第四章第24节三角函数的图象与性质

第24节三角函数的图象与性质考试要求考题分析1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在(-π2,π2)年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年--2023年T15-2024年T7-【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0)(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRxx≠k值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[-π2+2kπ,+2kπ][-π+2kπ,2kπ](-π2+kπ,+kπ)递减区间[π2+2kπ,+2kπ][2kπ,π+2kπ]___

对称中心(kπ,0)(π2+kπ,0(kπ2对称轴x=π2+kx=kπ___

[注意点]①正、余弦函数的单调性只能说函数在某个区间上具有单调性,而不能说函数在第几象限上具有单调性.②y=tanx在整个定义域内不单调.③求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时要注意A和ω的符号,应首先化成ω>0的形式,避免出现增减区间的混淆.【常用结论】1.与三角函数奇偶性有关的结论若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则:(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=π2+kπ(k∈Z(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).2.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号3,4121.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)y=cosx在第一、二象限内单调递减.()(2)若非零常数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(3)函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z). ((4)函数y=tanx在整个定义域上是增函数. ()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×2.已知f(x)=sinωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=π2,则ω= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为f(x)=sinωx,则f(x1)=-1为函数的最小值,f(x2)=1为函数的最大值,又|x1-x2|min=π2=T2,所以T=π,ω3.(必修第一册P201·例2变式)函数f(x)=tan(ωx+π3)的最小正周期为π,则ω=________【解析】因为πω=π,所以ω=1答案:14.(必修第一册P207·T5变式)函数y=2cos(2x+π3)在[0,π4]上的值域为【解析】因为x∈[0,π4],所以2x+π3∈[π3,5π6],所以函数y=2cos(2x+π3)答案:[-3,1]【考点探究核心突破】考点一三角函数的定义域、值域【例1】(1)函数f(x)=-2cosx-A.[2π3+2kπ,4π3+2kπ](k∈B.[5π6+2kπ,7π6+2kπ](k∈C.[-2π3+2kπ,2π3+2kπ](k∈D.[-5π6+2kπ,5π6+2kπ](k∈【解析】选A.由题意,函数f(x)=-2cosx-1有意义,则满足-2cosx-1≥0,即cos解得2π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈所以函数f(x)的定义域为[2π3+2kπ,4π3+2kπ](k∈Z(2)(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin3(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.[-π12,π6]上的最小值是 ()A.-32 B.-32 C.0 【解析】选A.因为函数f(x)=sin3(ωx+π3)=sin(3ωx+π)=-sin3ωx(ωT=2π3ω=π,ω=23,可得f(x)=-sin2x,x∈[-π12,π6],2x∈[-因为y=sin2x在[-π6,π3]上单调递增,所以f(x)=-sin2x在[-π6,π故2x=π3时,函数取最小值是-3(3)函数y=tan(x-π6)在(-π6,5π12)【解析】设z=x-π6,因为x∈(-π6,5π12),所以z∈(-π3因为正切函数y=tanz在(-π2,π2)上单调递增,且tan(-π3)=-3所以tanz∈(-3,1).所以函数y=tan(x-π6),x∈(-π6,5π12)的值域为(-答案:(-3,1)【思维升华】三角函数有关定义域的求法求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.[提醒]涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.【对点训练】1.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是________【解析】因为f(x)=sinx-3cosx=2sin(x-π3)当0≤x≤π时,-π3≤x-π3≤故当x=5π6时,函数取得最大值2答案:22.函数y=lg(sinx)+cosx-【解析】由题意,要使函数有意义,则sinx>0解得2所以2kπ<x≤π3+2kπ(k∈Z所以函数的定义域为x|2答案:x3.当x∈[π6,7π6]时,函数y=3-sinx-2cos2x的值域为【解析】因为x∈[π6,7π6],可得sinx∈[-12又由y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)=2(sinx-1当sinx=14时,取得最小值ymin=7当sinx=-12或sinx=1时,取得最大值ymax=2,即函数的值域为[78,2答案:[78,2微进阶三角函数的值域和最值1.y=Asin(ωx+φ)+B型的最值问题可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.2.可化为y=f(sinx)型的值域问题可通过换元法转化为其他函数的最值或值域问题.3.y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的值域可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).4.数形结合求三角函数值域借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求出函数的值域.[典例](1)函数y=cos2x+2sinx的最大值为________.

【解析】y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-1因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=12时,y取最大值,最大值为3答案:3(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.

