5.3 实践与探究一元一次方程的应用（习题）（原卷版）-华东师大版(2024)七下

5.3实践与探究教学目标1.掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，能规范解题；2.熟记各类常见问题的核心等量关系，能快速提炼实际问题中的等量关系；3.会根据问题特点选择合适的设元方式，准确列出方程；4.能解决基础及中档难度的实际问题，初步体会数学建模思想；5.培养分析问题、解决问题的能力，形成用数学知识解决实际问题的意识。教学重难点重点：（1）列方程解应用题的“审、设、列”三步核心环节；（2）各类常见问题的核心等量关系（如行程、销售、工程问题）；（3）根据问题特点选择直接或间接设元的方法；（4）检验方程的解是否符合实际意义。难点：（1）复杂实际问题中核心等量关系的提炼（如含隐藏条件的行程问题）；（2）分段计费、方案选择问题的分类讨论与计算；（3）形积变化问题中公式的灵活运用及单位统一；（4）辅助设元法的合理使用（如复杂销售问题设进价为辅助量）。【即学即练】知识点01：列方程解应用题的通用步骤核心是“审→设→列→解→验→答”，审清题意找，设（直接/间接/辅助设元），列，求解后检验解的与，最后规范作答。【即学即练】1．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进一批吉祥物“喜洋洋”“乐融融”玩偶，原计划按每套45元的价格销售，恰好能售完所有玩偶，实际销售时，商店决定降价促销，每套售价降低了3元，结果比原计划多卖出20套，且总销售额比原计划增加了120元．求该商店原计划卖出多少套吉祥物玩偶？即该商店原计划卖出240套吉祥物玩偶．知识点02：常见实际问题的核心模型与等量关系涵盖和差倍分、行程、销售、工程、配套、形积变化等场景，核心是抓住各场景本质（如行程问题s=vt、销售问题“利润=售价-进价”、工程问题“工作量=效率×时间”）。【即学即练】1．某商场将一批学生书包按成本价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利12元，这种书包的成本是多少元？利润率是多少？(1)小林借助框图直观地表示了商场从进货、标价到销售获利的过程，根据题意请用含x的代数式将数量信息标注在框图中．解：设这种书包的成本是x元，(2)借助框图，列出方程，并计算出该商品的成本是多少元？利润率是多少？知识点03：设元与列方程技巧根据问题特点选择方式，复杂问题可设辅助量；列方程时保证两边，用含未知数的代数式准确表示，紧扣核心构建方程。【即学即练】1．列一元一次方程解决下列实际问题(1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？(2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度）知识点04：解的检验与实际问题优化检验解是否符合及实际情境（如人数、长度为正）；方案选择类问题需计算不同方案的费用/收益，对比后选择最优解。【即学即练】1．横道滑雪场位于黑龙江省牡丹江市海林市横道河子镇，该雪场始建于1998年5月，占地30万平方米，是牡丹江地区规模最大、设备最先进的、四季开放的综合性滑雪场．某学校体育社团利用周末时间去横道滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为200元．由于体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过15人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中）(1)方案一费用是元；方案二费用是元．（用含的代数式表示）(2)如果你是体育社团负责人，该如何选择方案呢？(3)已知体育社团人数多于25人且不超过30人，体育社团负责人对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买横道滑雪场钥匙链留作纪念，每人恰好一个，已知钥匙链单价为元．（为正整数）求钥匙链单价多少钱？体育社团共有多少人？（请直接写出答案）题型01：和差倍分问题方法技巧：抓住“多、少、倍、分、增长、减少”等关键词，明确各量之间的和差倍关系；设基数为未知数，根据等量关系列方程。【典例1】.（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）根据条件“x的14比它的13小5”中的数量关系列出方程为【变式1】.（25-26六年级上·上海·月考）已知y的2倍与3的差是y的3倍与5的和的13，求y【变式2】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2026年的元旦期间，某班以小组为单位，开展了“我手中的新年”手工作品展示活动，小欣和小乐所在小组打算制作灯笼．如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个灯笼？她俩经过独立思考后，分别列出如下方程．小欣的方法：10x小乐的方法：y+12(1)在小欣所列的方程中，未知数x表示的意义是，在小乐所列的方程中，未知数y表示的意义是．(2)请选择一种方法，将原题中的问题解答完整．【变式3】.（25-26七年级上·青海西宁·期末）列方程解应用题在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．已知编一个大中国结比编一个小中国结多用1m的绳子．王老师编了3个大中国结和7个小中国结，共计用绳子33m．(1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各用绳子多少米？(2)按照王老师的方法，七年级1班40名同学快速行动起来，女生编小中国结，男生编大中国结，每位女生一节课可以编3个小中国结，每位男生一节课可以编2个大中国结，一节课后发现小中国结的数量是大中国结的1.5倍，求七年级1班女生，男生各有多少人？题型02：数字问题方法技巧：间接设各数位上的数字为未知数，用数位表示法写出原数和新数；根据“数字和、数字差、新数与原数的关系”列方程。【典例2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位上的数字是十位上的数字的1.5倍，十位上的数字是百位上的数字的2倍．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的差是396，则这个三位数是．【变式1】.（25-26七年级上·青海海东·月考）一个两位数，十位上的数比个位上的数大2，个位上的数与十位上的数的和为8，这个两位数是．【变式2】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和均相等，则x-y的值为（y47x6A．-6 B．-12 C．63 D【变式3】.（25-26七年级上·吉林·期末）图1是2026年1月的月历．【规律感知】景怡在月历中用“工”形框框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如图2所示，直接写出a=，b=【规律整合】嘉轩在月历中用“H”形框也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如图3所示，请用含x的代数式表示c=，d=；两人框出的7个数字之和分别为M，N；当“工”形框与“H”形框的中间数字相等时，MN（填“>”“<”或“＝【迁移延伸】将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框出9个数的方框，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如图4所示，是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为．题型03：年龄问题方法技巧：设“x年后/前”为未知数，利用“年龄差不变”建立等量关系；注意年龄不能为负数，符合实际生活逻辑。【典例3】.（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）5年前，小明和小亮的年龄和是32岁，今年小明的年龄是小亮年龄的2倍，小明今年多少岁？【变式1】.（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明问老师的年龄，老师笑着说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后笑着说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”老师今年的年龄是（

