数学文化浸润与问题解决导向下的教学设计-以“曹冲称象”为例探究“等量代换”思想（三年级上册）

数学文化浸润与问题解决导向下的教学设计——以“曹冲称象”为例探究“等量代换”思想（三年级上册）一、教学内容分析  本课内容隶属人教版三年级上册“测量”单元之后、数与代数领域的拓展与深化环节。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，其坐标清晰：在“知识技能图谱”上，它既是已学“质量单位（克、千克、吨）”概念的应用与巩固，更是为后续学习“等式的性质”、“代数的初步认识”埋下至关重要的思想伏笔。其核心认知要求从“识记”单位跃升至在真实、复杂情境中“理解”与“创造性地应用”度量思想，完成一次关键的概念关联与思维进阶。在“过程方法路径”上，本课是渗透“模型思想”与“推理意识”的绝佳载体。曹冲称象的故事本身就是一个生动的“问题解决”全流程案例（发现问题→转化问题→构建方案→实施验证），课堂将引导学生亲历这一过程，将生活智慧抽象为“等量代换”这一基本的数学思想方法，体验数学建模的雏形。“素养价值渗透”方面，故事蕴含的“转化与化归”策略是数学思维的瑰宝，能有效发展学生的“创新意识”；同时，通过对我国古代杰出智慧的赏析，在文化自信的浸润中感悟数学的实用价值与人文魅力，实现学科育人。  学情诊断显示，三年级学生已建立初步的质量观念，具备使用天平比较轻重的经验，这是本课学习的“锚点”。然而，其思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，将“大象体重”这一模糊、宏大的问题，通过“等量代换”转化为可解决的“石头总重”问题，是一次认知的跨越。主要障碍在于“等量”关系的寻找与确立，以及“整体代换”思想的建立。教学中，我将通过“前测问题”如“不用大秤，如何知道大象有多重？”动态探测学生的原始想法，区分出“束手无策”、“模糊联想曹冲方法”和“能初步阐述原理”三个层次。基于此，教学调适应提供差异化“脚手架”：对于基础层，提供直观的操作材料（如天平、小砝码、橡皮泥大象）和步骤清晰的引导卡；对于进阶层，设计开放度更高的方案设计与论证任务；鼓励所有学生使用图表、符号来记录和表达自己的思考过程，让思维可视化，便于教师进行形成性评价与即时指导。二、教学目标  知识目标：学生能在“曹冲称象”的具体情境中，理解“等量代换”的基本思想，即两个相等的量可以互相替换。他们能用自己的语言解释曹冲方法的巧妙之处，并能辨识生活中运用类似原理的简单事例。  能力目标：学生能够模拟曹冲的思路，尝试设计或完善一个用“替换法”解决实际测量问题的简单方案（如测量一大瓶水的体积）。在小组合作中，能清晰表达自己的构思，并对他人的方案进行基于“等量”原则的合理性评价。  情感态度与价值观目标：通过感受古人智慧，学生能体验到创造性解决问题的乐趣，增强民族自豪感。在方案研讨中，愿意倾听同伴的不同见解，养成尊重与包容的协作态度。  科学（数学）思维目标：重点发展“模型思想”与“推理意识”。学生经历将现实问题（称大象）抽象为数学模型（等量关系）的过程，初步体验“转化”策略。能运用逻辑推理，从“船身下沉深度相同”推出“重量相等”的结论。  评价与元认知目标：引导学生建立评价方案优劣的初步标准（如是否可行、是否简便、是否精确）。在课堂尾声，通过“回顾我们是怎么想到这个办法的？”等问题，启发学生反思问题解决的一般步骤（观察、联想、转化、验证），提升学习策略的元认知水平。三、教学重点与难点  教学重点：理解并初步应用“等量代换”的思想方法。其确立依据源于课程标准的“大概念”导向：“等量代换”是代数思维的基石，是贯通算术与代数的关键思想之一。