专题十三 折叠模型2025-2026学年中考数学几何模型专题讲练【含答案】

折叠模型模型原理1.折叠问题的实质是对称问题，遇到折叠就要运用对称的性质折叠性质：①折叠后的图形与原图形关于折痕所在直线成轴对称，全等；②对应点所在线段被折痕所在直线垂直平分2.常见解题思路一般为：“有折叠，想勾股，找相似(A字型或K型)”3.一般步骤：(1)按照题意画出图形(动点的落点位置有可能会分类讨论)(2)求出可求线段长度(3)设未知数，用未知数去表示其他线段(4)利用勾股定理或相似三角形列方程求未知数真题精炼1如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上.沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点.B'(1)若点N在边CD上,且∠BEF=α,则.∠C(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原.若点D'在线段.B'C272.矩形+折叠模型+相似+中点+全等——24湖北+几何综合压轴+初三在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对应点P落在边CD上,点B的对应点为点G,PG交BC于点H.(1)如图1,求证:△DEP∽△CPH.(2)如图2,当P为CD的中点,AB=2,AD=3时，求GH的长.(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由.2.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上,AE=5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△FDE,,连接CE,CF.若△CEF的面积是3如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠/△BDE得到△FDE,,AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若.DG=m,EH=n,，用含m，n的式子表示GH的长是.4如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为5如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，.AB=4,AD=8,点E为AD边上一点((0<AE<3),连接EO并延长,交BC于点F,四边形ABFE与.A'B'FE(1)求证:(GE=GF;(2)当AE=2DG时，求AE的长；(3)令AE=a,DG=b.①求证：4−a②如图2,连接OB',OD,分别交AD,B'F于点H,K.记四边形OKGH的面积为S1,△DGK的面积为S₂.当a=1时，求6.矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将△ABE△ABE沿AE折叠得到△AFE,,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长是()A.3B.175C.77如图，有一张平行四边形纸片ABCD，.AB=5,AD=7,，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B'，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB'长的最小值等于8如图，在矩形ABCD中，ABBC=23.动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为v₁，点N运v1,动的速度为v₂，且v1<9如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A',B',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若BFGC=23A.22B.410510矩形纸片ABCD,AB=6,BC=9,M是BC上的点,且CM=3,将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则AN长是11在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD上一点,.EF⟂AE,,将△ECF沿EF翻折得△EC'F,连接AC',当BE=时,△AEC'是以AE为腰的等腰三角形.12如图，矩形纸片ABCD中，.AB=4,BC=8,点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN=5;③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5.其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①②C.①③D.