北京市北京中学2025-2026学年高二英才上学期期中质量调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市北京中学2025-2026学年高二英才上学期期中质量调研数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过两点P1,2,Q4,3，那么直线l的斜率为A.−3 B.−13 C.132.已知圆C1:x+12+y−12A.−9 B.−4 C.1 D.33.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，若A.−1,1,1 B.1,−1,1 C.1,1,−1 D.−1,−1,−14.若直线x+y−m=0被圆C：x−12+y+12=4截得的弦长为A.±2 B.2 C.2 D.5.若椭圆x29+y24=1的弦AB被点A.4x+9y−13=0 B.9x+4y−13=0

C.x+2y−3=0 D.x+3y−4=06.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2，a3+1，A.10 B.11 C.12 D.137.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上有一点AA.33 B.22 C.8.设{an}是所有项都不为0的无穷等差数列，则“{1anA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸(约3.3厘米)，下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为θ1，θ2，θ3，则(

)

A.θ1+θ3=2θ2 B.10.曼哈顿距离(ManhattanDistance)是由十九世纪赫尔曼−闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间(或平面)直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点Ax1,y1,Bx2,y2，它们之间的曼哈顿距离dA,B=xA.4 B.245 C.5 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.若向量a=(4,−1,2)，b=(x,8,−6)且，则x=

．12.记等差数列an的前n项和为Sn,a3+a13.写出一个关于直线x−y+1=0对称的圆的方程

．14.如图所示的多面体ABCDEF，其各个面都是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为棱AB，AD的中点，则CP⋅FQ=

．

15.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日(1746−1818)最先发现.若椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与椭圆C的蒙日圆相交于M，N16.已知等差数列an与等比数列bn①不存在数列an与bn，使得②存在数列an与bn，使得③不存在数列an与bn，使得④存在数列an与bn，使得an其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知Sn是等差数列an的前n项和，S3=a5=9，数列b(1)求数列an和b(2)设cn=an+bn，求18.(本小题13分)已知圆C经过点A(−2,0)，B(0,2)，且圆心在直线y=x上.(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线3x+y−b=0交于两点(ⅰ)求b的取值范围；(ⅱ)若在圆C上存在点D，使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值．19.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，Q为棱PD的中点．

(1)求证：PB/​/平面ACQ；(2)若BA⊥PD，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P−ABCD唯一确定，并求：(i)直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；(ii)点P到平面ACQ的距离．条件①：二面角P−CD−A的大小为45条件②：PD=条件③：AQ⊥PC．20.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)直线l:y=kx+m与椭圆交于点M,N，直线AM,AN分别交直线x=−4于点P,Q，O为坐标原点.若OP=OQ，求证：直线l21.(本小题15分)在n×n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表中，aij表示第i行第j列的数，记ri=ai1+ai2+⋯+ain(1≤i≤n)(1)请写出一个“2阶H表”；(2)对任意一个“n阶H表”，若整数λ∈−n,n,且λ∉H(3)求证：不存在“5阶H表”

参考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.A

9.D

10.A

11.5

12.160

13.x2+(y−1)2=1(14.1

15.216.①②③

17.(1)在等差数列an中，S3=3(a因此数列an的公差d=a5设等比数列bn的公比为q(q>1)，由b32又b4−b2=12，则q4−q2所以数列an和bn的通项公式分别为an(2)由(1)得cn所以Tn

18.(1)根据圆心C在直线y=x上，设圆心C(a,a).

因为圆C经过A(−2,0),B(0,2)，所以|CA|=|CB|，

所以(a+2)2所以圆心C(0,0)，所以圆C的方程为x2(2)(ⅰ)由题意，|−b|3+1<2即−4<b<4，所以b的取值范围是(−4,4).

(ⅱ)因为四边形OEDF为平行四边形，又因为|OE|=|OF|，所以OEDF为菱形.

因为|OD|=2，所以点O到直线EF的距离|−b|3+1所以b=±2，符合题意．

19.(1)

(1)连接BD，交AC于O，连接OQ，底面ABCD是正方形，故O是BD的中点，又因为Q为棱PD的中点，所以，在▵PBD中OQ//PB，而OQ⊂平面ACQ,PB⊄平面ACQ，所以PB//平面ACQ(2)选①②：因为四边形ABCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因为BA⊥PD，所以CD⊥PD，因为二面角P−CD−A的大小为45∘，平面PAD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,PD⊥CD，所以在▵PAD中，PA所以PA故PA⊥AD，又因为BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,AD､PD⊂平面PAD，所以BA⊥平面PAD，选①③：因为四边形ABCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因为BA⊥PD，所以CD⊥PD，因为二面角P−CD−A的大小为45∘，平面PAD∩平面所以∠ADP=45因为CD⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD､PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因为AQ⊂平面PAD，所以CD⊥AQ，又因为AQ⊥PC,PC∩CD=C,PC､CD⊂平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因为PD⊂平面PCD，所以AQ⊥PD，又因为Q为PD中点，所以PA=AD，所以∠APD=∠ADP=45所以∠PAD=90∘，即因为BA//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，选②③：因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD,BA//CD，因为CD⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD､PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因为AQ⊂平面PAD，所以CD⊥AQ，又因为AQ⊥PC,PC∩CD=C,PC､CD⊂平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因为PD⊂平面PCD，所以AQ⊥PD，又因为Q为PD中点，所以PA=AD=1，在▵PAD中，PA故PA⊥AD，因为BA//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，选①②③同上．以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0故AQ=令m=x,y,z为面ACQ令x=1，则m=(i)因为cosm所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13(ii)由(i)知点P到平面ACQ的距离13

20.

解：(1)由题得2a=4所以椭圆C的方程为x2(2)直线l:y=kx+m与椭圆方程x2化简得(4k▵=128k2−16设M(x1,y1)，直线MA的方程为y+1=y1+1直线NA的方程为y+1=y2+1因为OP=OQ所以kx所以(2k+1)x把韦达定理代入整理得(m−2k+1)(m−4k)=0,∴m=2k−1或m=4k，当m=2k−1时，直线方程为y=kx+2k−1,∴y+1=k(x+2)，过定点(−2,−1)，即点A，不符合题意，所以舍去．当m=4k时，直线方程为y=kx+4k,∴y=k(x+4)，过定点(−4,0)．所以直线l经过定点．

21.解：(1)由题意写出一个“2阶H表”如下：

1

1

0−1证明：(2)对任意一个“n阶H表”，ri表示第i行所有数的和，

ci表示第j列所有数的和，(1≤i,j≤n)，

i=nri与j=1ncj均表示数表中所有数的和，∴i=nri=j=1ncj，

∵aij∈{−1,0,1}，∴r1，r2，…，rn，c1，c2，..，cn只能取[−n,n]内的整数，

∵r1，r2，…，rn，c1，c2，..，cn互不相等，λ∈[−n,n]，且λ∉Hn，

∴{r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}={−n,−n+1,…,−1,0,1,…,n−1,n}，

∴λ+i=1nri+j=1ncj=−n+(−n+1)+…+(−1)+0+1+…+(n−1)+n=0，

∴λ=−2i=1nri为偶数．

(3)假设存在一个“5阶H表”，则由(Ⅱ)知5，−5，3