所以a2=a1+ln7−所以a2<a3<由上述分析可知，不存在a1使数列a故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键是将递推公式变形为an+1=an+2（多选）（24-25高三·黑龙江·期中）已知正项等比数列an的公比为q，函数fx=A．当q=3时，fxB．当q=4时，fx的极小值点为C．当an是递增数列时，fx在D．当an是递减数列时，fx在【答案】ABD【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、等比数列通项公式的基本量计算【分析】求导，通过等比数列的性质，确定f'x<0【详解】由题意可知：am+1fx则f'对于A：q=3，则f'即fx对于B，q=4，则f'所以当x<9am或x>16a当9am<x<16所以fx在−∞,9所以在x=16a对于C：当an是递增数列时，f若am+2<9a易知f'x=所以fx在−对于D，当an是递减数列时，由于a1>0，则0<q<1则f'x=即fx在a故选：ABD3（2026·重庆·模拟预测）函数f（1）当b=1时，过原点O的函数fx的切线方程为（2）当b=e−1时，若数列an满足：a1=1,①∀n∈N*，都有②∃n∈N*，使得③∃n∈N*，使得【答案】y=x正确错误【知识点】利用导数证明不等式、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】(1)当b=1，利用导数求得f'x(2)根据函数的单调性可得a2>a1，进而可得利用导数讨论g(x)的单调性，根据an=利用导数讨论g(x)的单调性，根据an>【详解】（1）当b=1时，f设切点为x0,ln由切线过点0,0，则0−lnx0（2）当b=e−1则fx在0,+∞上单调递增.由a2=e−1>令gx=x−lnx，则g若an=e，则an+1若an>e，由gx的单调性，则an−lna故答案为：①y=x，②正确，③错误，题型02利用导数求数列的最大（小）项解｜题｜策｜略求数列的最大（小）项，找到数列对应的函数是关键，再利用导数分析其单调性与最值，注意n的取值范围.1（2024·河南郑州·一模）已知数列an满足an=13n3A．14 B．13 C．−1【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数、确定数列中的最大（小）项、由导数求函数的最值（含参）【分析】令f(x)=1【详解】因为an=1则f'由f'(x)>0，解得x>5由f'(x)<0，解得1<x<5∴对于f(n)来说，最小值只能是f(2)或f(3)中的最小值，又f(3)−f(2)=9−45∴f(2)最小，即13×8−5+3+m=1，解得故选：B．2（2025·广东·一模）已知正项数列an满足an=n1n(n∈A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、确定数列中的最大（小）项【分析】先令y=x1x【详解】令y=x1x令f(x)=lnxx当f'(x)>0时，0<x<e；当f所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞所以x=e时，f(x)取到最大值，从而y因此，对于an=n1n(n∈N∗)而313>21故选：B题型03利用导数求数列各项的运算解｜题｜策｜略数列中当递推式为an+1=f(1（2024·河南郑州·一模）已知数列an满足an+1=ean−1n∈N∗【答案】−ln2【知识点】根据极值点求参数【分析】由x0为函数y=ex−1−x2的极值点，推理得到【详解】因为y=ex−1−令gx=y'=易知g'x在1,+∞上单调递增，令g即x∈1,1+ln2，g'x所以x∈1,1+ln2，y'=又y'x=1=−1<0，y即存在x0∈1,3，使得当x∈1,x0时，所以函数y=ex−1−则ex0−1且an+1=ean因为y=x,y=ex−1在R上单调递增，则y=x+e可得a2=x且a2=ea1又因为ex0−1所以a1故答案为：−ln2（24-25高三上·全国·月考）设函数f(x)=xex+1的极值点为x0,数列an满足【答案】0【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、根据极值点求参数【分析】先根据函数的极值点为x0【详解】由题设f'令g(x)=ex<0,g'(x)>0，gx>0,g'(x)<0，g而x<0时，g(x)>0恒成立，且g(1)=1>0>g(2)=1−e所以，存在x0∈(1,2)，使gx0=0由已知ex0(ea所以ex0=e由x∈(−∞,x0)，有g(x)>0⇒f'所以在(−∞,x0)上f(x)递增，在(x0,+∞)上由①，得ea因此ea故答案为：0.3（25-26高三·安徽·期中）数列an满足an+1=ean−2n∈【答案】−ln2【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据数列递推公式写出数列的项【分析】由x0为y=x−2−ln2xx>1的零点，推理得到ex【详解】因为y=x−2−ln2xx>1所以，y'>0在所以函数y=x−2−ln2x在当x=4时，y=4−2−ln当x=5时，y=5−2−ln根据零点存在定理，可知函数y=x−2−ln2x在4,5内存在零点且满足x0−2−ln2x0=0且an+1=e因为y=x,y=ex−2在R上单调递增，则y=x+e可得a2=x且a2=ea1又因为ex0−2所以a1故答案为：−ln题型04利用导数判断数列各项的大小解｜题｜策｜略在数列中若涉及到导数，一般存在一些关系式里含有ex或lnx或高次幂等形式，会联想到一些常见的函数，比如1（25-26高三·辽宁·期中）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1A．