②③13如图,在矩形ABCD中,.AB=6,AD=8,将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处,折痕为EF,则AD'的长为,DD'的长为.14矩形纸片ABCD,点E、F在矩形边AB、AD上,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线,若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是().A.2B.7415.Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E在AB,AC上,连接DE,将△ADE沿DE翻折,使点A对应点F落在BC延长线上.若FD平分∠EFB,则AD的长为()A.259B.25816.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,先将lBC沿BC翻折交AB于点D，再将⌢BD沿AB翻折交BC于点E.若⌢BE=⌢DE,设∠ABC=α,则α所在的范围是()A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.17.如图,在△ABC中,AC=22,∠ABC=45∘A.6B.3C.218.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠.使点B落在矩形的边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE,EF与BG交于点N.则下列结论成立的是()①BN=AB;②当点G与点D重合时,EF=③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72;④当A.①③B.③④C.②③D.②④19如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为()A.5B.325C.220如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处,点C落在BD上的点N处,连接EF,已知AB=3,BC=4,则EF的长为()A.3B.5C.513621如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,AB=22,AC=6,点E在线段AC上，且22在△ABC中,.AB=4,BC=7,∠B=60∘,点D在边BC上，CD=3,连接AD，如果将△ACD23如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,.AE=2,则DF=_,BE=_.24如图,矩形ABCD中,点G,E分别在边BC,DC上,连接AG,EG,AE,将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若(CE=3,CG=4,则sin∠DAE=.25矩形ABCD，E为AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在BC上，连接AF交DE于N,连接BN,若B1F⋅AD=15.tan∠BNF=526在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.(1)求证:△ABF∽△FCE.(2)若AB=23(3)若AE---DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.27矩形ABCD中,AB=8,AD=12.将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.(1)如图1,若点P恰好在边BC上,连接AP,求APDE(2)如图2,若E是AB的中点,EP的延长线交BC于点F,求BF的长.28如图,在△ABC中,AB=4(1)求BC边上的高线长.(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,沿EF将△AEF折叠得到△AEF△PEF.①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.②如图3,连接AP,当PF⊥AC时,求AP的长.29.我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=AB(1)在图①中,若AC=20cm,则AB的长为cm.(2)如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点.(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点EAEDE),连接BE,作1.如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上.沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原.(1)若点N在边CD上,且∠BEF=α,则∠C'NM=(用含α的式子表示).(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原.若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN与GH的交点为P,则PH的长为.