浙教版七年级下册数学知识点总结及例题

浙教版七年级下册数学知识点总结及例题同学们，七年级下册的数学学习之旅即将结束。这个学期，我们接触了许多新的数学概念和方法，它们是后续数学学习的重要基石。这份总结旨在帮助大家系统梳理本学期的核心知识点，并通过例题加深理解，希望能为大家的复习提供一些切实的帮助。请记住，数学的学习不仅在于记住公式和定义，更在于理解其本质，并能灵活运用于解决实际问题。第一章相交线与平行线平面几何的入门，从认识线条之间的关系开始。本章我们主要学习了相交线所形成的角，以及平行线的判定与性质。1.1相交线与对顶角当两条直线相交时，会形成四个角。其中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质是对顶角相等。此外，两条直线相交形成的四个角中，相邻的两个角（有一条公共边，另一边互为反向延长线）叫做邻补角。邻补角的和为180度。例题1：如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC=50°，求∠BOD、∠AOD的度数。解析：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，所以∠BOD=∠AOC=50°。∠AOC与∠AOD是邻补角，它们的和为180°，所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-50°=130°。1.2垂线如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例题2：如何使用直尺和圆规，过直线外一点作已知直线的垂线？（简述步骤）解析：步骤如下（具体作图痕迹请自行练习）：1.以直线外的已知点为圆心，适当长度为半径画弧，交已知直线于两点。2.分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在直线的另一侧交于一点。3.过直线外已知点和第二步中两弧的交点作直线，这条直线就是所求的垂线。1.3同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截，会形成八个角。根据它们在图形中的相对位置，我们定义了同位角、内错角和同旁内角。*同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧。形如“F”型。*内错角：在截线的两旁，被截两直线之间。形如“Z”型。*同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间。形如“U”型。准确识别这些角是学习平行线性质与判定的基础。例题3：如图，直线AB、CD被直线EF所截，请指出图中的一对同位角、一对内错角和一对同旁内角。解析：（假设图中∠1与∠5在截线EF同侧，AB、CD上方）那么∠1与∠5是同位角；（假设∠3与∠5在截线EF两旁，AB、CD之间）那么∠3与∠5是内错角；（假设∠4与∠5在截线EF同侧，AB、CD之间）那么∠4与∠5是同旁内角。（具体答案需结合图形，此处为常见情况举例）1.4平行线的判定在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。判定两条直线平行的方法主要有：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。此外，如果两条直线都与第三条直线平行（或垂直），那么这两条直线也互相平行。例题4：如图，已知∠1=∠2，求证：AB∥CD。解析：（假设∠1和∠2是直线AB、CD被第三条直线所截形成的内错角）因为∠1=∠2（已知），所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。（具体证明需根据∠1和∠2的实际位置关系选择合适的判定定理）1.5平行线的性质如果两条直线平行，那么：1.两直线平行，同位角相等。2.两直线平行，内错角相等。3.两直线平行，同旁内角互补。平行线的性质与判定是互逆的关系，要注意区分何时使用判定，何时使用性质。（判定：由角的关系推线平行；性质：由线平行推角的关系）例题5：如图，AB∥CD，∠A=110°，求∠D的度数（假设AD是截线，或有其他条件表明∠A与∠D的关系，此处假设∠A与∠D是同旁内角）。解析：因为AB∥CD（已知），所以∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。因为∠A=110°（已知），所以∠D=180°-∠A=180°-110°=70°。第二章实数本章我们将数的范围从有理数扩展到了实数，这是一个重要的飞跃。2.1平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。即，如果x²=a，那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a。0的算术平方根是0。例题6：求下列各数的平方根和算术平方根：(1)25(2)0.04(3)16/81解析：(1)因为(±5)²=25，所以25的平方根是±5，算术平方根是5（即√25=5）。(2)因为(±0.2)²=0.04，所以0.04的平方根是±0.2，算术平方根是0.2（即√0.04=0.2）。(3)因为(±4/9)²=16/81，所以16/81的平方根是±4/9，算术平方根是4/9（即√(16/81)=4/9）。2.2立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即，如果x³=a，那么x叫做a的立方根，记作³√a。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。例题7：求下列各数的立方根：(1)8(2)-27(3)0.125解析：(1)因为2³=8，所以8的立方根是2（即³√8=2）。(2)因为(-3)³=-27，所以-27的立方根是-3（即³√(-27)=-3）。