a4<a2，a3<C．a4<a2，a3【答案】B【知识点】利用导数证明不等式、等比数列通项公式的基本量计算【分析】先利用导数法证不等式lnx≤x−1【详解】令f(x)=x−lnx−1，则f'(x)=1−1所以当x>1时，f'(x)>0，当0<x<1时，因此f(x)≥f(1)=0，所以lnx≤x−1所以a1+a又a4>1，所以所以等比数列的公比q<0，若−1≤q<0，则a2则a1所以q<−1，从而q>1，即q所以a4a3−a1=a1q2故选：B.2（2026·浙江·模拟预测）已知正项数列an满足a1=1，an=2A．12046<aC．11023<a【答案】C【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由递推数列研究数列的有关性质【分析】先利用导数的知识得到ln1+x<xx>0，并利用此不等式对题干中的等式进行放缩，得到当n≥2时，an>12n−1【详解】令fx=ln1+x−x所以函数y=fx在0,+∞故fx<f(0)=0x>0因为an>0，所以即an所以an2+a故当n≥2时，1a所以当n≥2时，an由an>0，得故an=2a故当n≥2时，an<1故选：C．【点睛】本题主要考查导数、放缩法的应用等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，属于难题.3（2026·浙江宁波·模拟预测）已知数列an满足a1=1，ean+1A．0<a2022<C．12022<a【答案】B【知识点】利用导数证明不等式、累加法求数列通项【分析】利用不等式ex≥x+1可得2−1an+1>an+1+1，即1an+1−【详解】∵ex≥x+1（当x=0时等号成立），∴当an>0时，ea则ean+1>整理得anan即1a2−1a1>1将n个不等式相加得1an−1a令fx=e当x<0时，f'x>0，当x<0则fx在−∞,0上单调递增，在0,+∞上单调递减，即fx≤0=0，所以当x<1时，ex≤1即当n>1时，ean+1<11−anan+1<同理利用累加法可得1an−所以12n−1<a故选：B.题型05利用导数判断数列通项公式相关不等式解｜题｜策｜略1在数列中若涉及到导数，或其递推公式为an+1=fan，或有一些关系式里含有2根据其形式或关系构造出对应的函数是关键；利用导数分析其单调性与极值，从而得到数列的单调性等，再根据题意得到各项或通项公式.1（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知数列an满a1+A．a3=5ln23 B．a2【答案】C【知识点】利用导数证明不等式、利用an与sn关系求通项或项、比较对数式的大小、判断或写出数列中的项【分析】根据通项公式与前n项和公式之间的关系可得数列an的通项公式.对于ABC：根据数列an的通项公式结合对数分析判断；对于D：构建fx=ln【详解】因为a1当n=1时，则a1当n≥2时，则a1两式相减得an2n−1=综上所述：an对于选项A：a3对于选项B：a2因为256>243，即8>24332，则ln8>对于选项C：a2+a因为243×37=可得354>43对于选项D：设x>0，记fx=ln故fx<f0=0，所以an+1故选：C．【点睛】关键点睛：1.对于连加形式的问题，往往结合通项公式与前n项和公式之间的关系分析求解；2.对于不等式问题，常常构建函数，结合导数分析处理.2（2021·浙江绍兴·模拟预测）已知正项数列an满足a1∈A．对任意的n∈N∗B．对任意的n∈N∗C．存在n∈N∗D．对任意的n∈N∗【答案】D【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由递推数列研究数列的有关性质、累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题【分析】可赋值a1=12e，验证AB；通过构造函数fx【详解】因为a1∈0，12，anln2anan+1=ln2anan+1−1+1，构造fx=lnx+1−x，则f'x=1x+1−1=−xx+1，当x∈−1,0，故选：D3（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=ax+lnx的最小值为1.若数列x【答案】证明见解析【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）【分析】首先得a=1，然后得函数单调性，进一步分析得只需证明fxn+2−【详解】fx的定义域为0,+∞，求导得①当a≤0时，f'x≥0，fx在②当a>0时，令f'x=0故当x∈0,a时，f当x∈a,+∞时，所以f(x)min=f所以fx在0,1内单调递减，在1,+∞上单调递增，故因为x1∈0,1，又xn+1=f而xn+2=fx即证fxn+f即证fx令gx=fx所以gx在1,+∞上单调递减，又故gx=fx−x<0，即fx则gxn+2>g故xn+1题型06导数与数列的前n项和解｜题｜策｜略1求与数列的前n项和有关的式子最值，构造函数求其最值，注意n的取值范围；2若要判断或证明与数列的前n项和有关的不等式，则构造函数是关键，与判断数列的通项公式的方法差不多，都是要利用导数求其单调性与极值；3证明与n有关的不等式，可用作差作商法，或数学归纳法、或放缩法等。