二维形式的柯西不等式

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页二维形式的柯西不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共3题，34分）1.(12分)实数ai（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3B．2C．D．12.(11分)设实数a，b，c，d，e同时满足关系：a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则实数e的最大值为（）A．2B．C．3D．3.(11分)实数x、y满足3x2+4y2=12，则z=2x+的最小值是（）A．﹣5B．﹣6C．3D．4二、填空题（共2题，22分）4.(11分)若x＞0，y＞0，且+=2，则4x+3y的最小值为________.5.(11分)实数x，y满足，则2x+y的最大值是________________________________________________________．三、解答题（共4题，44分）6.(11分)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（Ⅰ）求a+b+c的值；（Ⅱ）求的最小值．7.(11分)设不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若x∈M，|y|≤，|z|≤，求证：|x+2y﹣3z|≤．8.(11分)已知函数f（x）=|x+2|﹣m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]（1）求m的值；（2）设a、b、c为正数，且a+b+c=m，求.++的最大值．9.(11分)已知函数f（x）=m﹣|x+4|（m＞0），且f（x﹣2）≥0的解集为[﹣3，﹣1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c都是正实数，且，求证：a+2b+3c≥9．二维形式的柯西不等式答案一、单项选择题1.【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2=[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2，∴[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2≤8，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）≤2，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为2，故选B．2.【答案】B【解析】【分析】由已知可得a+b+c+d=8﹣e，a2+b2+c2+d2=16﹣e2，由柯西不等式可得（1•a+1•b+1•c+1•d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2），即可得出．【解答】解：将题设条件变形为a+b+c+d=8﹣e，a2+b2+c2+d2=16﹣e2，代入由柯西不等式得如下不等式（1•a+1•b+1•c+1•d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）有（8﹣e）2≤4（16﹣e2），解这个一元二次不等式，得．所以，当时，实数e取得最大值．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】推导出，从而，进而z=2x+=4cosθ+3sinθ，由此能求出z=2x+的最小值．【解答】解：∵实数x、y满足3x2+4y2=12，∴，∴，∴z=2x+=4cosθ+3sinθ=5sin（θ+α），（tanα=），∴z=2x+的最小值是﹣5．故选：A．二、填空题4.【答案】【解析】【分析】根据题意，对+=2变形可得++=2，而4x+3y变形可得4x+3y=（2x+y）+（x+y）+（x+y）=[（2x+y）+（x+y）+（x+y）]×[（++）]，由柯西不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，若+=2，则有++=2，则4x+3y=（2x+y）+（x+y）+（x+y）=[（2x+y）+（x+y）+（x+y）]×[（++）]≥[（2x+y）（）+（x+y）（）+（x+y）（）]2=，即4x+3y的最小值为，故答案为：．5.【答案】【解析】【分析】由柯西不等式得（）（42+32）=（2x+）2，即可得2x+y的最大值，【解答】解：由柯西不等式得（）（42+32）=（2x+）2，∴1×25，∴，即2x+y的最大值是5，故答案为：5．三、解答题6.【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（Ⅱ）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥，当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．7.【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得M．（Ⅱ）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式．【解答】解：（Ⅰ）根据绝对值的意义，|x+1|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣1、1对应点的距离之和，它的最小值为2，故不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M=[﹣1，1]．（Ⅱ）∵x∈M，|y|≤，|z|≤，∴|x+2y﹣3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2×+3×=，∴：|x+2y﹣3z|≤成立．8.【答案】【解析】【分析】（1）由题意，|x+2|≤m⇔，由f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]，得，即可求实数m的值；（2）由（1）得：a+b+c=1，再利用柯西不等式求得++的最小值．【解答】解：（1）由题意，|x+2|≤m⇔，由f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]，得，解得m=1；（2）由（1）可得a+b+c=1，由柯西不等式可得（3a+1+3b+1+3c+1）（12+12+12]≥（++）2，∴.++当且仅当.==，即a=b=c=时等号成立，∴++的最小值为3．9.【答案】【解析】【分析】（1）根据f（x﹣2）≥