福建宁德市2025-2026学年第一学期期末高一质量检测数学试题（原卷+解析）

宁德市2025-2026学年度第一学期期末高一质量检测数学试题（满分：150分时间：120分钟）注意事项：1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，，若，则实数a的值为（）A. B.0 C.1 D.22.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.角是第二象限角，其终边与单位圆交于点P，若点P的纵坐标为，则的值为（）A. B. C. D.4.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是A. B.C. D.5.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. B.2 C. D.6.已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.27.设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”.在适当坐标系下，该曲线的解析式为，称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数.若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.10.下列各式计算结果为1的是（）A. B.C. D.11已知函数，则（）A.是的一个周期B.的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有7个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.13.若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________.14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.16已知函数.（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；（2）求不等式的解集.17.函数（，，）在一个周期内的图象如图所示.（1）求的解析式和单调递增区间；（2）将图象上所有点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，得到的图象.若，且，求的值.18.（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”.（1）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）若两个不相等的正数m，n满足，求证：；（3）若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由.19.已知直线，于点E，于点，是线段上一定点，，.，分别是，上的动点（，均位于线段的右侧）.设.（1）如图1，若，请写出的面积关于角的函数解析式，并求的最小值：（2）如图2，若是等边三角形，求的值；（3）如图3，若，当时，求四边形面积的最小值.宁德市2025-2026学年度第一学期期末高一质量检测数学试题（满分：150分时间：120分钟）注意事项：1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，，若，则实数a的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】，，，，，，解得，即，，符合题意.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】，即或，即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.角是第二象限角，其终边与单位圆交于点P，若点P的纵坐标为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出目标值.【详解】依题意，点在第二象限，纵坐标为，则点的横坐标为，所以.故选：C.4.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立讨论，即可.【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意；当时，要使不等式对一切实数都成立，则，综上：故选：B.方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数值的定义及奇函数的性质,结合对数的运算即可求解.【详解】函数是定义在上的奇函数，，又当时，，.故选：A.6.已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可.【详解】由或.所以.当时，；当时，；当时，.综上可得，.故选：B7.设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解法一：根据，均是偶函数，分类讨论列式计算即可求出；解法二：求出，再判断为偶函数，最后分类讨论列式计算即可求出；解法三：函数的零点问题转化为函数与在区间的交点问题.【详解】解法一因为，均是偶函数，所以只需考虑在上的零点情况，（1）当时，，在上单调递增，在上单调递减，可得，即，解得（2）当时，，，所以两函数图象没有交点，所以无零点.综上所述，a的取值范围为.解法二，，易知为偶函数，故只需考虑的零点情况.当时，恒成立，不存在零点；当时，上单调递增，要使在区间内存在零点，只需，，得，又也符合题意，得.综上a的取值范围为.解法三令得，函数的零点问题转化为函数与在区间的交点问题.如图可知，a的取值范围为.故选：C.8.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”.在适当坐标系下，该曲线的解析式为，称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数.若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将进行转化，然后通过换元法化简式子，再由二次函数性质并利用判别式得到实数a的取值范围.【详解】依题意得，令，，则，故原式化简为，即在上恒成立，于是，所以a的取值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先根据对数函数的单调性得到，再逐项判断即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以.所以，故选项A正确；因为在上单调递减，所以，故选项B错误；因为，所以，，且，所以成立，故选项C正确；由，两边同乘以，因为，所以，故选项D错误.故选：AC10.下列各式计算结果为1的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式和两角和的正切即可求出.【详解】，，，，，.故选：BD.11.已知函数，则（）A.是的一个周期B.的值域为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数在区间上有7个零点【答案】BCD【解析】【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点.【详解】由，可得是偶函数，是的一个周期，当时，，如图画出函数图象，，，所以不是的一个周期，故A错；由图可知的值域为，故B对；，所以直线是函数图象的一条对称轴，故C对；令，即，由图可得函数与的图像有7个交点，故D对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】【分析】根据幂的运算性质和诱导公式求值.【详解】原式.故答案为：13.若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________.【答案】（不唯一）【解析】【分析】设，根据条件探究满足的条件即可.【详解】先假设为一次函数，设，则.所以函数都满足条件.故答案为：（不唯一）14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：）【答案】10【解析】【分析】设出未知数，得到不等式，两边取对数，得到，求出答案.【详解】因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减，设t小时后驾驶员体内的酒精含量为，，依题意得：，解得由，得，整理得，两边取对数解得所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶.故答案为：10.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，分别确定集合，，再根据并集的概念求两个集合的并集即可.（2）问题转化为求参数的取值范围求解.【小问1详解】，即，.当时，，，，..【小问2详解】“”是“”的充分条件，，，所以a的取值范围是.16.已知函数.（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；（2）求不等式的解集.【答案】（1），偶函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的知识进行证明.（2）解法一：先化简函数，再把化为，最后根据函数的单调性求解即可：解法二：先化简函数，判断的单调性，再根据偶函数得到求得即可.【小问1详解】依题意得解得，所以函数的定义域为判断为偶函数，又的定义域关于原点对称，所以是偶函数.【小问2详解】解法一：所以可化为因为在定义域内单调递增，故有，解得或又因为的定义域为，所以的解集为解法二：因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减.故可化为，所以，即或，又因为的定义域为，故的解集为17.函数（，，）在一个周期内的图象如图所示.（1）求的解析式和单调递增区间；（2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，得到的图象.若，且，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据图像可直接求出，根据周期以及点的坐标，即可求得解析式，然后利用正弦型的单调性直接求解单调区间即可；（2）根据图像变换，得到解析式，利用三角函数值，结合两角差的余弦公式即可求出结果.【小问1详解】由图可得且，，，，，，代入，，，，，，，令，的单调递增区间为.【小问2详解】依题意得，，，，又，，，，所以的值为.18.（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”.（1）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）若两个不相等的正数m，n满足，求证：；（3）若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）上单调递增，证明见解析（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明；（3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是