【答案】(1)90°-α(2)35【解析】(1)∵MN⊥EF,∠BEF=α,∴∠EMN=90°-α,∵CD∥AB,∴∠CNM=∠EMN=90°-α,∴∠C'NM=∠CNM=90°-α故答案为:90°-α.(2)如图,设PH与NO'交于点G',∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，∴∠A=∠D=∠GHE=90°,GH=EH,∴∠AHE+∠GHD=∠AHE+∠AEH=90°,∴∠GHD=∠AEH,△EAH≌△HDG(AAS),同理可证△EAH≌△HDG≌△GOF≌△FBE,.DH=CG=AE=4,DG=EB=8,.GH=:MN⊥GH,且∠C'NM=∠CNM,..MN垂直平分GG',目PG=PG∵四边形CBMN沿MN折叠,∴CN=C'N,∴CN-NG=C'N-NG',即C'G'=CG=4,∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H,∴GD'=GD=8,∵∠HC'G'=∠HD'G=90°,∴O'G'//D'G,∴∴H又∵P∴PH=P故答案为：352.在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H.(1)如图1,求证:△DEP∽△OPH.(2)如图2,当P为CD的中点,AB=2,AD=3时,求GH的长.(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由.【答案】(1)证明见解析.(2)3(3)AB=6BG.【解析】(1)如图,∵四边形ABCD是矩形.∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠1+∠3=90°.∴∠EAP=∠EPA,∴∠BAP=∠GPA,∴△MAP是等腰三角形，∴MA=MP,∵P为CD中点,∴设DP=CP=y,∴AB=PG=CD=2y,∵H为BC中点,∴BH=CH,∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,∴△MBH≌△PCH(ASA),∴BM=CP=y,HM=HP,∴MP=MA=MB+AB=3y,∴HP=在Rt△PCH中,CH=∴BC=2CH=5y,∴AD=BC=5y,在Rt△APD中,AP=∵BG∥AP,∵,△BMG∽△AMP,∴∴BG=∴∴AB=6BG.3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上,AE=5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF的面积∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在DC上,∴∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°.∴∠3=∠2.∴△EDP∽△PCH.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°,∵P为CD中点,∴DP=CP=设EP=AP=x,∴ED=AD-x=3-∞,在Rt△EDP中,E即解得x=∴EP=AP=x=∴ED=AD−AE=∵△EDP∽△POH,∴EDPC=∴PH=∵PG=AB=2,∴GH=PG−PH=(3)如图,延长AB,PG交于一点M,连接AP,∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,∴AP⊥EF,BG⊥直线EF,∴BG∥AP,∵AB=EP,是△BEC面积的2倍,则AD=【答案】10【解析】∵AE=5AD,∴设AD=z,AE=52∵△ADE沿DE翻折,得到△FDE,∴DF=AD==,∠ADE=∠FDE.过E作EH⊥AC于H,设EF与AO相交于M,则∠AHE=∠ACB=90°,又∠A=∠A,∴△AHE∽△AOB,∴∵OB=5,OA=10,AB=∴∴EH=x,AH=A∴Rt△EHD是等腰直角三角形，∴∠HDE=∠HED=45°,则∠ADE=∠EDF=135°,∴∠FDM=135°-45°=90°,在△FDM和△EHM中{∴△FDM≌△EHM(AAS),∴DM=MH=SS∵△CEF的面积是△BEC面积的2倍,10−则3解得x1艮AD=故答案为：3.4如图,DE平分等边△ABC的面积,折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是.【答案】m【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°,.折叠△BDE得到△FDE,∴△BDE≌△FDE,∴S△DDE=S△PDE,∠F=∠B=60°=∠A=∠C,∵DE平分等边△ABC的面积,∴∴又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG.∴△ADG∽△FHG△CHE∽△FHG.∴∴∴G解得GH=m2+n故答案为：m5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为.【答案】38【解析】如下图所示,连接BB',过点F作FH⊥AD于点H,∵正方形ABCD的边长为1,四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3:5,∴∵FH⊥AD,∴四边形CDHF是矩形.