）A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁【变式2】.（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？解：设弟弟的年龄为x岁，则有：16嘉嘉同学的解法：移项得：16合并同类项得：12x=24，系数化为1琪琪同学的解法：移项得：16x-32=4两边同除以4x-（1）弟弟的年龄是岁．（2）琪琪得出错误的结论的原因是．【变式3】.（23-24七年级下·江苏镇江·期末）小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题．(1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？(2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？(3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？题型04：古文数学问题方法技巧：翻译古文含义，提炼已知量、未知量及等量关系；按“审设列解验答”步骤解题，重点是准确转化文字描述为数学关系。【典例4】.（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿．”设牧童人数为x人，则可列方程为（

）A．5x-12=8C．8x-12=5【变式1】.（25-26七年级上·河北邯郸·月考）《孙子算经》中有问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若鸡有x只，则可列方程为（

）A．2x+435-C．2x+35-【变式2】.（25-26七年级上·宁夏中卫·期末）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱：如果每人出6文钱，就差16文钱，买鸡人．【变式3】.（25-26七年级·全国·假期作业）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》）题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？(1)假设人数为x，请先填写下表，然后完成解答；有关量每人分7两每人分9两人数xx分银子总量7银子总量7(2)请你换一种方法解决这个问题．有关量每人分7两每人分9两人数xx分银子总量79银子总量79题型05：日历/数阵问题方法技巧：设日历中核心数（如中间数）为未知数，利用“日历中相邻数的差为1或7”表示其他数；根据“数字和”列方程，检验解是否在日历合理范围内。【典例5】.（25-26七年级上·福建南平·月考）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为．【变式1】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1是2026年1月的日历，用图2框出图1中4个数，若这4个数的和是82，则这4个数中最大的数为．【变式2】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是某月的月历、用“H”形框（阴影部分）覆盖任意七个数并求它们的和，则这七个数的和可能是（）A．189 B．126 C．112 D．85【变式3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图是2026年3月份的日历，任意圈出一斜列上相邻的三个数，它们的和不可能是（）A．27 B．33 C．44 D．60题型06：行程问题方法技巧：画示意图分析路程关系，明确“总路程”“追及路程”等核心量；根据s=vt，用含时间（或速度）的未知数表示路程，列方程。【典例6】.（25-26七年级上·四川德阳·月考）一列匀速前进的火车从进入320m长的隧道到完全通过隧道经历18s，隧道顶部安装了一台固定的激光发射器，它会持续发出一道垂直向下的极细激光（激光线不移动），激光照射在车身上的时间为10s，则这列火车的长为（

）A．178m B．320m C．400m D．576m【变式1】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》中记载了这样一道数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安，同几何日相逢？其大意为：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发，问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程为（