(3)因为0.5³=0.125，所以0.125的立方根是0.5（即³√0.125=0.5）。2.3实数有理数和无理数统称为实数。*有理数：整数和分数统称为有理数，都可以表示为有限小数或无限循环小数。*无理数：无限不循环小数叫做无理数，如√2，π等。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点一一对应。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。例题8：判断下列各数哪些是有理数，哪些是无理数：3.14，√3，0，π/2，4/7，√16解析：有理数：3.14（有限小数），0（整数），4/7（分数），√16=4（整数）。无理数：√3（开方开不尽的数），π/2（π是无理数）。第三章二元一次方程组从一元一次方程到二元一次方程组，我们解决问题的能力得到了提升。3.1二元一次方程与二元一次方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程有无数个解。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。例题9：下列方程中，哪些是二元一次方程？(1)x+y=5(2)x²+y=3(3)x+1/y=2(4)2x-3y=0解析：(1)和(4)是二元一次方程。(2)中x的次数是2，不是1；(3)不是整式方程。3.2解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。主要方法有：1.代入消元法：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。2.加减消元法：如果两个方程中有一个未知数的系数相反或相等，可以把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。如果系数不相反也不相等，可以先根据等式的性质，将方程变形，再用加减法消元。例题10：用代入消元法解方程组：{x+y=7{3x+y=17解析：由第一个方程x+y=7，可得y=7-x（将y用含x的代数式表示）。将y=7-x代入第二个方程3x+y=17，得3x+(7-x)=17。化简得：3x+7-x=17→2x=10→x=5。将x=5代入y=7-x，得y=7-5=2。所以，原方程组的解是{x=5,y=2}。例题11：用加减消元法解方程组：{2x+3y=11{5x-3y=13解析：观察到两个方程中y的系数分别是3和-3，互为相反数。将两个方程相加：(2x+3y)+(5x-3y)=11+13→7x=24→x=24/7?哦，不对，11+13是24吗？11+13=24，是的。所以x=24/7？感觉不太对，是不是我算错了？哦，不，应该是2x+5x=7x，3y+(-3y)=0，11+13=24，所以7x=24，x=24/7。然后将x=24/7代入第一个方程2*(24/7)+3y=11→48/7+3y=77/7→3y=29/7→y=29/21。这个解比较复杂，可能我例题数据没选好，但方法是对的。或者我们换一组简单的数据，比如将第二个方程改为5x-3y=4。那么相加得7x=15，x=15/7，还是复杂。好吧，就按原数据，重点是方法。所以，原方程组的解是{x=24/7,y=29/21}。（实际解题时，选择系数简单的方程组会更好）3.3二元一次方程组的应用列二元一次方程组解决实际问题的步骤与列一元一次方程解应用题类似：1.审题，找出题目中的已知量和未知量，明确数量关系。2.设两个未知数。3.根据题目中的等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。4.解方程组。5.检验解是否符合题意，并写出答案。例题12：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？解析：设甲种票买了x张，乙种票买了y张。根据题意，可列方程组：{x+y=35(总人数为35人){24x+18y=750(总费用为750元)解这个方程组：由第一个方程得y=35-x。代入第二个方程：24x+18(35-x)=75024x+630-18x=7506x=120x=20则y=35-20=15。答：甲种票买了20张，乙种票买了15张。第四章不等式与不等式组不等式是刻画现实世界中不等关系的重要数学模型。4.1不等式及其基本性质用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示大小关系的式子叫做不等式。不等式的基本性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。2.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。（这是非常重要的性质，容易出错）例题13：利用不等式的性质，把下列不等式化成x>a或x<a的形式：(1)x-5>-1(2)-2x>6解析：(1)不等式两边都加5，得x-5+5>-1+5→x>4。(2)不等式两边都除以-2（注意除以负数，不等号方向改变），得x<6÷(-2)→x<-3。4.2一元一次不等式含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。但要特别注意，当系数化为1时，如果两边乘或除以的是负数，不等号的方向必须改变。一元一次不等式的解集可以在数轴上表示出来，要注意空心圆圈与实心圆点的区别。例题14：解不等式2(x-1)+3<5x，并把解集在数轴上表示出来。解析：去括号，得2x-2+3<5x→2x+1<5x。移项，得1<5x-2x→1<3x。即3x>1→x>1/3。数轴表示：在数轴上找到1/3这个点，画一个空心圆圈（因为不包含1/3），然后向右画线。4.3一元一次不等式组把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起