高三数学（理）二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺活用16个二级结论

活用16个二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.例1设函数f(x)=(x+1)2答案2解析显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)设g(x)=2x则g(x)=g(x),∴g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.跟踪集训1.已知函数f(x)=ln(1+9x23x)+1,则f(lg2)+fA.1 B.0 C.1 D.22.对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2结论二函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1f(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(xa)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2已知定义在R上的函数f(x)满足fx+A.B.B.1 C.0 D.1答案A解析因为fx+32则有f(1)=f(2)=1,f(2)=f(1)=1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)+f(2018)=672×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=11=2,故选A.跟踪集训1.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.2 B.1 C.0 D.12.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=logA.1 B.0 C.1 D.2结论三函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(bx)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a+(2)若f(a+x)+f(bx)=c,则y=f(x)的图象关于点a+例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x1)对任意x∈12A.[3,1] B.[2,0] C.[5,1] D.[2,1]答案B解析由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x1)变为f(2)≤f(x1),由函数f(x)的图象特征可得|21|≤|x11|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x1)对任意x∈12,1恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x1)变为f(x+2)≤f(x1),由函数f(x)的图象特征可得|x+21|≤|x11|,解得x≤1跟踪集训1.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(1)=.

2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(x)成立,且函数y=f(x1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.

结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f1(x)的图象上.例4若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x1)=5,则x1+x2=()A.52 B.3 C.72 答案C解析因为2x+2x=5,所以x+2x1=52,同理,x+log2(x1)=52,令t=x1,则x=t+1,即t1是t+2t=32的解,t2是t+log2t=32的解,且t1=x11,t如图所示,t1为函数y=2t与y=32t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=32t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,2t1),Q(t2,log2t2),所以P,Q关于直线y=t对称,且t1+t2=t1+2t1=t1+32-t1=32,所以x1跟踪集训设点P在曲线y=12exA.1ln2 B.2(1ln2)C.1+ln2 D.2(1+ln2)结论五两个经典不等式(1)对数形式:xx(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1ex.证明:当x>1时,f(x)≥xx证明x>1时,f(x)≥xx+1⇔x>1,1ex≥xx+1⇔1xx+1≥ex(x>1)⇔1x+1≥1e跟踪集训1.已知函数f(x)=1ln2.已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,OP=12OA+例6已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为()A.{1} B.⌀ C.{0} D.{0,1}答案A解析∵BC=OCOB,∴x2OA+xOB+OCOB=0,即OC=x2OA+(1x)OB,∴x2+(1x)=1,解得x=0或x=1(x=0舍去),∴x=1.跟踪集训在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若AB=λAM+μAN,则λ+μ=.

结论七三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|=a2sin(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA.(4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.例7已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=13[(1λ)OA+(1λ)OB+(1+2λ)OCA.△ABC的内心 B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB边的中点答案C解析取AB的中点D,则2OD=OA+OB,∵OP=13[(1λ)OA+(1λ)OB+(1+2λ)OC∴OP=13[2(1λ)OD+(1+2λ)OC=2(1-而2(1-∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.跟踪集训1.P是△ABC所在平面内一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OB+OC2A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+λAB|A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心结论八等差数列设Sn为等差数列{an}的前n项和.(1)an=a1+(n1)d=am+(nm)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0.(3)Sk,S2kSk,S3kS2k,…构成的数列是等差数列.(4)Snn=d2n+a(5)Sn=n(a1+a(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶S奇=md,S偶S奇(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m1=(2m1)am,S奇=mam,S偶=(m1)am,S奇S偶=am,S奇S偶(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=(m+n).(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.例8(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm1=2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am1+am+1am2=0,S2m1=38,则m=答案(1)C(2)10解析(1)∵Sm1=2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=SmSm1=2,am+1=Sm+1Sm=3,∴公差d=am+1am=1,由Sn=na1+n(n-1)得m由①得a1=1-(2)由am1+am+1am2=0得2amam2=0,解得a又S2m1=(2m-显然可得am≠0,所以am=2,代入上式可得2m1=19,解得m=10.跟踪集训1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=.

