中考数学旋转相关专题试题集

中考数学旋转相关专题试题集旋转，作为几何变换中的重要一员，在中考数学中占据着举足轻重的地位。它不仅能考察学生对图形性质的理解，更能体现对空间想象能力和逻辑推理能力的综合运用。掌握旋转的核心概念与解题技巧，对于攻克中考几何难题至关重要。本专题将带你深入探究旋转的奥秘，通过典型例题的剖析与实战演练，助你在中考中应对自如。一、旋转的基本概念与性质回顾在深入试题之前，我们有必要重温旋转的核心要素：1.旋转中心：图形绕着转动的固定点。2.旋转方向：通常分为顺时针和逆时针两种。3.旋转角度：图形上一点与旋转中心的连线，与旋转后对应点与旋转中心连线所成的角，即为旋转角。旋转的基本性质是解决一切旋转问题的基石，务必烂熟于心：*对应点到旋转中心的距离相等。*对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。*旋转前、后的图形全等，即对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小不发生改变。这些性质是我们进行几何推理、寻找等量关系、构造辅助线的依据。二、典型例题分析与方法提炼（一）基础概念辨析与简单计算例1：如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，若∠CAE=60°，∠B=70°，且AD⊥BC，求旋转角的度数。思路点拨：首先，根据旋转的性质，我们知道旋转中心是点A，对应点B与D对应，C与E对应。因此，∠BAD和∠CAE都是旋转角（因为旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）。题目已给出∠CAE=60°，所以旋转角理论上就是60°？但题目又给出了∠B=70°且AD⊥BC，这似乎暗示我们需要验证或通过另一组对应角来求解，以确保万无一失。解答过程：∵△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴∠BAD=∠CAE=旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角）。已知∠CAE=60°，故初步判断旋转角为60°。为验证，我们利用其他条件：AD⊥BC，∴∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠B=70°，∴∠BAD=180°-90°-70°=20°？哎，这里出现了矛盾，说明我们对对应点的判断可能有误。重新审视：点C的对应点是E，那么AC的对应边是AE，所以∠CAE是旋转角。点B的对应点是D，那么AB的对应边是AD，所以∠BAD也是旋转角。因此，∠BAD必须等于∠CAE。那么刚才计算∠BAD=20°是怎么回事？∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠ABD=70°，∴∠BAD=20°。这说明∠CAE也应该是20°？但题目说∠CAE=60°。哦！我明白了，可能是我画图时，点D的位置判断反了。如果旋转后AD⊥BC，且∠B=70°，那么∠BAD=20°，所以旋转角∠BAD=∠CAE=20°。题目中说的“∠CAE=60°”可能是我看错了，或者题目中的图形是∠BAE=60°？不，题目是“∠CAE=60°”。这提示我们，必须严格按照题目条件来。如果∠CAE=60°，那么∠BAD=60°。则在△ABD中，AB=AD（旋转性质：对应边相等），所以△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠ADB。∠BAD=60°，∴∠ABD=∠ADB=(180°-60°)/2=60°。但题目说∠B=70°，即∠ABD=70°，这与∠ABD=60°矛盾。因此，唯一的可能是，AD与BC的垂足不是点D在BC上，而是AD的延长线与BC垂直？设AD延长线交BC于点F，则∠AFB=90°。∠B=70°，∴∠BAF=20°。∵旋转角∠BAD=60°，∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=60°-20°=40°。这样就能解释通了。所以，题目中的“AD⊥BC”是指AD的延长线垂直于BC。因此，旋转角确实是∠CAE=∠BAD=60°。解题反思：本题主要考察对旋转角概念的理解和旋转性质的直接应用。解题时易因图形的空间想象不足或对“AD⊥BC”的垂足位置判断失误而产生困惑。这提醒我们，对于几何题，准确画图和多角度思考非常重要，遇到矛盾时要敢于回头检查前提假设。（二）利用旋转性质解决几何证明与计算例2：已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=45°。求证：BE+DF=EF。思路点拨：这是一道非常经典的正方形旋转问题。条件中给出了∠EAF=45°，而正方形的内角是90°，很自然地想到将△ADF或△ABE旋转90°，使得分散的线段BE和DF集中到一起，从而构成一条与EF相等的线段。解答过程：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG。∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°。由旋转性质可知：AG=AF（对应边相等），BG=DF（对应边相等），∠BAG=∠DAF（对应角相等），∠ABG=∠D=90°。∵∠ABC=90°，∠ABG=90°，∴点G、B、C三点共线，即G在CB的延长线上。∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°。∵∠BAG=∠DAF，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°。在△GAE和△FAE中：AG=AF（已证），∠GAE=∠FAE=45°（已证），AE=AE（公共边），∴△GAE≌△FAE（SAS）。∴GE=EF（全等三角形对应边相等）。∵GE=GB+BE=DF+BE（已证BG=DF），∴BE+DF=EF。解题反思：本题巧妙地运用了旋转的思想，将△ADF“搬”到了△ABG的位置，使得原本分散的条件（BE、DF、∠EAF=45°）集中起来，从而通过证明三角形全等来得出结论。