从能力立意看，它直接关联“创新意识”与“模型观念”两大核心素养，对学生长远数学思维发展具有奠基作用。  教学难点：将具体情境中的“等量”关系进行抽象，并自主产生“整体替换”的构思。难点成因在于学生需克服“直接测量”的思维定势，完成从“称一个巨大物体”到“称许多可测物体”的认知转换，这需要跳跃性的联想与逻辑关联。预设依据来自常见思维障碍：学生即使听懂故事，在面临新问题时，仍可能无法主动建立“等量”纽带。突破方向在于提供丰富的、阶梯性的操作与想象活动，让“等量”关系在多重感官体验中变得可触摸、可推理。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：“曹冲称象”动画短片或系列图片；交互式课件（含动态演示“以石代象”过程）；简易天平模型或实物天平；大型塑料水箱（模拟船）；橡皮泥“大象”；一堆大小不一的砝码或标有重量的积木块（模拟石头）。  1.2学习材料：分层学习任务单（基础版含引导步骤，挑战版为空白设计稿）；小组活动记录卡。2.学生准备  复习质量单位“千克”和“吨”的知识；课前简单了解“曹冲称象”的故事。3.环境布置  教室桌椅调整为四人小组合作式；前侧设置“模拟称象”操作区。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与冲突激发：“同学们，看，老师这里有一个巨大的‘宝物箱’（出示一个密封的、无法直接称重的大纸箱）。大家都学过千克和吨了，现在，我特别想知道它有多重。谁能帮老师想想办法？”（学生可能提出用大秤、地磅等）老师回应：“哎呀，老师想直接把它放到秤上称一称，可它纹丝不动，我们教室也没有那么大的秤，这可怎么办？我们是不是遇到和古人类似的难题了？”  1.1故事链接与问题提出：播放“曹冲称象”动画片段至大臣们束手无策处暂停。“看，古人也遇到了和我们一样的麻烦！直接称大象，太难了。但当时有个叫曹冲的孩子，想出了一个绝妙的主意，后来真的称出了大象的重量。你们想知道他是怎么做的吗？他的办法背后，又藏着什么样的数学智慧呢？今天，就让我们一起来解密！”  1.2路径明晰：“我们将先当一回‘历史侦探’，仔细分析曹冲的每一步；再化身‘科学小匠’，用材料模拟体验；最后成为‘智慧创客’，看看能不能用这个智慧解决我们自己的问题。”第二、新授环节  任务一：解构故事，明晰步骤  教师活动：完整播放动画。随后，用课件分步呈现关键步骤图：1.赶象上船，刻下水位线；2.赶象下船，往船上装石头；3.装石头至同一水位线；4.分批称石头重量并相加。教师结合每步提问：“为什么要把大象赶上船？”（引导思考船的承重与下沉关系）“刻线是为了标记什么？”（强调“同样深度”这一关键状态）“为什么装的是石头，而不是别的东西？”（指向可分割、可称量的物体）“最后一步，把石头的重量加起来，得到的是什么重量？”（建立等价关系）。好，我们来复述一下，第一步是…第二步是…谁能把这几步连起来说清楚？  学生活动：观看动画，跟随教师的提问进行思考与回答。在教师引导下，与同桌互相用自己的话按顺序讲述曹冲称象的步骤。个别学生面向全班进行流程复述。  即时评价标准：1.能否按正确顺序说出关键步骤；2.在描述中是否关注到“船下沉到同一记号”这一核心条件；3.语言表达是否清晰、连贯。  形成知识、思维、方法清单：★操作流程结构化：将复杂问题分解为有序步骤是解决问题的关键方法。▲关键状态意识：“船身下沉深度相同”是整个方案成立的物理前提，也是数学“等量”关系的直观体现。教学提示：引导学生像拆解机器一样拆解故事步骤，培养有序思考习惯。  任务二：模拟称象，实证原理  教师活动：邀请学生到操作区。