）A．x+27=C．x+27+【变式2】.（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试卷）2025年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距90公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快10千米/时，经过1.5小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？【变式3】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践：周末小普同学和6名好友租了两辆专车从A地一起去B地看演出，途中一辆专车在离B地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达B地，但此时距离B地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案：方案一先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送相关数据：专车行驶的平均速度：60千米/时．乘客行走的平均速度：5千米/时．每辆专车限乘5人（含司机）．方案二先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行(1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上B地的演出？并说明理由；(2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达B地的演出现场；(3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达B地演出现场的最短时间．题型07：销售问题（盈亏/打折）方法技巧：熟记利润、利润率公式，区分“标价、售价、进价”；以“利润=售价-进价”或“利润率=（利润/进价）×100%”为核心等量关系列方程。【典例7】.（25-26七年级上·青海西宁·期末）根据下面两人的对话，若设哥哥买手机的预算为x元，则可列方程为（

）弟弟：哥哥你的手机买了没有？哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元．弟弟：元旦这台手机会打8折促销．哥哥：如果这样就比我的预算少200元．A．x+1200=0.8x-C．0.8(x-1200)=【变式1】.（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他（

）A．不赚不赔 B．赔16元 C．赚16元 D．无法确定【变式2】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是小刚这一周的送餐量．星期一二三四五六日送餐量（单）-+3-0+6+8+14(1)求小刚这一周一共送餐多少单；(2)若外卖员每周的工资为每单m元，小刚想用这周的工资买一台标价为2200元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利10%销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩300元，请求出m的值．【变式3】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）某超市有A品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶15元一瓶，小瓶牛奶每瓶10元(1)小明去超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了92元．①小明妈妈说：“按原价购买，不可能是92元！”请说明小明妈妈这样说的理由．②小明看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打8折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小明购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？(2)过了几天，小亮去超市，发现原价每瓶15元的B品牌牛奶“买二送一”促销，小亮按原价购买A品牌大、小牛奶若干瓶，同时购买B品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中A品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送的牛奶）的13，求小亮A题型08：工程问题（单人/简单合作）方法技巧：总工作量设为“1”，单人效率=1完成时间；合作时，“各部分工作量之和=【典例8】.（25-26七年级上·北京·月考）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成．现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程．【变式1】.（25-26七年级上·甘肃武威·期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．(1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？(2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量．【变式2】.（25-26七年级上·河南商丘·月考）某农场有一块面积为1200亩的耕地需要播种，现安排A、B两个播种队共同完成这项任务．已知A播种队每天播种的亩数是B播种队每天播种亩数的2倍，A、B两个播种队合作5天完成了总任务的12(1)求A、B两个播种队每天分别可播种多少亩；(2)若A播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由B播种队单独完成，总费用刚好为13.6万元．已知A播种队每天的播种费用为0.8万元，B播种队每天的播种费用为0.5万元，求A播种队单独播种的天数．【变式3】.（25-26七年级上·全国·期末）有一些相同的教室需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8间教室，结果其中有40m2的墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9间教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面(1)一天1名师傅可以粉刷多少m2(2)现有60个这样的教室需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需800元，徒弟每天工资需500元，则完成所有粉刷共需工资多少元？题型09：配套问题方法技巧：明确配套比例（如a:b），设生产其中一种部件的数量（或人数）为未知数；根据“甲部件数量×b=乙部件数量×a”列方程。【典例9】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）某车间有25名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1500个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？【变式1】.（25-26七年级上·吉林·期末）列方程解应用题：某工厂有50名工人，每人每天可以生产螺钉900个或螺母1200个．(1)如果生产螺钉的人数比生产螺母的人数多14人，那么生产螺钉和生产螺母的各有多少人？(2)如果1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好匹配，工厂应安排其中多少人生产螺母？【变式2】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）为响应国家绿色制造与资源高效利用政策的号召，某陶瓷器厂优化瓷泥配比与生产工艺烧制陶瓷茶具．已知每套茶具由1个茶壶和2只茶杯组成，用1千克瓷泥可做2个茶壶或5只茶杯．现要用9千克瓷泥全部制作这类茶具，如何分配恰好使制作的茶壶和茶杯配套？【变式3】.（25-26七年级上·辽宁营口·期末）在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案：请你根据制作方案，完成下面的问题：几何体制作方案步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片．步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元．步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体．若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体．题型10：分段计费问题方法技巧：先判断未知量所在计费区间（通过临界值估算）；分区间表示费用，总费用=各区间费用之和，列方程求解后验证区间是否正确。【典例10】.（24-25七年级上·福建福州·期末）某城市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并按阶梯计价，收费标准（户内人口不超过4人）如表：收费方式月用水量/m单价（元/m3第一阶梯0~154.5第二阶梯15~206第三阶梯20以上8注：①公摊水费：每户每月10元；②每月实际应交水费=阶梯水费+公摊水费．(1)若小明家某月用水18立方米，则小明家该月实际应交水费多少元？(2)已知某户居民某月的实际应交水费为187.5元，则这户居民的该月用水量是多少立方米？(3)若某户某月实际应交水费平均每立方米6.5元，求该户该月用水量．【变式1】.（24-25七年级上·广东广州·期末）某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下：阶梯（档次）用电量（度）电价（元/度）第一档0～2600.59第二档261～6000.64第三档601及以上0.89（执行居民阶梯电价总电费=第一档电费+第二档电费+第三档电费；不足1度按1度计算收费）(1)第二档电价比第一档多元；(2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费．(3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量．【变式2】.（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元．档次月用电量电价（元/度）第1档不超过240度的部分a第2档超过240度但不超过400度的部分0.65第3档超过400度的部分a(1)表中a的值为__________；若用电400度，则应缴电费__________元．(2)求老李家9月份的用电量；(3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元/度，请直接写出老李家8月份的用电量．【变式3】.（25-26七年级上·湖北荆州·月考）【素材一】某市居民用电价格表如下：档次年用电量分时电价（元/度）高峰电价低谷电价第一档年用电2160度及以下部分0.590.34第二档年用电2161~3600度部分0.640.39第三档年用电3601度及以上部分0.890.64注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量．用电量不足1度的部分顺延至下个月结算．【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下：月份（月）12∼678用电量（度）4801720520650【问题解决】(1)若该用户1月份所用的高峰电量为330度，求该用户1月份应缴电费；(2)若该用户7月份所用的低谷电量为370度，求该用户7月份应缴电费；(3)已知该用户8月份缴纳电费366元，求该用户8月份所用的高峰电的度数．题型11：方案选择问题方法技巧：列出所有可行方案，分别计算各方案的费用（或收益）；设两种方案费用相等时的临界量，通过比较临界量前后的方案优劣，选择最优解。【典例11】.（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案，方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元，设缴费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费共为N元．(1)分别用x表示M，N；(2)缴费时间为多少个月时，两种方案费用相同？并说明理由．(3)若垃圾桶使用时间为两年，哪种方案更省钱？【变式1】.（2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务：问题情境为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）．素材1羽毛球拍：150元/副羽毛球：10元/个素材2方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球．方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售．任务1若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？任务2现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式．【变式2】.（25-26七年级上·吉林松原·期末）某校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择：甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；若超过2000本，则超过部分每本收印刷费0.25元；若该校需印刷证书x本．(1)请问甲、乙两厂的收费分别是多少？(2)当印刷证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？(3)请问印刷多少本证书时，甲、乙两厂收费相同？【变式3】.（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）元旦期间，七年级全体人员准备前往某地参加社会实践活动，研究性学习小组在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜，在商谈过程中，他们获得以下两个信息：出租车公司有A,租车价格信息记录单A型车/辆B型车/辆租金总费用/元记录单1111200记录单2322800已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆54个座位，经过调查研究，确定两种租车方案：方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以（比全部租用A型客车）少租13辆，且剩余48个座位．根据以上信息，完成下列3个任务：任务1根据“租车价格信息”，计算A,任务2请根据“车型座位信息”填写以下表格中的空格内容．解：设方案二全部租用B型客车x辆，则可列表如下：租用车辆数每车座位数剩余座位数七年级总人数全部租用A型车x24024全部租用B型车x544854一、单选题1．（25-26七年级上·辽宁·期末）我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（

