2023-2024学年广东深圳红岭中学高二(上)学段一数学试题含答案

红岭中学2023－2024学年度第一学期第一学段考试高二数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.4．M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为A．相切B．相交C．相离D．相切或相交5．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是AC1的为(A．AB+AD+AA1B．AC+CC1+AB6．圆(x+1)2+(y—1)2=4上7．如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为() 点P，则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是()3,23)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．经过点P(6,-3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为()10．已知α,β为两个不同的平面，m,n,l为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的A．若α丄β,l/α,则l/βD．若l//m,l//n，且mα,nβ,则α//β11．已知直线l：y=kx+2k+2(k∈R)与圆C：x2+y2-2y-8=0．则下列说法正确的是A．直线l过定点(-2,2)B．直线l与圆C相离C．圆心C到直线l距离的最大值是2·D．直线l被圆C截得的弦长最小值为412．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G分别是棱AD,A．直线A1G,C1E为异面直线丄平面EFGC．过点B,E,F的平面截正方体的截面面积为D．点P是侧面B1BCC1内一点（含边界D1P//平面BEF，则DP的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16．正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当P--A.-取得最小值时，点P到AD的距离为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点A(0,2)和直线l:x-2y-1=0.(1)求过点A且与直线l垂直的直线的一般方程;(2)求与直线l平行且与l之间的距离为的直线的一般方程.18．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大小；点E，F分别为AD，PC的中点.(1)证明：DF//平面PBE；(2)求点F到平面PBE的距离.20．已知点A(4,4),B(0,3)，圆C的圆心坐标为C(3,2)，半径为1.（1）过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（2）设点E(2,0)，F(0,-2)，P为圆C上任意一点，求|PE|2+|PF|2的最大值；(1)证明：A1在底面ABC上的射影是线段BC的(2)求直线AC1与平面A1B1C所成角的余弦值.22．已知圆C经过点A(4,1)，B(3,0)，D(0,-1)，点P是圆C上任意一点，点P关于直线l:x-y-1=0的对称点为Q.（1）求圆C的一般方程；（2）设点F(2,-1)，在直线y=-1上是否存在一点G（异于点F使得（常数）.若存在，请求出G的坐标及常数k的值；若不存在，请说明理由.红岭中学2023－2024学年度第一学期第一学段考试高二数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】【答案】A【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.的斜率为故选：A2．已知点，则）【答案】B【分析】直接利用空间向量的坐标表示计算数量积即可.故选：B3．设直线l1：3x+2ay5=0，l2：(3a1)x【答案】【答案】B【分析】通过两条直线平行的关系，可建立关于a的方程，解方程求得结果.本题正确选项：B【点睛】本题考查直线位置关系问题．关键是通过两直线平行，得到：【点睛】本题考查直线位置关系问题．关键是通过两直线平行，得到：A1B2一A2B1=0.4．M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【答案】【答案】C【分析】由题意可得x+y<1，结合圆心到直线x0x+y0y=1的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【详解】由题意知M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，故直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为相离，故选：C11DB1D1【答案】B【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.【详解】选项B中，AB+AC+CC1=AB+(AC+CC1)=ABDCAC1.