“现在我们用这个水箱当大船，橡皮泥大象就是我们的‘巨兽’，这些小积木块就是‘石头’。谁愿意来当小曹冲，按照刚才的步骤试一试？”教师辅助学生操作：先将“大象”放入水箱，用彩笔标记水面高度；取出“大象”；再请学生分批放入“石头”，直到水面再次到达标记线。“大家仔细看，现在水面怎么样了？这说明了什么？”（引导得出：此时“石头总重量”等于“大象重量”）。紧接着，用天平称量所有“石头”的重量并累加。“看，我们通过称这些小小的、能称的石头，真的知道了‘大象’的重量！”  学生活动：观察模拟实验，或亲手参与操作。直观感受“同样水位线”与“重量相等”的关联。在教师引导下，齐声说出结论：石头的总重量就是大象的重量。  即时评价标准：1.操作是否遵循“标记→替换→再至标记”的流程；2.能否将观察到的现象（水位同）与核心结论（重量等）准确关联。  形成知识、思维、方法清单：★等量代换思想：当整体A（大象）难以直接测量时，可以寻找与之相等的整体B（一堆石头），通过测量B来得知A。核心是“等量”，方法是“代换”。▲转化策略：把“测不出的重量”这个难题，转化成了“测得出、加得起的重量”这个已解决的问题。教学提示：让原理在“做”中变得可见、可信，这是从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的桥梁。  任务三：抽象关系，构建模型  教师活动：“同学们的实验做得真棒！现在，我们要从具体的船、水、大象、石头中，抽出最核心的数学关系。”教师在黑板上画图：  大象上船→船沉到线①  石头上船→船沉到线①  “这两次，船都沉到了同一个位置‘线①’。这说明，大象对于船的作用效果，和这堆石头对于船的作用效果，是怎样的？”（生：一样的。）“在数学上，当我们说‘作用效果一样’时，通常指一个关键的量相等。在这里，是什么量相等？”（引导学生说出：重量相等）。教师板书核心等式：大象的重量=石头的总重量。“看，我们从一个大故事里，提炼出了一个非常简洁的数学等式。这就是数学模型的魅力！”  学生活动：跟随教师的图示和引导，从物理现象（下沉深度同）推理出数学本质（重量等）。一起说出并理解这个核心等式。  即时评价标准：1.能否理解图示的抽象含义；2.能否从“现象相同”推导出“重量相等”的结论；3.能否认可并理解“大象重量=石头总重”这一模型表达。  形成知识、思维、方法清单：★数学模型建立：从具体情境中抽象出数量关系（等式），是数学建模的初步体验。▲推理意识：基于“相同条件下产生相同效果”进行合理推断，是基本的科学推理逻辑。教学提示：板书等式时，要用不同颜色强调等号，凸显“等量”是代换的基础。  任务四：叩问关键，深化理解  教师活动：提出深度思辨问题：“曹冲的方法绝不绝妙？绝妙！但老师有个疑问，如果当时装船的不是石头，而是一群活蹦乱跳的兔子，行不行？为什么？”（引导思考物体的“可叠加、可测量”属性）。再问：“还有更关键的一点，如果装石头时，船身没有沉到完全一样的记号，而是高一点或低一点，行不行？那会怎样？”（引导理解“等量”的严格性）。追问：“所以，整个方法最核心、最不能出错的一步是什么？”（生：要让船沉到同一个记号）。教师总结：“对了！‘同一条水位线’就是那把无形的‘尺’，它严格保证了两边的重量相等。没有这个‘等’，后面的‘换’和‘算’就全错了。”  学生活动：针对教师提出的“兔子”和“水位不同”的假设情境进行思考、讨论和辩论。在争辩中强化对“等量”前提和“可测”条件的认识。  即时评价标准：1.讨论是否围绕“等量”与“可测量”两个关键点展开；2.能否用“因为…所以…”的句式陈述反对或赞成的理由。  形成知识、思维、方法清单：▲方案条件辨析：成功的“等量代换”需要满足两个条件：一是能找到可靠的“等量”标准（如水位线）；二是替换物必须便于分割和精确测量。