1（2020·陕西渭南·二模）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且A．23 B．3 C．−2 D．【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、由递推关系式求通项公式【分析】化简nSn−Sn−1=Sn+2n−1n可得Snn【详解】解：因为nS即n−1Sn−nSn−1所以数列SnSnn=1+2n−1=2n−1令fx则f'x=6x2−6x=6xx−1，x≥1时，f'x所以当n=1时，nSn−2故选：D2（广东省冮门市2024-2025学年高三学期第一次模拟考试数学试题）已知数列an满足a1=2，an+1=lnan+1A．2<S2025<C．103<S【答案】B【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、由递推数列研究数列的有关性质【分析】先构造函数，利用导数证得lnx≤x−1，得出an+1=12【详解】令fx则函数fx定义域为0,+∞，且令f'x>0，得0<x<1；令f所以函数fx在区间0,1上单调递增，在区间1,+则fxmax=f所以lnx≤x−1，当且仅当x=1因为数列an满足a1=2所以an+1=1又因为函数y=lnx在区间所以数列an通过计算可得：aa3则S1=2，S2假设an+1=则从第三项起，数列an是公比为12因为数列an为递减的正项数列且收敛于0，a所以2.55<S故选：B.3（2023·四川达州·二模）Sn是数列an前n项和，a1①an②a1③Sn④Sn其中正确的是（写出全部正确结论的番号）.【答案】①②③【知识点】求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、利用导数证明不等式【分析】分析可知an−22n−1为常数列，求出数列an的通项公式，可判断①；求出a1a2⋯an的表达式，利用等差数列的求和公式可判断②；证明出当0<x≤1【详解】对于①，因为a1=3，所以，an+1所以，数列an−2所以，an=2对于②，a1令bn=2n+1，则所以，数列bn因此，a1+a对于③，设φx=x−1−lnx，其中当0<x<1时，φ'x<0φx≥φ1=0，即所以，ln2n+1所以，S=n+ln31对于④，因为S2=a④错.故答案为：①②③.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式fx>gx（或fx<gx）转化为证明（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.题型07导数与数列相结合的恒成立问题解｜题｜策｜略1单变量的恒成立问题①∀x∈D②∀x∈D③∀x∈D④∀x∈D2恒成立问题转化为最值问题，常用直接构造函数法、分离常数法、数形结合法等；3转化为最值问题后，构造函数利用导数求单调性与极值，从而得到数列的单调性或最值，最终把参数范围求得.1（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知数列an满足a1=14，an=4n+1an+1，若bn=n+1an+1，则数列【答案】12【知识点】利用导数证明不等式、累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题【分析】利用累乘法求出an的通项即可化简求出数列bn的通项；构造函数fx=ex−x−1,x>0求证e【详解】因an=4n+1an+1，故a2a1=142由累乘法可得，an因a1=14，则故an=1则Tn令fx=e故fx在0,+∞上单调递增，则fx因12n>0，则因12n>0，则1−因T3故若λ>Tn(λ∈N∗故答案为：12n2（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M~数列”.已知数列bn（n∈N∗）的前n项和为Sn，且满足b1=1，1Sn=2bn−2bn+1.设m为正整数.若存在“【答案】5【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义【分析】根据bn=Sn−Sn−1可得bn+1+【详解】由b1得b1=1,2Sn=当n≥2时，由bn=Sn−所以数列bn所以bn=n，则因为数列cn为“M~数列”，设公比为q，所以c因为ck≤bk≤当k=1时，有q≥1；当k=2,3,⋯,m时，有lnk设f(x)=lnxx当x∈1,e，f'x>0，fx单调递增；当因为ln22=取q=33，当k=1,2,3,4,5时，lnkk≤因此所求m的最大值不小于5，若m≥6，分别取k=3,6，得3≤q3，且从而q15≥243且q15≤216，所以综上，所求m的最大值为5.