小学奥数长度角度专项练习题及解答

小学奥数长度角度专项练习题及解答在小学阶段的数学学习中，长度与角度的认知和计算是几何入门的基石，也是奥数竞赛中常见的考点。通过有针对性的练习，不仅能巩固基础知识，更能培养孩子们的空间想象能力和逻辑推理能力。以下为大家精心挑选了几道典型的长度与角度练习题，并附上详细的分析与解答，希望能帮助同学们更好地掌握这部分知识。一、长度计算专项练习练习题1：一个多边形的周长是指围绕它一周的长度总和。现在有一个由若干个相同小正方形组成的图形（如下图所示，每个小正方形的边长均为1厘米），请计算这个图形的周长。（图形描述：一个由5个小正方形组成的“凹”字形，下面一层3个并排的小正方形，中间一层在最左边小正方形上面叠放1个，最上面一层在中间小正方形上面叠放1个，形成类似“阶梯”但有凹陷的形状）分析与解答：初看这个图形，它由几条边组成，但并非标准的长方形或正方形，直接套用公式似乎有些困难。我们可以采用“平移法”来解决这类不规则图形的周长问题。我们从图形的最外层开始观察，将横向和纵向的边分别进行平移。横向来看，最上面一层有1个小正方形的上边，中间一层左边小正方形的上边（但被上层覆盖，不计入外围），最下面一层3个小正方形的上边和下边。经过平移，可以发现横向的总长度相当于3个小正方形边长的2倍（上下各一行）。纵向来看，最左边一列有2个小正方形的左边（中间和下面），最右边一列有1个小正方形的右边（下面），中间部分有小正方形的左右边需要补齐。经过平移，纵向的总长度相当于3个小正方形边长的2倍（左右各一列）。每个小正方形边长为1厘米，所以横向总长度为3×1×2=6厘米，纵向总长度为3×1×2=6厘米。但仔细观察，我们会发现图形右上角和右下角各有一个“凹陷”处，每个凹陷处会多出2条1厘米的边（横向和纵向各一条），这里共有2个凹陷，所以需要额外加上2×2×1=4厘米？不，这里需要更精确的平移。正确的平移方法是：将所有向外突出的水平线段向上或向下平移至同一水平线，将所有向外突出的垂直线段向左或向右平移至同一垂直线。对于这个“凹”字形，水平方向上，最上层的1个正方形的上边，中间层左边正方形的上边其实向内凹，不计算在外周长；最下层3个正方形的下边是完整的。上层和下层的水平外边加起来，相当于3个边长（下层）+1个边长（上层中间空缺部分由上层小正方形的右边和左边的小正方形补充？不，更简单的是数出所有外露的边。或者，我们可以采用“数格子”的方法，数出图形外围一周的小正方形边长数量。从上往下，从左往右：最上面左边小正方形的上边长（1），右边（1）；中间层左边小正方形的右边（1）；最下层左边小正方形的右边（1），中间小正方形的右边（1），最右边小正方形的上边（1）、右边（1）、下边（1）；然后是最下层从右往左的下边（2，因为中间和左边小正方形的下边），最左边小正方形的下边（1）、左边（1），中间层左边小正方形的左边（1），最上层左边小正方形的左边（1）。这样加起来：1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+1+1+1=14条边。所以周长是14厘米。答案：14厘米。练习题2：一根绳子在一棵大树的树干上绕了3圈后，还剩下4分米；如果绕4圈，则还差3分米。这根绳子长多少分米？树干一圈的长度是多少分米？分析与解答：这是一道典型的盈亏问题，绕树的圈数不同，绳子的余量也不同。我们可以通过比较两次绕树的情况来求出树干一圈的长度（即树的周长）。绕3圈余4分米，绕4圈差3分米。这意味着多绕1圈（从3圈到4圈），需要的绳子长度就是剩下的4分米加上还差的3分米，也就是4+3=7分米。所以树干一圈的长度是7分米。知道了树干一圈是7分米，那么绳子的长度就是3圈的长度加上剩余的4分米：3×7+4=21+4=25分米。或者，也可以用4圈的长度减去差的3分米：4×7-3=28-3=25分米。答案：树干一圈长7分米，绳子长25分米。二、角度计算专项练习练习题1：钟面上，3时整的时候，时针和分针所成的角是多少度？6时整呢？从3时整到4时整，分针转动了多少度？