这种“旋转全等”的思想在解决含有等腰直角三角形、正方形等特殊图形（存在共顶点等线段）的问题时非常常见。当题目中出现“共顶点的等线段”和“特定角度”时，要联想到旋转的可能性。（三）动态旋转与几何探究例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'。（1）求证：△ABB'∽△ACC'；（2）当CC'//AB时，求BB'的长度。思路点拨：（1）要证明两个三角形相似，已知△ABC是等腰直角三角形，旋转后AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'（都是旋转角）。根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明是很自然的思路。（2）当CC'//AB时，结合旋转性质和已知的等腰直角三角形条件，可以构造出特殊的角度（如45°、60°等），进而求出旋转角的大小，再在△ABB'中利用余弦定理或特殊角的三角函数求出BB'的长度。解答过程：（1）证明：∵△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，∴AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=旋转角α。∴AB/AC=AB'/AC'，且∠BAB'=∠CAC'。∴△ABB'∽△ACC'（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠CAB=45°，AB=√(AC²+BC²)=√(4²+4²)=4√2。∵CC'//AB，∴∠ACC'=∠CAB=45°（两直线平行，内错角相等）。∵AC=AC'，∴△ACC'是等腰三角形，∠ACC'=∠AC'C=45°。∴∠CAC'=180°-45°-45°=90°，即旋转角α=90°。∴在△ABB'中，AB=AB'=4√2，∠BAB'=90°，∴△ABB'是等腰直角三角形。∴BB'=√(AB²+AB'²)=√[(4√2)²+(4√2)²]=√[32+32]=√64=8。解题反思：第（1）问直接运用旋转性质和相似三角形的判定定理即可解决。第（2）问的关键在于利用“CC'//AB”这一平行条件，结合等腰三角形的性质求出旋转角的度数。当旋转角为90°时，△ABB'也成为等腰直角三角形，从而利用勾股定理求出BB'。动态旋转问题常常需要我们找出运动过程中的不变量（如对应边相等、旋转角相等）和特殊位置关系（如平行、垂直），并据此进行计算和证明。三、中考真题实战演练（以下选取几道不同风格的中考真题，供同学们练习巩固）真题1（基础计算）：如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠AOB=45°，则∠AOD等于（）A.35°B.40°C.45°D.55°（提示：明确旋转角为∠AOC=∠BOD=80°，∠AOD=∠AOC-∠COD，而∠COD=∠AOB。）真题2（性质应用与证明）：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F。（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长。（提示：（1）利用旋转性质得到AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，结合AB=AC即可证全等。（2）菱形的性质：四条边相等，AD=AC=CF=AF=2，∠DAF=∠BAC=45°，在△ABF中，AB=2，AF=2，∠BAF=∠BAC+∠CAF，而∠CAF=∠CAD（菱形性质AD//CF，内错角相等），∠CAD=∠BAD-∠BAC，∠BAD=∠CAE，且AE=AC=AD=AB=2，△ACE≌△ABD。）真题3（动态探究与最值）：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），将△ACP绕点P顺时针旋转得到△A'CP'，连接A'B。（1）当点P与点C的对应点P'落在边BC上时，求BP的长；（2）在旋转过程中，线段A'B的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。（提示：（1）旋转后PP'=PC，∠CPP'=∠CP'P，利用勾股定理和相似列方程。（2）A'P=AP，所以点A'在以P为圆心，AP为半径的圆上运动，但P本身也在AB上运动，所以A'的运动轨迹较复杂。可转化为：A'P=AP，BP固定吗？不固定。考虑在某个位置时，A'、P、B三点共线，且A'在PB之间时，A'B=PB-A'P=PB-AP。设AP=x，则PB=10-x，A'B=10-x-x=10-2x。但这只是一种特殊情况，是否为最小值？或者，连接PA'，A'P=AP，所以A'B≥|PB-A'P|=|PB-AP|，当且仅当A'、P、B三点共线时取等号。设AP=x，则PB=10-x，A'B≥|(10-x)-x|=|10-2x|。当x=5时，|10-2x|=0，但此时P为AB中点，A'与B重合？需检验。或者，考虑A'的轨迹是以P为圆心AP为半径的圆，但P在动，所以可以考虑用坐标法，建立坐标系，设P点坐标，表达出A'点坐标，再求A'B的距离表达式，求最小值。）四、解题策略与总结旋转问题千变万化，但万变不离其宗。掌握以下解题策略，能帮助你更高效地解决旋转相关问题：1.“慧眼识旋转”：当题目中出现等腰三角形（特别是等腰直角三角形、等边三角形）、正方形、共顶点的等线段时，要高度警惕，旋转往往是解决这类问题的金钥匙。2.“性质是根本”：时刻牢记旋转的三大性质（对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角、旋转前后图形全等），它们是推导一切关系的基础。3.“构图找全等（或相似）”：旋转常常伴随着全等三角形或相似三角形的出现，要善于从复杂图形中分解出这些基本图形。4.“动态问题抓特殊”：对于动态旋转问题，要关注运动过程中的不变量和特殊位置（如旋转角为30°、45°、60°、90°、180°等特殊角时，或图形的边、角关系出现平行、垂