故答案为：53（24-25高三·四川绵阳·期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，(1)求Sn(2)求{a(3)已知数列bn的通项公式为bn=lnan，且【答案】(1)S(2)a(3)[【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题【分析】（1）法1，根据给定条件，利用累乘法求出Sn；法2，根据给定的递推公式，利用构造法求出S（2）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出an（3）由（2）求出bn【详解】（1）法1：由a1=1，得S1=aSn而S1=1满足上式，所以法2：由Sn+1Sn=n+2因此数列{Sn(n+1)n}是常数列，则所以Sn（2）由（1）得，当n≥2时，Sn−1则an=S所以{an}（3）由（2）得bn=lnn，依题意，设函数f(x)=lnxx，x>0当0<x<e时，f'(x)>0；当x>函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+而ln22=ln44<所以λ的取值范围是[ln题型08直接构造函数利用导数证明与数列有关的不等式解｜题｜策｜略1在数列中证明不等式，其本质是一个关于n的不等式的证明，最简单的方法是利用作差法或作商法得到要证明不等式对应的关于n的式子，从而找到其对应的函数，利用导数求其单调性与最值；2在证明时，要注意n的范围，有时候可以用换元法对式子进行化简再构造函数；3在使用直接构造函数的方法要注意所构造的函数是否过于复杂，计算量过大等问题，若是，可考虑其他方法。1（广东省冮门市2024-2025学年高三学期第一次模拟考试数学试题）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)设f(x)在点n,fn,n∈N∗处切线的x轴截距为an，数列an的前【答案】(1)y=12(2)证明过程见解析.【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、裂项相消法求和、分组（并项）法求和【分析】（1）求f1以及f（2）先求出切线方程，进一步求出数列an的通项公式，再利用分组求和、裂项求和计算Sn，进而将目标转化为求证lnn<Sn【详解】（1）fx=e则f1=e则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−e（2）fn=e则切线方程为y−e令y=0，得x=n−16nn+1则Sn得Sn令gx=ln令ℎx=−3x其对称轴为x=1，且ℎ'3=−28<0，故当x≥3故ℎx在3,+∞上单调递减，则ℎx则gx在3,+∞上单调递减，则即当x≥3时，lnx−1<12x−又n=1时，lnn=0<故对于任意n∈N∗都有lnn<n+122（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数fx=ln(1)求实数a的值；(2)对任意的n∈N∗，数列an满足an+1=fa(3)在（2）的条件下，若Sn为数列an的前n项和，求证：【答案】(1)2(2)证明见详解(3)证明见详解【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、已知函数最值求参数、由递推数列研究数列的有关性质【分析】（1）求导，分a≤1和a>1两种情况讨论，判断fx（2）根据题意可得an+1=1（3）构造ℎx=lnx+1x−x,x>1【详解】（1）当x∈0,+∞时，当1−a≥0，即a≤1时，则f'x>0，可知函数f所以函数fx在0,+当1−a<0，即a>1时，令f'x<0，解得0<x<a−1；令f可知函数fx在0,a−1上单调递减，在a−1,+则函数fx在x=a−1处取最小值，可得fa−1=综上所述：a=2.（2）由（1）可知：fx=ln构造gx=可知gx在1,+∞上单调递增，则所以当an>1时，（3）因为a1=43>1，则a2=g构造ℎx=ln可知ℎx在1,+∞内单调递减，则因为an>1，可得ℎa则13lna即an+1−1<13a可得an−1≤1则S=n+=n+1所以Sn3（2025·河北·二模）对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：fx=x(1)求fx(2)已知gx①若数列an满足a1=1，a②求证：i=1n【答案】(1)单调递增区间为1e,+∞(2)①an=2【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性；（2）①两边取对数，再结合等比数列定义计算结合指数及对数运算求解；②构造ℎx【详解】（1）fx=令f'x>0，解得x>1所以fx的单调递增区间为1e（2）①由题意可知，an+1那么a两边同时取对数可得ln所以lnan+1则lnan+1所以a②设函数ℎx=当x>1时，ℎ'x<0，当0<x<1所以ℎx在（0，1）上单调递增，在1,+则ℎx≤ℎ1=0，即g所以i=1n即i=1n题型09利用累加法证明与数列有关的不等式解｜题｜策｜略1在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前n项和的形式，可利用数列求和的方法先把那部分进行化简再证明不等式；2求和的方法中累加法较为常见；3在部分解答题中，第一二问里往往含有对证明不等式有效提示，注意利用好；4在不等式证明中，也会利用第一二问提示想到放缩法，再结合累加法会达到证明不等式的效果。