★批判性思维萌芽：对看似完美的方案进行“如果…那么…”的推敲，是深度理解的标志。教学提示：通过反例和极端情况追问，促使学生的思维从“接受”走向“审视”和“内化”。  任务五：联系生活，初试迁移  教师活动：“其实，‘等量代换’的思想在我们的生活中随处可见。比如，爸爸想知道一大桶汽油有多重，但桶太大没法直接上秤。他可以怎么做？”（引导：先称空桶重，再装满油称总重，相减得油重）。教师肯定：“这也是‘转化’！还有，超市里卖散装大米，我们不需要把整袋米放秤上，而是…”（生：先称包重）。课件展示几个简单情境图片（如：用几个小瓶分装一大瓶水以测总体积；用相同硬币平衡未知重物等）。“看，只要抓住了‘等量’这个关键，我们就能像曹冲一样，变不可能为可能。”  学生活动：联想生活实例，或根据教师提供的情境图片，尝试用“等量代换”的思路进行解释。  即时评价标准：1.能否从实例中识别出“整体代换”或“部分转化”的思路；2.表达时能否提及“相等”、“代替”等关键词。  形成知识、思维、方法清单：▲思想方法的应用普遍性：等量代换是一种基础而强大的工具，在科学测量、商业交易乃至日常推理中都有广泛应用。★数学眼光看世界：学会用数学的思维（如转化、等量）去观察和解释生活现象。教学提示：举例要贴近学生生活，帮助他们建立数学与世界的连接，感受到数学的“有用”。第三、当堂巩固训练  基础层（全体必做）：1.看图填空：呈现曹冲称象的步骤图打乱顺序，请学生标出正确序号。2.判断：因为两堆苹果和一堆梨放在天平两端平衡了，所以一堆苹果的重量等于一堆梨的重量。（辨析“等量”的对象）  综合层（大部分学生尝试）：情境问题——“小雅想测量一个不规则小石块的体积，但石块不能直接放入有刻度的量筒。她找来一个装满水的长方体容器，将石块完全浸入后，取出石块，发现水面下降了。你能利用‘等量代换’的思想，帮她设计测量方法吗？”（提示：下降部分水的体积等于？）  挑战层（学有余力选做）：开放设计——“学校科学节要测一个巨大充气模型的重量（不能充气）。请你开动脑筋，利用‘等量代换’思想，设计一个尽可能多的、不同的测量方案草图或简要说明。”  反馈机制：基础层练习通过同桌互换、集体核对方式快速反馈。综合层问题请学生小组讨论后分享思路，教师利用图示辅助讲解，重点厘清“石块的体积”与“排出水的体积”之间的等量关系。挑战层方案进行课堂简短展示，着重表扬其创意与合理性，不做统一评判。第四、课堂小结  知识整合：“孩子们，这节课我们穿越历史，破解了曹冲的智慧密码。最大的收获是什么？”引导学生齐说或补充：“等量代换！”“对，当遇到一个难题直接解决不了时，我们可以想办法把它‘转化’成一个能解决的问题。关键是找到那个隐藏的‘等量’关系。”邀请学生尝试用简单的思维导图（中心词“等量代换”，延伸出“方法”、“关键”、“例子”）在任务单上梳理。  方法提炼：“回顾一下，我们今天是怎么学习的？我们先听了故事，再动手做了实验，然后从里面抽象出了数学道理，还用它想了生活中的事。这就是‘从具体到抽象，再从抽象回到具体’的学习方法。”  作业布置：必做作业：1.把“曹冲称象”的数学原理讲给家人听。2.完成学习单上的基础练习题。选做作业（二选一）：1.寻找一个生活中运用了“等量代换”思想的事例，画图或拍照记录下来。2.尝试完善或绘制你在“挑战层”想到的测量方案。下节课，我们将分享大家的发现。六、作业设计  基础性作业（巩固核心）：1.书面作业：完成教材或练习册上与“等量代换”思想相关的配套基础题（如：根据天平平衡图，推理未知物体的重量）。2.口头作业：向父母复述曹冲称象的故事，并重点说明其中蕴含的数学道理。  