∴CF=DH,FH=CD=1,设CF=x,则DH=x,BF=1-x,∴R1∴AE=x−∴DE=1−AE=∴EH=ED−HD=由折叠性质得,BB⊥EF,BF=BF=1-x,∴∠1+∠2=9∵∠2+∠3=9∴∠1=∠3,又FH=BC=1,∠EHF=∠O,∴△EHF≌△B'CB(ASA).∴EH=在Rt△B'FC中,B即1−x解得，x=∴CF=因此正确答案为：36如图1,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=4,AD=8,点E为AD边上一点(0<AB<3).连接EO并延长，交BC于点F，四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，线段B'F交AD边于点G.(1)求证:GE=GF;(2)当AE=2DG时,求AE的长;(3)令AE=a,DG=b.①求证:(4-a)(4-b)=4;②如图2,连接OB',OD,分别交AD,B'F于点H,K、记四边形OKGH的面积为S₁,△DGK的面积为S₂.当a=1时,求S1S₂的值.【答案】(1)见解析2(3)①见解析:②【解析】(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠GEF=∠EFB.∵四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，∴∠BFE=∠EFG.∴∠GEF=∠EFG,∴GE=GF;(2)解:如图,过点G作GH⊥BO于H,设DG=x,则AE=2m,∴EG=8-3x=GF,∵∠GHC=∠C=∠D=90°,∴四边形GHCD为矩形，∴CH=DC=4,∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴AE=CF=2π,∴FH=FC−CH=x,在Rt△GHF中,G可得方程(8−3x解得x1∴AE=2x=6−2{3}解:①证明:过点O作OQ⊥AD于Q,连接OA,OD,OG,点O为矩形ABCD的对称中心，.OE=OF,OA=OD,OQ=∵GE=GF,∴GO⊥EF,∴∠GOQ=9∵∠OQE=∠GQO=9∴△GOQ∽△OEQ,..DGQ⋅EQ=O∴BQ=AQ-AE=4-a,GQ=DQ-GD=4-b,∴(4-a)(4-b)=4;②如图,连接B'D,OG,OB.由题意可得BF=B'F；∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BF=B'F=ED,同理可得OD=OB=OB',由(1)知GF=GB,∴BF-GF=DE-GE,即BG=DG,∵OG=OG,∴△DOGε△B'OG(SSS).∴∠ODG=∠OBG,∵DG=B'G,∠DGK=∠B'GH,∴△DGKu△B'GH(ASA),∴DK=B'H,GK=GH,∴OD-DK=OB'-B'H,即OK=OH,∵OG=OG,∴△OGKm△OGH(SSS),∴∴∴∵∠EGF=∠DGB',GE=GF,GD=GB',∵∠GEF=∠GFE=∠GDB'=∠GB'D,∴∵∴∵△EGF∽△DG∴当a=1时,由①可得(4-1)(4-b)=4,解得(=∴AE=1,DG=∴GE=AD−AE−DG=∴【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合【知识点】勾股定理【知识点】全等三角形【知识点】矩形的性质7【答案】D【解析】连接BF，与AE相交于点G，如下图所示.E∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE∴AABE与△AFE关于AF对称∴AEB直平分BF,BE=FE,BG=FG=∴点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴AE=∴∴BG=∴BF=2BG=2×∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴FC=因此正确答案为D8如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB=5，AD=7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B'，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB'长的最小值等于.【答案】2【解析】由折叠性质得,EB=EB',而B'E≤AE+AB',∴当E点与A点重合时,EB'=AB=AB'=5,此时DB'的长最小,∴D因此正确答案为：2.【标注】【知识点】平行四边形9如图，在矩形ABCD中，ABBC=2【答案】3【解析】如图,设AD交A'B'于点Q.设BN=NB'=x.∵∴可以假设AB=2k,CB=3k,·、四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=3k,CD=AB=2k,∠C=∠D=90°,在Rt△ONB'中,∴∴x=∴N由翻折的性质可知∠A'B'N=∠B=90°,∴∠D∴∠DB'Q=∠CNB',∵∠D=∠C=90°,∴△DBQ∽△CNB',∴DQ:DB':QB'=CB':CN:NB'=3:4:5,∵DB=k,∴DQ=∵∠DQB=∠MQA',∠D=∠A',∴△DQB∽△A'QM,∴A'Q:A'M:QM=DQ:DB':QB'=3:4:5,设AM=MA'=y.MQ=∵DQ+QM+AM=3k,∴∴1/=k.