1（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数f(x)=ln(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数(2)设n∈N∗，求证：【答案】(1)(−(2)证明见解析【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式【分析】（1）f(x)在(0,+∞)上单调递增等价于f'（2）令x=1+1k，利用小问（1）可得到：【详解】（1）f'因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f'所以2m≤(x+1)2x恒成立，令g(x)=g(x)=(x+1)当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，所以由2m≤4，得m≤2，即m的取值范围是(−∞（2）由（1）知，当m=2时，f(x)在(0,+∞所以当x>1时，f(x)>f(1)=0，即lnx>令x=1+1k，k∈N即lnk+1k>12k+1当k依次取1，2，…，n时，ln2−ln1>上面式子叠加即得lnn+12（25-26高三上·河南·期中）已知函数fx(1)讨论fx(2)若t>0，且对任意的x∈1,+∞,f(3)若an=lnn+1，数列an的前n【答案】(1)答案见解析；(2)12(3)证明见解析.【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和、利用导数求函数（含参）的单调区间、数列不等式恒成立问题【分析】（1）求导得f'(x)=tx−1（2）设ℎ(x)=tx−tx−（3）根据（2）得到结论2lnx<x−1x对任意【详解】（1）由题意得f(x)的定义域为(0,+∞当t≤0时，f'(x)<0,f(x)在当t>0时，由f'(x)<0，得0<x<1t，由所以f(x)在0,1t上单调递减，在综上可知，当t≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当t>0时，f(x)在0,1（2）依题意可得当t>0时，tx−tx−令ℎ(x)=tx−tx−①当t≥12时，则tx2+1则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，则②当0<t<12时，tx因为x1>0,x2>0所以由tx2+1−x>0，即由ℎ'(x)<0，得所以ℎ(x)在x2,+∞上单调递增，在1,x2故t的取值范围是12（3）由（2）可得，当t=12时，tx−t即2lnx<x−1令x=n+1,n∈N∗，则当n=1时，2ln2<1+1−1当n≥2时，2a所以2a1<1+1−12+1以上累加得2S则4Sn<综上可知，对所有的n∈N题型10裂项求和法证明不等式解｜题｜策｜略1在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前n项和的形式，可利用数列求和的方法先把那部分进行化简再证明不等式；求和的方法中裂项求和法也较为常见；2了解一些常见裂项(1)1nn+1=(2)1n+1+n3有时候要结合放缩法一起证明才行.1（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列an满足a1=1(1)求数列an(2)证明：lna(3)若数列bn满足bn=【答案】(1)a(2)证明见解析(3)证明见解析【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；（2）设f(x)=lnx−x+1，求导，可得（3）由题意需证ln1+1b【详解】（1）设等差数列an公差为d(d≠0),a1所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，解得d=1或d=0（舍去），所以（2）设f(x)=lnx−x+1,f'(x)=f(x)max=f(1)=0，所以ln则有lnan−（3）因为1+1b1只需证：ln1+根据（2）可知lnan≤ln==21−所以1+12（2024·江苏南通·三模）已知函数fx(1)若x>−1，求fx(2)设数列an前n项和Sn，若an【答案】(1)0(2)证明见详解【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、裂项相消法求和【分析】（1）求导，利用导数判断fx的单调性，进而可得f（2）当n=1时显然成立，当n≥2，结合（1）可得(1+x)k≥kx+1，进而可得【详解】（1）因为fx=1+x因为k>1，则k−1>0，且x>−1，当−1<x<0时，则0<x+1<1，可得f'当x>0时，则x+1>1，可得f'可知fx在−1,0上单调递减，在0,+所以fx的最小值为f（2）因为an若n=1，则S1=a若n≥2，由（1）可知：fx即(1+x)k≥kx+1，当且仅当令x=12n且a1可得Sn所以Sn综上所述：Sn题型11利用放缩法证明数列不等式之选填题解｜题｜策｜略1在导数与数列相结合的不等式证明中，往往会用到放缩法，其技巧性较强，难度很大；2具体放缩法的思考方式有很多种，或利用一些常见函数有关不等式，或利用切线放缩，或局部放缩等等；3用到函数放缩，常见的有ex≥x+1，1（2023·新疆·三模）已知数列an中，a1=1，若an+1=A．a3=2C．lnn<1an−1（【答案】D【知识点】利用导数证明不等式、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质【分析】由题意得1an+1−1an=1n，结合赋值、累加法可判断A项、D项，由y=1n在n∈N∗【详解】对于A项，由an+1=nan所以1a3−又因为1a1=1所以a3对于B项，由A项可知，1a对于C项，因为1a2−假设当k≥2，k∈Z，lnk<1令g(x)=ln(x+1)−x，则当x>0，g'(x)<0，所以g(x)<g(0)=0，即ln(所以lnk+所以有1a所以对于任意n≥2，n∈N∗，对于D项，由A项知，1a3−故选：D.2（21-22高三上·云南玉溪·月考）已知数列{an}满足an+1=2aA．