拓展性作业（情境应用）：1.“家庭小实验”：用一个透明杯子、一些水和一枚棋子，模拟“排水法”测量棋子体积的过程，并请家长帮忙记录数据，说说其中的“等量”是什么。2.“生活发现家”：观察超市中散装商品（如水果、坚果）的称重过程，写一两句话说明其中是否包含了“转化”或“等量”的思想。  探究性/创造性作业（开放创新）：1.“小小曹冲”项目设计：如何测量教室里一盆大型绿植的重量（不能搬动花盆）？请设计一个详细的方案，包括所需工具、步骤、原理简述，并评估方案的可行性。2.“历史与数学”小研究：查阅资料，了解古代还有哪些利用智慧解决测量难题的故事（如阿基米德测皇冠），并与曹冲的方法进行对比，找出共同点。七、本节知识清单及拓展  ★等量代换：一种基本的数学思想方法。指两个相等的量，可以互相替换。在曹冲称象中，体现为“大象的重量”与“一堆石头的总重量”相等，因此可以用称石头来代换称大象。  ▲转化策略：解决问题时，将复杂、陌生、难以直接处理的问题，转变为简单、熟悉、易于解决的问题。曹冲将“称巨大物体”转化为“称许多小物体”。  ★模型建立：从“船沉到同一水位线”这一现象，抽象出“大象重量=石头总重”这一等式，是建立数学模型的雏形。  ▲方案的关键条件：1.等量标准：必须确保替换前后，作为比较的基准状态完全相同（如同一条水位线）。2.替换物属性：替换物应当便于分割、独立测量和累加。  ★应用实例（生活）：用空桶重量与满桶重量之差求液体重；用排水法求不规则固体体积；用多个已知重量的小物品平衡未知重物等。  ▲学科关联：该思想与科学中的“等效替代法”相通，也是未来学习方程时“平衡”思想的源头。  ★思维方法：有序思考（分解步骤）、抽象概括（从现象到等式）、推理论证（基于等量关系进行推导）、批判性质疑（审视方案条件）。  ▲文化价值：故事展现了我国古人的非凡智慧，体现了创造性解决问题的重要性，是跨学科（历史、科学、数学）学习的优秀案例。八、教学反思  本课在设计上力图超越简单的故事复述与原理告知，追求数学思想、历史文化与儿童认知的深度交融。从假设的教学实况看，核心目标——学生对“等量代换”思想的初步理解与认同——达成度较高。证据在于：在模拟实验与抽象建模环节，学生能自发用“等于”、“一样重”等语言描述关系；在巩固练习中，大部分学生能识别基础情境中的等量关系。课堂小结时的思维导图虽稚嫩，但能反映出他们对知识主干有了结构性认识。  各环节有效性评估如下：导入环节的“大箱子”困境迅速制造了认知冲突，成功将学生置于与古人同频的“问题场”。“这个难题我们教室也解决不了吗？”这句话有效激发了他们的探究欲。新授环节的五个任务构成了螺旋上升的认知阶梯。任务一（解构步骤）是基础铺垫，任务二（模拟实证）将抽象故事具象化，是全场参与的“高潮”，学生们眼睛紧盯水位线的瞬间，是思维被点亮的时刻。任务三（抽象建模）是关键的思维跃升点，部分学生在此处可能出现“听得懂但说不清”的情况，需要教师放慢节奏，借助板书图示反复强化。任务四（叩问关键）通过“用兔子行不行？”等假设性问题，将课堂思维引向深化，避免了理解的肤浅化。任务五（联系生活）则完成了学习的闭环，让学生看到思想的用武之地。“哦，原来超市称米也是这样！”这类恍然大悟的感叹，是应用意识萌芽的信号。  对不同层次学生的课堂表现剖析：基础层学生在操作性任务（模拟实验）和结构化复述中表现积极，获得成就感，但在自主迁移（任务五）和深度思辨（任务四）时多处于聆听和跟随状态。进阶层学生则能在任务四、五中提出有见地的想法，成为小组讨论的“发动机”。预设的分层任务单在本课中作用显著，它为前者提供了“拐杖”，为后者释放了空间。然而，在小组合作中，如何更有效地促进不同层