∴故答案为:10如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A',B',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.:若BFGCA.22B.4105【答案】A【解析】方法一:过点G作GT⊥AD于点T.设AB=z,AD=y.∴.可以假设BF=2k,CG=3k.∵点B为AD中点,∴AE=DE=由翻折的性质可知EA=BA'=12∵AD∥OB,∴∠AEF=∠EFG,∴∠GEF=∠GFE₂∴EG=FG=y-5k,∴G∵C,A',B'共线,GA'//FB',∴∴∴∴v=8k或y=4k(舍去),∴AE=DE=4k,∵四边形ODTG是矩形，∴OG=DT=3k,∴ET=k,∵EG=8k-5k=8k,∴AB=OD=GT=∴故选A..方法二:不妨设BF=2,CG=3,连接CE,则Rt△CA'E≌Rt△GDE,推出A推出GF=CG=3,BC=8,在Rt△OB'F中,勾股定理得CB'=4故选A.11如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=9,M是BC上的点,且CM=3,将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C/处，折痕为MN，则线段AN的长是.【答案】4【解析】解：连接PM，如图所示：∵AB=6,BC=9,CM=3,∴BM=BC-CM=9-3=6,由折叠性质得,CD=PC'=6,∠C=∠PC'M=∠PBM=90°,C'M=CM=3,在Rt△PBM和Rt△MC'P中/{PM=PM∴PA=AB-PB=6-3=3.设AN=x,则ND=9-x=PN,在Rt△APN中,AN2+AP12如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD上一点,EF⊥AE,将△BCF沿EF翻折得△EC'F,连接AC',当BE=时,△ABC'是以AE为腰的等腰三角形.【答案】78或【解析】设BE=x,则EC=4-z.由翻折得：.E当AE=EC'时,AE=4-x,∵四边形ABCD是矩形...∠B=90°,由勾股定理得：3解得：x=当AE=AC'时,如图,作AH⊥EC'..∵BF⊥AE.∠AEF=∠AE∴∠BEA+∠FEC=9∵△BCF沿EF翻折得△BC'F,∠FE∴∠AEB=∠AEH.∵∠B=∠AHE=90°,AE=AE,∴△ABE≌△AHE(AAS),∴BE=HE==,∵AE=AC',AH⊥EO',∴E即4-∞=2x,解得x=综上所述：BE=78或故答案为：78【标注】【知识点】矩形的性质13.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点M、N分别在矩形的边AD、BO上,将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q,连接CM.下列结论:①四边形CMPN是菱形;②点P与点A重合时,MN=5;③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5.其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】C【解析】∵将矩形ABCD沿MN折叠,∴∠CNM=∠PNM,PM=CM,PN=CN,又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠PMN=∠CNM,∴∠PMN=∠PNM,.PN=PM,∵PM=PN=CM=ON,∴四边形PNCM是菱形，故①正确；若P,A重合,设PN=NC=x,则BN=8-x,在Rt△ABN中,A则4∴∵AC=1∴MN=25故②错误；当MN过点D时,如图所示,此时四边形PNCM为正方形,CN=CD=4,此时，CN最短，四边形CNPM的面积最小，则△PQM的面积最小，个个S的最小值为1当P点与A点重合时，CN最长，四边形CNPM的面积最大，则△PQM的面积最大，S的最大值为1∴A≤S≤5,故③正确.故选C.14.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将此矩形折叠,使点C与点A重合,点D落在点D'处,折痕为EF,则AD'的长为,DD'的长为.【答案】6;14【解析】∵四边形ABCD是矩形，.AB=CD=6,∠ADC=90°,由折叠性质可知AD'=CD=6,FD=FD',∠AD'F=∠ADC=90°,设D'F=DF=x,则AF=8-x,在Rt△AD'F中,AD∴解得x=DF=过D'作D'H⊥AD于H,∴∠∴∴∴HF=∴DH=HF+DF=∴D15.如图，在矩形纸片ABCD中，点B、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CB、CF折叠，点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BB=2,则DF的长是()、A.2B.74C.【答案】A【解析】如图,延长EH交CF于点P,过点P作MN⊥CD于N,∵矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处.