lna1⋅C．lna1【答案】C【知识点】利用导数证明不等式、由递推数列研究数列的有关性质【分析】由题设可得0<an<1且an+1>an，根据等式条件有(a1−1)+(a【详解】由题设，a1∈(0,1)，an+1∴an+1=2当an=2an−1综上，0<an<1，故a∵a1∴2020<a令f(x)=lnx−1+1当0<x<1时f'(x)<0，即f(x)递减，当x>1时f'∴f(x)>f(1)=0，故0<x<1上0>lnx>1−1∴ln故选：C【点睛】关键点点睛：由条件等式结合放缩法得到(a1−1),(a2021−1)的不等关系，再利用导数研究f(x)=lnx−x+1的单调性确定3（多选）（25-26高三上·广东·月考）已知函数fx=alnx+xA．若f'1B．若a=1，则∀x∈1,+∞C．若a<0，则：∃0<D．∀n>1，n∈【答案】ABD【知识点】导数的运算法则、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】对于A：求导得f'x，令x=1，可解出a的值，再令x=2，可得f2的值；对于B：利用导数得到fx在1,+∞上的单调性，再利用单调性定义可判断；对于C：含参讨论fx单调性，结合零点存在定理讨论fx的零点个数可判断；对于D：取a=【详解】对于A：由fx=alnx+x2−2x+1对于B：由a=1，得fx=lnx+x则fx在0,+∞上单调递增，因为x∈1,+∞，所以对于C：由fx=aln由a<0，可得fx在0,1+1−2a因为f1=0，所以当0<x<1时，fx>0，当又fx在1+1−2a2,+∞上单调递增，则当x>对于D：取a=12，由fx=1则fx在0,+因为f1=0，所以当0<x<1时，fx<0.取即ln1−1n2+故选：ABD题型12利用放缩法证明数列不等式之解答题解｜题｜策｜略1若在解答题中要用到放缩法，稍简单的题目会在第一二问中给到足够的提示信息，利用好或能方便构造函数，或能根据其结论得到放缩的思路；2利用放缩法时，往往会用到裂项，记住一些常见的裂项公式有所帮助；3在数列不等式放缩中，要注意局部放缩，看清楚放缩的“强度”或“方向”，有助于放缩的思路。1（25-26高三上·四川广安·月考）已知a2=1(1)证明：1an为等差数列，并求(2)令bn=anan+1，Tn【答案】(1)a(2)证明见解析【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用导数证明不等式、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题【分析】（1）根据已知可得1an+1−（2）利用导数证明lnx<x−10<x<1，进而得到1n+1<【详解】（1）由an−a左右同时除以anan+1又因为a2=16，则故1a所以1an=3+3（2）因为bn=a所以1b令函数fx=ln所以fx在0, 1上单调递增，f取x=nn+1,n∈N∗所以1b则1b2（2024·广东广州·二模）已知数列an中，a(1)求数列an(2)令bn=2nan，记Tn为b【答案】(1)a(2)证明见解析【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题【分析】（1）利用递推关系，把n换成n+1，得到两式相减，得到an+1（2）用错位相减法求出Tn【详解】（1）因为a1所以a1作差可得1n+1an+1=an+2−an+1因为a1=1,a因为an+1所以数列an的通项公式为a（2）因为bn所以Tn=1⋅2+2⋅2作差可得−T所以TnTn设fx=−2×2又f故fx在3,+∞是减函数，所以当n≥3时，Tn3（2025·广东佛山·一模）已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若a为正整数n，记此时fx的零点为xn.证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数【分析】（1）解法1：对函数求导，然后对a=0,a>0,a<0结合函数单调性分析得出结论；解法2：令fx=e1−x（2）结合（1）知，当a>0时，函数fx有一个零点得出1−【详解】（1）解法1：f'x①当a=0时，fx=e1−x②当a>0时，f'x<0所以函数fx在R因为当x→+∞时，fx→−所以函数fx在0,+∞③当a<0时，令f'x=0当x>1−ln−a时，f'x>0当x<1−ln−a时，f'x<0所以fx因为当x→+∞时fx→+∞，且当所以，当fxmin<0函数fx在−∞,1−当fxmin=0即a=−e2当fxmin>0即−e综上所述，当a<−e2时，函数当a=−e2或a>0时，函数当−e2<a≤0时，函数解法2：令fx因为f0=e，所以x≠0，则令gx=e当x<−1时，g'当−1<x<0或x>0时，g'所以gx在−∞,−1单调递增，在−1,0所以gx当x<0且x→0时，gx当x→+∞时，g当x>0时，gx所以，当a<−e2时，函数当a=−e2或a>0时，函数当−e2<a≤0（2）由（1）知，当a>0时，函数fx因为fxn=所以1−xn先证lnx≤x−1.