2.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=.

结论九等比数列已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.(1)an=am·qnm,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).(4)公比q≠1时,Sn,S2nSn,S3nS2n,…成等比数列(n∈N*).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},1an,{anbn},an(7)通项公式an=a1qn1=a1q·q(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为xq,x,xq;四个数成等比数列,通常设为xq3,x例9(1)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1aA.158或5 B.31C.3116 D.(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3A.2 B.73 C.83 答案(1)C(2)B解析(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.所以有9(1-q3解得q=2.所以数列1an是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1(2)由已知S6S3=3,得S6=3S3,因为S3,S6S3,S9S6也为等比数列,所以(S6S3)2=S3(S9S6),则(2S3)2=S3(S93S3),化简得S9=7S3,从而S9S跟踪集训已知在数列{an}中,an=4n+5,等比数列{bn}的公比q满足q=anan1(n≥2),且b1=a2,则|b1|+|b2|+…+|bn|=.

结论十多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a的正四面体内切球半径r=612a,外接球半径R=6例10(2017安徽皖北协作区3月联考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为()A.24π B.29π C.48π D.58π答案B解析如图,在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD),其外接球即为长方体的外接球,表面积为4πR2=π(32+22+42)=29π.跟踪集训1.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为()A.14 B.23 C.46 D.32.已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()A.7π4 B.2π C.9π结论十一焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积S△PF(2)在双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积S△例11已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3A.433 B.23答案A解析设椭圆和双曲线的标准方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a12y2b12=1(a1>0,b1>0,a>a1),它们的半焦距为c(c>0).根据焦点三角形面积公式可得:b2tanπ6=b12tanπ6,∴b2=3b12.又a2=b2+c2,a12+b12=c跟踪集训如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则CA.2 B.3 C.32 D.结论十二圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(xa)2+(yb)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=R2.2.过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:xy2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.解析联立方程得x消去y,整理得x24x+8=0,Δ=(4)24×8=16<0,故直线l与抛物线C相离.由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=12x0xy0跟踪集训1.过点(3,1)作圆(x1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y3=0 B.2xy3=0C.4xy3=0 D.4x+y3=02.设椭圆C:x24+y23=1,点P结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:x2a2(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=b2(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=b2(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=b22.在双曲线E:x2a(1)k0·k=b2(2)k1·k2=b2(3)k0·k=b2例13已知椭圆E:x2a2A.x245+y236=1 B.C.x227+y218=1 D.答案D解析如图所示,设P(1,1),则有kAB·kOP=b2即b2a2=kFP·kOP=0-(-1)3-1跟踪集训1.椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[2,1],那么直线PA2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆x24+

结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,k直线AB的斜率kAB为定值b2已知双曲线x2a2y2b2=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,k直线AB的斜率kAB为定值b2已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为定值py例14已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k,则kPB=k(k≠0),又P(8,4),所以直线PA的方程为y4=k(x8),即y=kx+48k,联立方程得y=kx+4-8k,y2=2x,消去y得k2x2+(8k16k2同理可得x2=(4+8k)28k2,x2x1=(4+8k)28k2(4-8k)28故y2y1=k(x1+x2)+16k=k×4+16k2k2+16k=-4k,故kAB=y2-y跟踪集训已知椭圆C:x24+y2结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(2)对于双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA·OB=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA⊥OB,则直线AB过定点(0,2p).例15已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.解析由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=2px,x=ty+m消去x得y22pty2pm=0,从而Δ=(2pt)24(2pm)=4p因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),所以OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化简得m(m2p)=0,得m=0或m=2p.(1)当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.综上,lAB过定点(2p,0).跟踪集训已知椭圆x24+结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=p2的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.例16过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=p2时,求证:AM1⊥AN1证明证法一:如图所示,当a=p2时,点Ap2,0为抛物线的焦点,l为其准线x=p2,由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.证法二:依题意,可设直线MN的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有M1(a,y1),N1(a,y2).由x=my+故y于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2m2p+2a,③x1·x2=y122p·y2当a=p2时,点Ap2,0为抛物线的焦点,l为其准线x=p2,此时M1由②可得y1·y2=p2.因为AM1=(p,y1),AN故AM1·AN1=0,即AM证法三:同证法二得y1·y2=p2.因为kAM1=y1p,kAN1=y2跟踪集训已知抛物线C:y2=8x与点M(2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA·MB=0,则k=.