）A．3x+2=2C．3x-2=22．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分该队共赛了9场比赛保持不败，共得21分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（

）A．3(9-x)+xC．3x+(9-x3．（24-25六年级下·山东青岛·期中）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是15%，商品标价是多少元？设商品标价为x元，可列方程为（

）A．90%x-1530=1530×15%C．1530×90%=x1+15% D4．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日．甲仍发长安．问几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢?设甲经过x日与乙相逢，可列方程为（

）A．7x+2+5x=1 B．75．（25-26七年级上·陕西西安·月考）某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有x架无人机，则可列方程（

）A．3x+2=2C．x3+2=x二、填空题6．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）在数学综合实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒，如图，长方形ABCD中，AD=20cm，AB=5cm，小沈用EF把长方形ABCD分成2个长方形，将长方形ABFE折叠成纸盒的侧面，将长方形CDEF沿GH剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是

7．（25-26七年级上·吉林·期末）《九章算术》中的数学名题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人几何？题目大意是：几个人合伙买一件物品，如果每个人出8钱，多出3钱；如果每个人出7钱，还差4钱．请问合伙的人数是多少？（注：钱为古代货币单位）设合伙人数为x人，可列方程为：．8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某传统手工坊计划制作一批折扇，如果每人做7把，那么会比计划的多做9把；如果每人做5把，将比计划的少做5把．设计划做x把折扇，则可列方程为．9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为5cm，容器内水的高度为6cm，把一根半径为1cm的玻璃