令ℎx=当0<x<1时，ℎ'x>0当x>1时，ℎ'x<0所以ℎxmax=ℎ1=0因为lnxn≤因为1−x所以lnn+lnx所以n≤1xn所以x1+因为lnn所以xn=1−ln又因为lnn+2所以xn所以x1所以2ln题型13数学归纳法的运用解｜题｜策｜略1涉及到与n有关的不等式，一般都可以利用数学归纳法证明，只是要注意其证明难度；2一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立”为条件，推出3在运用数学归纳法证明时要注意以下几点①第一步归纳奠基中的n0不一定是1②当证明从n=k到③在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”④要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.1（2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列an满足a1=12,aA．T9∈130,126 B．【答案】C【知识点】利用导数证明不等式、数学归纳法证明数列问题、数列新定义【分析】先用数学归纳法证明0<an<1.构造函数y=lnx−x−1,0<x≤1，利用导数证明出12≤an<1.记gx=lnx−【详解】因为an=1+lna下面用数学归纳法证明0<a当n=1时，a1=1假设n=kk当n=k+1时，a因为0<ak<1，所以ak−1<0所以结论成立.综上所述：0<an<1记函数y=lnx−因为0<x≤1，所以y'≥0（x=1取等号），所以所以fx<f1=0，即ln所以数列an为单调递增函数，所以1记gx=lnx−2x−1x+1,0<所以an−1=lna所以21−an因为a1=12，所以21−所以T9即T9记ℎx=lnx−x+1x,0<x所以an−1=lna所以an所以T9因为an>n+1即T9综上所述：122故选：C【点睛】（1）数学归纳法可以用来证明与自然数n有关的问题；（2）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个:其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.2（10-11高三·安徽蚌埠·期中）已知函数f(x)=x−sinx，数列an满足：0<a【答案】证明见解析.【知识点】利用导数证明不等式、数学归纳法证明数列问题、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】先利用导数证明f(x)=【详解】因为f所以f'所以f(x)下面证明0<（1）n=1（2）假设n=k所以0<ak+1由(1)和(2)0<a又an+1=∴an所以an综上可知0<a【点睛】利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证n=n0时结论成立；（2）假设n题型14三角函数与数列综合解｜题｜策｜略1在三角函数与数列相结合的题型中，难度会很大；2构造函数是关键，要取决于要证明或求解的量所含的形式，对于数列，一般令x=1n或x=n或3对于三角函数部分的处理中，要注意三角函数的有界性，进行有效放缩；注意周期性，进行分段讨论等；4在处理数列部分，要注意n范围的特殊性。1（2021·江西上饶·二模）函数f(x)=2sinx−xx>0的所有极大值点从小到大排成数列an，设Sn是数列aA．1 B．12 C．−12【答案】B【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求等差数列前n项和、求已知函数的极值点【分析】求导数确定极大值点，得an，然后由等差数列的前n项和公式得Sn，再计算【详解】在f(x)=2sin由已知f'(x)=2cosx−1，由2cosx−1=0得易知当2kπ−π3<x<2kπ+π3（k∈Z所以an=2(n−1)π+πS2021=2021×π所以cosS故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查导数与函数的极值点，考查等差数列的前n项和公式，余弦函数的诱导公式．解题关键是掌握极值的定义，注意极大值点与极小值点的区别．2（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数fx=x(1)当a=1时，求fx在−(2)若fx≥0恒成立，求实数(3)证明：n+1【答案】(1)0；(2)a≥1(3)证明见解析.【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）利用导数法，求出单调性，利用单调性得到fx（2）（方法一）由fx≥0恒成立，得到f0≥0.当a≥1时，fx≥x22+cosx−1，由（1）可知，x22+（3）证明：由（1）知，当a=1时，f令x=1n，则1−【详解】（1）当a=1时，f则f'设g(g'∴f'x∵f∴当x∈−π2,0时，f'x<0，∴fxmin（2）（方法一）∵fx≥0当a≥1时，f由（1）可知，x2∴fx≥0，从而a故a≥1（方法二）∵x∈−∴f设mx则m'设nx则n'∴nx在∵n∴当x∈−π2,0时，n当x∈0,π2时，nx∴m∴a（3）证明：由（1）知，当a=1时，f令x=1n∴1−cos∴1−cos1−cos1−cos1−cos1−cos∴<⇒n⇒n3（24-25高三·海南海口·期中）记cosθ=t，cosnθ=T(1)求T213(2)若∃θ∈R，使得λ<cos3θ−4cos(3)求函数fx【答案】(1)−7(2)λ(3)−22【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、二倍角的余弦公式【分析】（1）代