故选：故选：B.2【答案】【答案】C【分析】先根据方程判断直线与圆的关系，根据半径及距离判断点的个数.则直线l与圆相交，由圆的半径为2知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选：C7．如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为()【答案】D【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解.【详解】解：设正四面体OABC棱长为1，a=b=c:arcb.crc..2∵E，F分别为AB，OC的中点，△OAB，△OBC是等边三角形，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为故答案为：D.2.3点P，则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是()C．[3,33)D．[2,22)【答案】【答案】A【分析】先求出直线l1和l2的定点，即可推出点P的轨迹方程，将原问题转化为两圆之间的位置关系，即可求解.恒过(3,1)，同理可得，直线l2恒过(1,3):两条直线的交点P在以(1,3)，(3,1)为直径的圆上，即P的轨迹方程为(x2)22故d的取值范围是[2,32).故选：B.解法二：联立两条直线的方程，解得交点P的坐标为故得d的取值范围是[2,32).二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．经过点P(6,—3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为()B．x-y-9=0D．2x-y-15=0【答案】AC【分析】根据截距的定义，分类讨论截距均为0和截距均不为0的情况，计算可得答案.【详解】若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为x+2y=0，A正确；若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为=1，将P代入方程得a=3，则直线的方程为x+y-3=0，C正确.故选：AC10．已知α,β为两个不同的平面，m,n,l为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是A．若α丄β,l/α,则l/βD．若l//m,l//n，且mα,nβ,则α//β【答案】ACD【分析】对于ACD：结合正方体的结构特征分析判断；对于D：根据线面垂直的性质分析判断.【详解】对于选项A：若α丄β,l/α,则l/β或l,β相交，例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD丄平面ADD1A1，且BC,BD平面ABCD，可知BC//平面ADD1A1，BD∩平面ADD1A1=D，故A不一定成立；对于选项C：若l丄m,l丄n，且lα,m,nβ,则α,β不一定垂直，例如在正方体例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，对于选项D：若l//m,l//n，且mα,nβ,则α//β不一定成立，例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，且BC平面ABCD，A1D1平面ADD1A1，可知BC//AD,A1D1//AD，故D不一定成立；故选：ACD.11．已知直线l：y=kx+2k+2(k∈R)与圆C：x2+y2-2y-8=0．则下列说法正确的是A．直线l过定点(-2,2)B．直线l与圆C相离C．圆心C到直线l距离的最大值是2·D．直线l被圆C截得的弦长最小值为4【答案】AD【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.令x+2=0，即x=-2，得y=2，所以直线l过定点(-2,2)，故A正确；对于B，因为(-2)2+22-2×2-8<0，所以定点(-2,2)在圆C：x2+y2-2y-8=0内部，所以直线l与圆C相交，故B错误；对于C，因为圆C：x2+y2-2y-8=0，可化为x2+(y-1)2=9，圆心C(0,1)，当圆心C与定点(-2,2)的连线垂直于直线l时，圆心C到直线l距离取得最大值，-d2可知，当圆心C到直线l距离最大时，弦长取得最小值，故选：AD.A．直线A1G,C1E为异面直线C．过点B,E,F的平面截正方体的截面面积为D．点P是侧面B1BCC1内一点（含边界D1P//平面BEF，则DP的取值范围是【答案】BCD【分析】A.根据平行关系的传递性，可证明EG∥A1C1，即可判断；B.首先判断平面EFG//平面ACD1,再利用线面垂直的判断定理，即可证明；C.首先作出截面，再根据截面的形状，求其面积；D.利用面面平行的形状，确定点P的轨迹，再求DP的长度.