点D落在G处，卜4卜4∴BC=CH=2,∠DCF=∠GCF,BE=EH=2,∠B=∠CHE=90°,在△CPH和△CPN中.{∴△CPH≌△CPN(AAS),∴NP=PH,CH=CN=4,∵∠B=∠BCD=90°,MN⊥CD,∴四边形BCNM是矩形，又∵CN=CB=4,∴四边形BONM是正方形.∴MN=BM=4,∴EM=2.∵E∴∴NP=∵∴∴DP=2.故选:A.16.如图,在Rt△ABO锥片中,∠AOB=90°,AO=4,BO=3,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,将△ADB沿DB翻折,使点A的对应点F落在BO的延长线上.若FD平分∠BFB,则AD的长为()A256B.258C.【答案】D【解析】作DH⊥BC于H,在Rt△ABC纸片中,∠AOB=90°,由勾股定理得：AB=∵将△ADE沿DE翻折得△DEF,∴AD=DF,∠A=∠DFE,∵FD平分∠EFB,∴∠DFE=∠DFH,∴∠DFH=∠A.设DH=3x.在Rt△DHF中,sin∠DFH=∴DF=5x,∴BD=5-5x,∵△BDH∽△BAC,BD∴∴x=∴AD=5x=故选:D.17如图，AB是⊙O的直径，BO是⊙O的弦，先将BO沿BO翻折交AB于点D，再将BD沿AB翻折交BC于点E,若BE=DE,设∠ABC=α,则kx所在的范围是().A.21.0C.22.7【答案】B【解析】如图,连接AC,CD,DB,过点C作CH⊥AB于点H,过点D作DJ⊥OB于点J,∵∠ABC=∠DBC=∠DBE,∴AO=OD=DB.∴AC=OD=DE,∴∠A=∠ODA,∠DEO=∠DOE.∵OH⊥AD,DJ⊥OE,∴AH=HD,CJ=JE,∵DB=BE,∴ED=EB,∴∠EDB=∠BBD=∠ABC=α,∴∠DEO=∠DCE=∠EDB+∠EBD=2α.∴∠A=∠CDA=∠DOE+∠EBD=3α,∵AB是直径,∴∠ACB=00°,∴∠A+∠ABC=0∴3c+α=00°,即a=22.5°.故选B.18.如图,在△ABO中,AC=22,∠ABO=45°,∠BAC=15°,将△AOB沿直线AC翻折至△ABO所在的平面内,得△AOD.过点A作AE,使∠DAE=∠DAC,与CD的延长线交于点E,连接BE,则线段BE的长为().A.6B.3C.23D.4【答案】C【解析】如图,延长BC交AE于H,∴∠ABC=45°,∠BAC=15°.∠ACB=120°,.将△ACB沿直线AC翻折..∠DAC=∠BAC=15°,∠ADC=∠ABC=45°,∠ACB=∠ACD=120°,∴∠DAE=∠DAC.∴∠DAE=∠DAC=1∠CAE=3∵∠ADC=∠DAE+∠AED,∴∠AED=4..∠AED=∠EAC.∴AC=EC,又∵∠BCE=360°-∠ACB-∠ACE=120°=∠ACB,BC=BC,△ABC≌△EBC(SAS),∴AB=BE,∠ABC=∠EBC=45°,∴∠ABE=90°,∵AB=BE,∠ABC=∠EBC,.AH=EH,BH⊥AE.∵∠CAE=30°,由翻折的性质可知FB=FG，∠EFB=∠EFG,∴∠GEF=∠EFG,∴GE=GF=BF.:GE//BF,∴四边形BEGF是平行四边形，∵FB=FG,·四边形BEGF是菱形.BE=BG,当D.G重合时,设BE=DE=x,则AE=6-x,在Rt△ABE中,x解得z=:∠A=90°,AB=3,AD=6,BD=∴:BF=2×3×当D.G重合时，△GNF的面积最大，最大值=∴S如图2，当CF=5∴CH=∴AE=26∵AB=BE,∠ABE=90°,∴BE=故选C.19如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠.使点B落在矩形的边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE,EF与BG交于点N.则下列结论成立的是().①BN=AB;②当点G与点D重合时，EF=③△GNF的面积S的取值范围是9④当CF=52时A.①③B.③④C.②③D.②④【答案】D【解析】∵AB=3是定值,BN=1∴BN的值也是变化的.∴BN与AB不一定相等，故①错误；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DEF=∠EFB,BF=BE=EG=FG=BC−CF=6−AE=BM=∴S故选:D.20如图,将矩形ABCD折叠,使点O和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O、若AE=5,BF=3,则AO的长为().A.5B.325C.2【答案】C【解析】解:∵矩形ABOD,∴AD∥BO,AD=BC,AB=OD,∴∠EFC=∠AEF.∵∠AFE=∠CFE.∴∠AFE=∠AEF.∴AE=AF=5,由折叠得,FC=AF,OA=OC.∴BC=BF+AF=3+5=8,在Rt△ABF中,AB=在Rt△ABC中,AC=∴OA=OO=25故选:C.21.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处,点C落在BD上的点N处,连接EF,已知AB=3,BC=4,则EF的长为()A.3B.5C5136【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,∴BD=设AE的长度为x，由折叠可得:△ABE≌△MBE,∴EM=AE=z,DE=4-x,BM=AB=3,DM=5-3=2,在Rt△EMD中,E∴解得x=设CF的长度为y，由折叠可得:△CBF≌△NBF.