分析与解答：钟面是一个周角，即360度，被平均分成了12个大格，所以每个大格所对应的角度是360÷12=30度。3时整，时针指向3，分针指向12，它们之间间隔了3个大格，所以所成的角是3×30=90度，是一个直角。6时整，时针指向6，分针指向12，它们之间间隔了6个大格，所成的角是6×30=180度，是一个平角。从3时整到4时整，经过了1小时，分针正好转动了一圈，也就是360度。答案：3时整成90度，6时整成180度，分针1小时转动360度。练习题2：在一个三角形中，∠1的度数是∠2的2倍，∠3的度数是∠2的3倍，这个三角形三个角分别是多少度？它是什么类型的三角形？分析与解答：我们知道，三角形的内角和是180度。题目中给出了三个角之间的倍数关系，我们可以设其中一个角为未知数，然后根据内角和定理列出方程求解。设∠2的度数为x，那么∠1的度数就是2x，∠3的度数就是3x。根据三角形内角和为180度，可得：x+2x+3x=180度6x=180度x=30度所以∠2=30度，∠1=2×30=60度，∠3=3×30=90度。有一个角是90度的三角形是直角三角形。答案：三个角分别是60度、30度、90度，是直角三角形。练习题3：一个长方形的纸，沿着一条直线剪去一个角后，剩下的图形有几个角？剩下图形的内角和是多少度？（考虑不同剪法）分析与解答：这道题需要考虑不同的剪法，因为剪去一个角的位置和方式不同，剩下的图形形状也不同。剪法一：沿着长方形的一个角的顶点和这个角相邻的一条边上的一点（不是顶点）剪去一个角。这时，原来的长方形有4个角，剪去一个角后，会增加1个角，所以剩下5个角。5个角的图形是五边形，根据多边形内角和公式：(n-2)×180度，其中n是边数（也是角数），所以内角和是(5-2)×180=540度。剪法二：沿着长方形相邻两个角的顶点剪去一个角，也就是沿着对角线剪。这时，长方形变成了一个三角形，剩下3个角。三角形内角和是180度。剪法三：沿着长方形一个角的两条边上的点（都不是顶点）剪去一个角，这时，剩下的图形还是4个角，形成一个四边形。四边形内角和是(4-2)×180=360度。答案：剩下的图形可能有3个角（内角和180度）、4个角（内角和360度）或5个角（内角和540度）。三、综合拓展题练习题：如图，一个正方形的边长是10厘米，连接它的各边中点得到一个新的正方形，再连接这个新正方形的各边中点又得到一个更小的正方形。求最小的这个正方形的周长是多少厘米？分析与解答：首先，我们需要明确如何通过连接正方形各边中点得到新的正方形。对于一个正方形，连接各边中点后，新的正方形的顶点都在原正方形的边上，且每条边都是原正方形相邻两边中点的连线。设原正方形ABCD，边长为10厘米，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。连接EF、FG、GH、HE，得到新正方形EFGH。我们先来求新正方形EFGH的边长。在直角三角形EBF中，EB是AB的一半，即10÷2=5厘米，BF是BC的一半，也是5厘米。根据勾股定理（小学阶段可以通过画图和观察，或者用方格纸辅助理解，两个直角边都是5厘米的直角三角形，斜边长度可以通过计算得出），EF的长度是√(5²+5²)=√50=5√2厘米。但对于小学生，我们可以不直接用勾股定理，而是通过平移或面积法。原正方形面积是10×10=100平方厘米。连接中点后，原正方形被分成了4个全等的直角三角形和中间一个新正方形。每个直角三角形的面积是5×5÷2=12.5平方厘米，4个就是50平方厘米，所以中间新正方形的面积是100-50=50平方厘米。正方形面积是边长×边长，所以新正方形边长×边长=50，我们暂时记为a²=50。再连接这个新正方形EFGH的各边中点，得到更小的正方形IJKL。同样的道理，这个更小的正方形的面积是新正方形EFGH面积的一半（因为连接中点后，新正方形也被分成4个全等直角三角形和一个最小的正方形，每个小三角形面积是新正方形面积的1/8，4个就是1/2，所以最小正方形面积是新正方形面积的1/2）。所以最小正方形面积是50÷2=25平方厘米。因为25=5×5，所以最小正方形的边长是5