【详解】对于A，连接EG,AC,A1C1，由题意可知EG∥AC，因为AC∥A1C1，所以EG∥A1C1，所以A1G,C1E共面，故选项A错误；对于B，因为EF//AD1，EF丈平面ACD1，AD1平面ACD1，所以EF//平面ACD1，同理，EG//平面ACD1，且EF∩EG=E，EF,EG平面EFG,所以平面EFG//平面ACD1,连结BD，所以AC丄平面BDB1，B1D平面BDB1，所以B1D丄平面AD1C，且平面EFG//平面AD1C，所以B1D丄平面EFG，故选项B正确；对于C，连接EF,FC1,EB,BC1，根据正方体的性质可得EF∥BC1，且EF=BC1，所以平面EFC1B即为过点B,E,F的平面截正方体的截面，该四边形为等腰梯形，所以截面面积为故选项C正确；对于D，取BB1的中点Q，B1C1的中点H，连结D1Q,QH,D1H，因为D1F//BQ，且D1F=BQ，所以四边形D1FBQ是平行四边形，所以D1Q//BF，D1Q丈平面BEF，BF平面BEF，所以D1Q//平面BEF，因为EF//AD1//BC1//HQ，HQ丈平面BEF，EF平面BEF，所以HQ//平面BEF，且HQ∩D1Q=Q，HQ,D1Q平面D1QH，所以平面D1QH//平面BEF，因为点P是侧面B1BCC1内一点（含边界D1P//平面BEF，所以点P的轨迹为线段HQ，连接DQ,DH，+2+12-:DP的取值范围为，故D错误.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于八个定理的熟悉，特别是选项D的判断，先通过面面平行找到P的轨迹，从而得到DP的取值范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.22π【答案】120°或3【分析】化成斜截式方程得斜率为k=-3，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y=-所以直线的斜率为k=-3，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120o.故填：120°或【答案】【答案】-3【分析】利用直线与平面垂直时直线的方向向量与平面法向量的关系及向量共线定理即可求解.【详解】因为OA丄α,所以OA//n，设OA=λn，则(-3,y,2)=λ(6,-2,z)，故答案为：-3.15．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2x+ay-8=0的公共弦长为2，则a【答案】【答案】±2【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可.【详解】圆x2+y2+2x+ay-8=0与圆x2+y2=4两式相减，整理得公共弦所在直线方程为2x+ay-4=0，又x2+y2=4，圆心为O(0,0)，半径为2，公共弦长为22，则圆心O(0,0)到直线2x+ay-4=0的距离化简得2(a2+4)=16，解得：a=±2．验证知符合题意.故填：±2.最小值时，点P到AD的距离为.【答案】【答案】.2【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取AD的中点为E，PA.PD=PE—4，【详解】因为四面体【详解】因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体，所以其体积为所以其体积为×1×1×6.设正四面体ABCD内切球的半径为r，则4××1×1×3×r=得r=6.如图，取AD的中点为E，则PA.PD如图，取AD的中点为E，则PA.PD=(PE+EA).(PE+ED)22.=PE+PE.(EA+ED)+EA.E.466设正四面体内切球的球心为O，可求得OA=OD=所以球所以球O上的点P到点E的最小距离为d—r=—=，326.326.故填：故填：.326【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P到AD的距离为球心O到点E的距离减去半径.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点A(0,2)和直线l:x-2y-1=0.(1)求过点A且与直线l垂直的直线的一般方程;(2)求与直线l平行且与l之间的距离为·的直线的一般方程.【答案】(1)2x+y-2=0，(2)x-2y+4=0或x-2y-6=0【分析】（1）确定直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程，化为一般式方程，即得答案；（2）设出所求直线的方程，用两条直线之间的距离公式求解，即可求得答案.12【详解】（1）直线l:x-2y-1=12所以过点A且与直线l垂直的直线的斜率为-2，故所求方程为y-2=-2(x-0)，即2x+y-2=0；------------------------------------5分（2）设所求直线的方程为x-2y+c=0，则,即|c+1|=5，解得c=4或∴所求直线的方程为x-2y+4=0或x-2y-6=0.-----------------------------------10分18．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大小；,b=2，求ΔABC的面积.(2)323【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可得解；（2）由余弦定理求出a=7，再由面积等积法求解即可.:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，:2sinBcosA=sin(A+C)，:A+C=πB，:2sinBcosA=sinB,因为0<A<π,所以A=.