专题05抛物线及其应用（期末复习知识清单）

专题05抛物线及其应用（3知识&13题型&2易错）【清单01】抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.【清单02】抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)图象顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤0【清单03】直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．2.直线与抛物线的相交弦3.抛物线的焦点弦问题设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：【二级结论1】抛物线弦中点问题注：这里给出的都是焦点在x轴上的情形，焦点在y轴上时需要再根据点差法推导，不能直接套结论．点差法得到的结论在小题中可以直接用，在大题中要有推导过程．【二级结论2】抛物线的切线【二级结论3】抛物线的硬解定理题型1对抛物线定义的理解及应用紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件；【答案】4【分析】根据抛物线的定义即可得到答案.故答案为：4.A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以的最小值也即是到准线的距离的最小值，当与原点重合时，到准线的距离最小为，也即是的最小值为.故选：A【答案】【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可.故答案为：

题型2抛物线中距离和差的最值问题解决这类问题的关键是：距离转化2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．A．3 B． C．4 D．【答案】C|

故选：C【答案】A

故选：A【答案】48【详解】如图：因为切线与圆相切，故答案为：4；8【答案】B【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果.【详解】故选：B.题型3与抛物线有关的轨迹问题解决这类问题的关键是：距离转化2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得.A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D所以点的轨迹为抛物线，故选：D(1)求点M的轨迹方程;(2)【分析】（1）先设点，再求出斜率，列方程求值.(1)求点的轨迹方程；(2).（2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值.题型4由抛物线方程研究几何性质由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．【答案】4【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可.故答案为：4A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C故选：C．A．5 B．6C． D．4【答案】A【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解.故选：AA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C故选：C.题型5求抛物线的标准方程求抛物线标准方程的方法（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；注意：=1\*GB3①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；=2\*GB3②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．【答案】D故选：D.【答案】A故选：A.【答案】D故选：D.【答案】B故选：B题型6直线与抛物线的位置关系解题的通用流程2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）．3、判断方程类型：（1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）；C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切【答案】C【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断.所以与x轴平行的直线与有1个交点，所以与最多有2个交点，C正确；故选：C．A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点C．有一个或两个公共点 D．没有公共点【答案】D【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数.故选：D.A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【答案】D【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.故选：DA．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条【答案】C【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可.直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，故选：C题型7直线与抛物线相交弦长问题按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．A．5 B． C． D．【答案】D【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长.【详解】

故选：D.【答案】A【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线的方程，再联立两个方程求出弦长.故选：AA． B．6 C． D．8【答案】A【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长.故选：A【答案】B故选：B题型8抛物线的中点弦问题1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景．2、分类讨论斜率存在性：（1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况；（2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线．3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解．【答案】B【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解.故选：B.A． B． C． D．【答案】D故选：D.【答案】D【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案.故选：D【答案】D【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程.故选：D题型9抛物线中的定点问题1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．(1)求的标准方程；(3)若垂直于，求证：直线过定点；(3)证明见解析.【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值.（2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长.(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证：（i）直线AB过定点，并求该定点的坐标；（ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．（2）故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．(1)求C的方程．(1)求抛物线的方程；【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程；（2）题型10抛物线中的定值问题1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．(1)求抛物线C的方程；(2)证明见解析.【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程；(1)求证：为定值；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析设，的斜率分别为，，(1)求C的方程；(1)求抛物线的方程．题型11抛物线中的最值或范围问题（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【答案】C故选：C.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.当且仅当点与点重合时取等号，故选：D.【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.【答案】A故选：A．A． B． C． D．【答案】C故选：C.题型12抛物线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．(1)求抛物线C的方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得；(1)求抛物线的焦点坐标；(2)证明见解析故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为，故过点与抛物线的相切的直线平行于直线.(2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，．【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得；

(1)求抛物线的方程.(2)设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间.（2）如图：

【点睛】方法点睛：解析几何中求求值范围的问题，通常有以下方法：（1）转化成二次函数的值域问题求解；（2）利用基本不等式求最值；（3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解；（4）利用导数，分析函数的单调性，求函数的最值.题型13抛物线中的探究性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．(1)求p的值；（ⅰ）求证：点P为定点；【答案】(1)；【答案】(1)；【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得.（2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得.(1)证明：是常数；(2)过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）．【答案】(1)证明见解析(2)①；②存在，因为点，在抛物线上，另解：如图，设点在轴上的射影为点，抛物线的准线与轴相交于点，【点睛】关键点睛：这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧.解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算.【题型一】对抛物线定义认识不清A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由抛物线定义和方程即可得解.故选：B.【答案】C故选：C.A．13 B．9 C．11 D．10【答案】D【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.

故选：D【答案】ABD【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D．则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误；故选：ABD.【