值计算可得T213（2）分离参数λ<cos3θ−4cos2θ，（3）求导f'x=0可得4x3【详解】（1）由题意，cosθT2证明：要证Tn只需证cosn由于cosn+2θcosnθ=cosn①＋②得cosn即cosnTn（2）存在θ∈R，使得即λ<cos3由题知，cos3θ令gt=4t3−8即2t−36t+1t∈−1,−16，t∈−16,1gt的最大值为g−1（3）f'x=8令cosθ=x，x∈−1,1φ=±π4+2k当θ=π12当θ=π12当θ=−π12又4x3−3由三次函数图象，x∈x2,xfx的单调增区间是−22题型15新定义问题解｜题｜策｜略1新定义问题，关键是理解新定义所表达的本质，在判断是否符合新定义的问题中严格按照定义去求解，注意定义中各量所表达的含义就行；2其中涉及到不等式的，会用到前面所讲到的方法，逐个尝试下！1（24-25高三·江西·期中）若数列an使得函数f（x）满足f0+fa1+fa22+fa33(1)证明：an为f(2)证明：fx(3)证明：bn为g【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【知识点】利用导数证明不等式、数列新定义【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式即放缩即可证明结论.（2）先构造函数y=ex（3）由（2）的结论，以及等比数列前n项和及放缩即可证明结论.【详解】（1）由题可知f=1+1所以an为f（2）构造函数y=ex当x∈0,+∞时，y'>0，即函数当x∈−∞,0时，y'<0，即函数因此函数y=ex即可得y=ex−x由ex≥x+1，可得ex综上，ex所以ex>ln（3）由（2）中结论ex>ln所以lnn因此lnn故g+⋯+ln即bn为g2（2025高三·甘肃白银·学业考试）定义：若函数fx在其定义域内存在极大值fx1和极小值fx2，且存在一个常数k，使得k=fx1−f(1)当a=5时，判断fx(2)是否存在a，使得fx的“极值差比系数”为2−a2(3)设函数ℎx=12fx−x3−ax【答案】(1)是，理由见解析(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、根据极值求参数【分析】（1）先求出fx的导数，根据导数求出极值点，再计算k（2）先根据函数有两个不同的正根得出a的取值范围，再通过fx1−fx2的表达式求出（3）求出ℎx的表达式，并求导判断其单调性，再构造函数gx=ℎx【详解】（1）当a=5时，fx=则f'x=2x−5+2x∴当x∈0,12时，当x∈12,2时，当x∈2,+∞时，f'∴fx的极大值为f1所以f1∴fx是“极值差比系数”为（2）假设存在a，使得fx的“极值差比系数”为2−∵fx=∴f又∵fx为“极值可差比函数”，∴fx有两个不同的极值点故关于x的方程2x2−ax+2=0在0,+∞则Δ=a2−16>0x1不妨设x1<x所以f=x1+∴1x1∵x1x2=1，∴令gx=x−1∴gx在1,+∞上单调递增，则∴x2−故不存在a，使得fx的“极值差比系数”为2−（3）ℎx=1要证2bn+2∵ℎbn=bn+1故证ℎbn+1−bn+1∴证gbg'x=1x∴x2−x+1>0恒成立，即g所以当x>1时，lnx+又ℎ'令ℎ'x>0⇒x−1>0⇒令ℎ'x<0⇒x−1<0⇒∵0<b1<1，b2=ℎb1且b3=ℎb2<b2，所以当n≥2时，bn>1，b又∵gx在0,+∞单调递减，∴g∴2b3（25-26高三上·上海·期中）对于函数y=ℎx，ℎ0x=ℎx,ℎ1x(1)已知函数y=fx，其中fx=asinx+t(2)设m,n∈R，gx=emx+ncosx，若函数y=gx的最小导周期为(3)设ω>1，ℎx=cosωx，若函数y=ℎx满足ℎ2x≤x对x∈0,+【答案】(1)证明见解析(2)2(3)（3）证明见解析【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求已知函数的极值、函数新定义【分析】（1）利用求导公式即可证明；（2）先根据最小导周期求出m,n，再分析（3）先求ℎ2x，结合条件确定【详解】（1）证明：因为f1fff所以，对任意实数a,b,（2）gx由题意知，emx+n令x=0，则1+n=令x=π2，则e所以m=1,n=0若m=1,n=0若m=−1,n=0，则gxM=可视为点Pa,−a当实数a,b变化时，点Pa点Qb,e因此所求最小值可转化为曲线y= e−而曲线y= e−平移直线y=−x−1设切点Mx0,e−x0点0,1到直线y=−即Ma,（3）ℎ记φx=由φx=ℎ2x−x≤0在0,+∞上恒成立及存在x则sinω又φx0=−①2+②2又因为sin所以2kπ+π2又因为π所以φ=−有k≤0，于是所以π（建议用时：100分钟）1（2019高三·浙江·月考）已知数列{an}满足：0<a1A．0<a2019<C．1<a2019<【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断数列的增减性【分析】构造函数f(x)=x+ln(2−x)(0<x<2)，求导判断函数f(x)的单调性，判断数列{a【详解】设f(x)=x+ln∵f'当f'x>0时，得0<x<1；则f当f'x<0时，1<x<2，则函数f且f(x)≤f1=1，可得∴an+1−a又f(0)=ln2=ln根据数列{an}单调性可得：0<a故选：B.2（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列an满足