∴NF=CF=y,DF=3-y,BN=BC=4,DN=5-4=1,在Rt△DNF中,D∴解得x=在Rt△DEF中,EF=故选C.22如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=22,AC=6,点E在线段AC上,且AE=1,D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时,AF=.【答案】2【解析】连接BG,BE,由翻折得：EG=BE=在Rt△ABG中BG=:AE=EF=1,∠BED=∠GED,∠AED=∠FED,∴∠AEB=∠FEG,∴∠AEF=∠BEG,∴△AEF∽△GEB,∴即1∴AF=23如图,在△ABC中,AB=4,BC=7,∠B=60°,点D在边BC上,CD=3,连接AD，如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为.【答案】3【解析】如图,过点E作EH⊥BC于H,∵BC=7,CD=3,∴BD=BC--CD=4,∵AB=4=BD,∠B=60°,∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°,∴∠ADC=∠ADE=120°,∴∠EDH=60°,∵EH⊥BC,∴∠EHD=90°,∵DE=DC=3,∴EH=DE⋅∴E到直线BD的距离为3故答案为：324如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CB对折，使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF=,BE=.【答案】2;5【解析】如图，由折叠性质可得,∠CEB=∠CEF,BE=EF,∠B=∠CFE=90°.在矩形ABCD中,CD//AB,CD=AB,∴∠CEB=∠DCE=∠OEF,∴OD=DE,即AE+BE=EF+DF.∴DF=AE=2,∵∠AFE=∠EAD=90°,∠AEF=∠DEA,∴△AEF∽△DEA,∴A设BE=x,则2²=x(x+2),解得x1.BE=故答案为：2；5-1.25如图,矩形ABCD中,点G,E分别在边BC,DC上,连接AG,EG,AE,将△ABG和△ECG分别沿AG,BG折叠,使点B,C恰好落在AE上的同一点,记为点F.若CE=3,CG=4,则sin∠DAE=.【答案】7【解析】矩形ABCD中,GC=4,CE=3,∠C=90°,∴GE=根据折叠的性质:BG=GF,GF=GC=4,CE=EF=3,∠AGB=∠AGF,∠EGC=∠EGF,∠GFE=∠C=90°,∴BG=GF=GC=4,∴BC=AD=8,∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°,∴∠AGE=90°,∴Rt△EGF∽Rt△EAG,EGEA=EF∴EA=∴DE=∴故答案为：25·【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用26如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上,连接AF交DB于点N,连接BN,若BF·AD=15.tan∠BNF=V₂,则矩形ABCD的面积为.【答案】155【解析】由折叠可得:AN=NF,AF⊥DE,AE=EF,∴∠ABN=∠BAF,∵∠BNF=∠BAF+∠ABN=2∠BAF,且易得∠ADF=2∠ADE=2∠BAF,∴∠ADF=∠BNF=∠OFD,∴∵∠BFE+∠CFD=90°,∠BFE+∠BEF=90°...∠OFD=∠BEF,BFBE=tan在Rt△BEF中,B解得AB=∵BF.AD=15,∴AB·AD=155故答案为：155【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理27在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.(1)求证:△ABF∽△FCE.(2)若AB=23,AD=4,求EC的长.(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.【答案】(1)证明见解析23【解析】1∴∠BFA+∠EFC=9又∵∠B=90°,∴∠BFA+∠BAF=9∴∠EFC=∠BAF且∠B=∠C,∴△ABF∽△FCE.(2)设EF为x,则ED=x,EC=23-x,:AF=AD=4,AB=23∴BF=2,CF=CB-BF=2,在Rt△BCF中有2解得x=∴EC=DC−DE=2故答案为：EC=(3)∵AE-DE=2EC,∴AE=DE+2EC=DC+CE=AB+CE,设AB=m,CE=n,则可得DE=m-n,AE=m+n,根据勾股定理，可求得AD=2FC=∵△ABF∽△FCE,.有ABFC=BF⋅整理可得m−3n2tan将m=3n代入可得tan故答案为：tan28矩形ABCD中,AB=8,AD=12.将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.(1)如图1,若点P恰好在边BC上,连接AP,求-ABB的值.(2)如图2