---------------------------------------------------------------------6分22所以SΔABC=bcsinA=.------------------------------------------------------------12分19．如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点.(1)证明：DF//平面PBE；(2)求点F到平面PBE的距离.【答案】【答案】(1)见解析【分析】(1)取PB的中点G，连接EG，FG，则可证DF//EG，进而由线面平行的判定定理即可得证；（2）DF//平面PBE，转化为点D到平面PBE的距离，再由等体积法求解.【详解】解法一1）取PB的中点G，连接EG，FG，如图，则FG//BC，且FG=∵DE//BC且DE=BC，:DE//FG且DE=FG，:四边形DEGF为平行四边形，:DF//EG，又EG平面PBE，DF丈平面PBE，:DF//平面PBE；-----------------------------5分（2）因为DF//平面PBE，所以点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d.即S△PBE.d=S△BDE.PD6．即点F到平面PBE的距离为.----------------------------------------12分解法二：向量法（略）20．已知点A(4,4),B(0,3)，圆C的圆心坐标为C(3,2)，半径为1.（1）过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（2）设点E(2,0)，F(0,—2)，P为圆C上任意一点，求|PE|2+|PF|2的最大值；【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；（2）设出点P的坐标，计算化简|PE|2+|PF|2的表达式，然后寻求其几何意义求解，或进行三角代换，求最大值；【详解】（1）由题意得圆C标准方程为(x-3)2+(y-2)2=1，C（3，2r=1,当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-4)，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4，满足题意；所以切线的方程为x=4或3x-4y+4=0.---------------------------------------------------6分（2）方法一：设点P(x,y)，则(x-3)2+(y-2)2=1，:|PE|2+|PF|2=(x-2)2+y2+x2+(y+2)2=2(x2+y2-2x+2y+4)设点M(1,-1)，则|PE|2+|PF|2=2|PM|2+4 即|PE|2+|PF|2的最大值为32+413；--------------------------------------------------12分方法二：设点P(x,y)，则(x-3)2+(y-2)2=1，即x2+y2=6x+4y-12，:|PE|2+|PF|2=(x-2)2+y2+x2+(y+2)2=4(2x+3y)-16设2x+3y=t，则直线2x+3y-t=0与圆C有公共点，:圆心C到直线2x+3y-t=0的距离≤r=1，2的最大值为32+4；12分|2的最大值为32+4；12分|PF|方法三：设点P(x,y)，则(x-3)2+(y-2)2=1，设x=cosθ+3,y=sinθ+2，则(x-2)2+y2+x2+(y+2)2=4(2cosθ+3sinθ)+32=4-sin(θ+φ)+32 故得|PE|2+|PF|2的最大值为32+413；--------------------------------------------------12分(1)证明：A1在底面ABC上的射影是线段BC的中点；(2)求直线AC1与平面A1B1C所成角的余弦值.【答案】(1)证明见详解；(2)3【分析】（1）先根据勾股定理可证AB丄AC，结合三线合一可证AC丄平面A1MN、BC丄平面AA1M，再根据线面垂直的性质和判定证明2）建系，求出平面A1B1C的法向量m，利用空间向量求线面角的正弦sinθ=【详解】解法一1）取线段BC、AC的中点M、N，连接AM,MN,A1M,A1N，:BC2=AC2+AB2，于是AB丄AC，∵MN∥AB，:MN丄AC，又∵△AA1C为等边三角形且N为AC的中点，:A1N丄AC，又∵MN∩A1N=N，且MN,A1N平面A1MN，:AC丄平面A1MN，∵A1M平面A1MN，:A1M丄AC，又∵AB=AC且M为BC的中点，:AM丄BC，又∵AA1丄BC，AM∩AA1=A，且AM,AA1平面AA1M，:BC丄平面AA1M，∵A1M平面AA1M，:A1M丄BC，又∵AC∩BC=C，且AC,BC平面ABC，:A1M丄平面ABC，即A1在底面ABC上的射影是线段BC中点M；-------------------------------------------------6分令令又设直线AC1与平面A1B1C所成角的角为θ,则θ∈,直线AC1与平面A1B1C所成角的余弦值为1.12分3解法二1）取线段BC的中点M，设AA1=a，AB=b，AC=c，则由题意可得:a.b=1，代入条件化简，可得c.b=0，:AB1丄A