答案精解精析结论一奇函数的最值性质跟踪集训1.D∵f(x)=ln(1+9x∴f(x)=ln(1+9(-①+②得f(x)+f(x)=ln(1+9x23x)+ln(=ln[(1+9x23x)·(=ln(1+9x29x2)+2=2.∴f(lg2)+flg12.D令g(x)=f(x)c=asinx+bx,则g(x)是奇函数.又g(1)+g(1)=f(1)c+f(1)c=f(1)+f(1)2c,而g(1)+g(1)=0,c为整数,∴f(1)+f(1)=2c为偶数.1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二函数周期性问题跟踪集训1.D由f(x+2)是偶函数可得f(x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(x+2)=f(x2),所以f(x+2)=f(x2),f(x+4)=f(x),f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.2.C当x>0时,f(x)=f(x1)f(x2),①则f(x+1)=f(x)f(x1),②①+②得f(x+1)=f(x+2),即f(x+3)=f(x).所以f(x+6)=f(x+3)=f(x),T=6.故f(100)=f(4)=f(1)=f(1)f(0)=log22=1,故选C.

结论三函数的对称性跟踪集训1.答案3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4x),f(x)=f(4+x),又f(x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(1)=f(41)=f(3)=3.2.答案4解析因为函数y=f(x1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2016)+f(2018)=f(2014)+f(2014+4)=f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4.结论四反函数的图象与性质跟踪集训B函数y=12ex和函数y=ln(2x)互为反函数,它们的图象关于y=x对称,则只有直线PQ与直线y=x垂直时,|PQ|才能取得最小值.设Px,12ex,则点P到直线y=x的距离为d=12ex-x2,令g(x)=12exx(x>0),则g'(x)=12ex1,令g'(x)=12ex1>0,得x>ln2;令g'(x)=12ex1<0,得0<x<ln2,则g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,所以当x=ln2时g(x)取得极小值,即最小值,g(x)结论五两个经典不等式跟踪集训1.B因为f(x)的定义域为x+1令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=1g2.证明令g(x)=f(x)12x2+x+1=ex12x由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件跟踪集训答案45解析解法一:由AB=λAM+μAN,得AB=λ·12(AD+AC)+μ·12(AC+AB),则μ2-1AB+λ2AD+λ2+μ2AC=0,得μ2-1AB+λ2AD+λ2+又因为AB,AD不共线,所以由平面向量基本定理得14λ+所以λ+μ=45解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB=45∴45AT=AB=λAM+μ∴AT=54λAM+54μ∵T、M、N三点共线,∴54λ+5∴λ+μ=45结论七三角形“四心”向量形式的充要条件跟踪集训1.D由PA·PB=PB·PC,可得PB·(PAPC)=0,即PB·CA=0,∴PB⊥CA,同理可证PC⊥AC,PA⊥BC,∴P是△ABC的垂心.2.C设BC的中点为M,则OB+OC2=OM,则有OP=OM+λAP,即MP3.B解法一:AB|AB|为AB上的单位向量,AC|AC|为AC上的单位向量,则AB|AB|+AC|AC|的方向为∠BAC的平分线AD的方向.又λ∈[0,+∞),∴λAB|解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.

结论八等差数列跟踪集训1.答案90解析S10=10a1+45d=20,①S20=20a1+190d=50,②由①②解得d=110∴S30=S10+S20+10×20×d=20+50+200×1102.答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件