【解析】设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=1-t2=1-sin2x∈[0,2],所以-2≤t≤2.所以y=-t22+t+12=-12(t-1)2+1,t∈[-2当t=1时,ymax=1;当t=-2时,ymin=-12-2所以函数的值域为[-12-2,1]答案:[-12-2,1(3)函数f(x)=3-sinx【解析】由题意得:f(x)=3-sinx设m=cosx,n=sinx,则m2+n2=1,所以(m,n)为单位圆x2+y2=1上的动点,且f(x)=-n-令k=n-3m-(-2),即k表示该单位圆上的点(m,如图:设过点(-2,3)的直线方程为y-3=k(x+2),即直线y-3=k(x+2)与单位圆x2+y2=1有交点,联立y-3=k(x+2)x2+y2=1,消y整理得:(k2+1)x2所以Δ=(4k2+6k)2-4(k化简得:3k2+12k+8≤0,解得:-2-233≤k≤-2+所以2-233≤-k≤2+所以f(x)=-k∈[2-233,2+2所以函数f(x)=3-[2-233,2+2答案:[2-233,2+【加练备选】1.函数f(x)=2sinπ2xA.[π3+4kπ,5π3+4kπ](k∈B.[13+4k,53+4k](k∈C.[π6+4kπ,5π6+4kπ](k∈D.[16+4k,56+4k](k∈【解析】选B.由题意,得2sinπ2x-1≥0,即sinπ2x≥12,π2x∈[π6+2kπ,5π6+2kπ](k∈Z),则x∈[13+4k,53+42.已知函数f(x)=4sin(2x-π6)+1的定义域是[0,m],值域为[-1,5],则m的最大值是(A.2π3 B.π3 C.π6 【解析】选A.因为x∈[0,m],所以2x-π6∈[-π6,2m-π因为f(x)的值域为[-1,5],所以π2≤2m-π6≤7π6,解得π3≤m≤2π3,考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性【例2】(1)(多选题)(2024·临沂调研)下列函数中,最小正周期为π的是 ()A.y=cos|2x| B.y=|cosx|C.y=cos(2x+π6) D.y=tan(2x-π【解析】选ABC.对于A,y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为T=2π2对于B,y=|cosx|=1+cos2x2,最小正周期为T=对于C,y=cos(2x+π6),最小正周期为T=2π对于D,y=tan(2x-π4),最小正周期为T=π(2)已知函数f(x)=2sin(x+θ+π3)(θ∈[-π2,π2])是偶函数,则θ【解析】由f(x)是偶函数,可得θ+π3=π2+kπ,k∈Z,即θ=π6+kπ,k∈Z.令k=0,得θ答案:π(3)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为4π,且∀x∈R有f(x)≤f(π成立,则f(x)图象的对称中心是______________,对称轴方程是_____________.

【解析】由f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=12因为f(x)≤f(π3)成立,所以f(x)max=f(π3),即12×π3+φ=2kπ(又因为φ<π2,所以φ=-π6,故f(x)=cos(12x-令12x-π6=π2+kπ(k∈Z),得x=2kπ+4π3(故f(x)图象的对称中心为(2kπ+4π3,0)(k∈Z令12x-π6=kπ(k∈Z),得x=2kπ+π3(k故f(x)图象的对称轴方程是x=2kπ+π3(k∈Z)答案:(2kπ+4π3,0)(k∈Z)x=2kπ+π3(k∈◆【思维升华】(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.(2)最小正周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为2πω函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为πω求解◆【对点训练】1.已知函数f(x)=cos2x-cosx,则该函数为 ()A.奇函数,最小值为-2B.偶函数,最大值为-2C.奇函数,最小值为-9D.偶函数,最小值为-9【解析】选D.由f(x)=cos2x-cosx,定义域为R,得f(-x)=cos(-2x)-cos(-x)=cos2x-cosx=f(x),所以f(x)是偶函数,又f(x)=2cos2x-1-cosx=2(cosx-1所以当cosx=14时,f(x)min=-92.(多选题)(2025·大连模拟)已知函数f(x)=sinxcosx+32(1-2sin2x),则有关函数f(x)的说法正确的是(A.f(x)的图象关于点(π3,0)B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x=π6D.f(x)的最大值为3【解析】选AB.由题意可知f(x)=sinxcosx+32(1-2sin2x)=12sin2x+32cos2x=sin(2x+当x=π3时,2x+π3=π,sin(2x+π3)=0,故函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,函数f(x)的最小正周期T=2π2=π,故B正确当x=π6时,2x+π3=2π3,此时sin(2x+π3)=32,所以函数f(x)的图象不关于直线x=π6函数f(x)=sin(2x+π3)的最大值为1,故D错误【加练备选】1.已知函数f(x)=sinxcos(2x+φ)(φ∈[0,π])为偶函数,则φ=()A.0 B.π4 C.π2 D【解析】选C.因为f(x)的定义域为R,且为偶函数,所以f(π2)=f(-π2)⇒cos(π+φ)=-cos(-π+φ)⇒-cosφ=cosφ⇒cosφ=0,因为φ∈[0,π],所以φ=当φ=π2时,f(x)=-sinxsin2x为偶函数,满足题意2.(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称,则f(π2)A.1 B.32 C.52 D【解析】选A.由函数的最小正周期T满足2π3<T<π,得2π3<2πω<π,解得因为函数图象关于点(3π2,2)中心对称,所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z,所以ω=-16+23k,k∈Z,所以ω=52,f(x)=sin(52x+π4)+2,所以f(π2)=sin(考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间【例3】设函数f(x)=cos(π3-2x),则f(x)在[0,π2]上的单调递减区间是 (A.[0,π6] B.[0,πC.[π3,π2] D.[π6【解析】选D.由已知f(x)=cos(2x-π3),2kπ≤2x-π3≤2kπ+π,kπ+π6≤x≤kπ+2π3,又x∈[0,π2],所以单调递减区间为[π6,π[变式探究]若函数不变,求f(x)在[0,π]上的单调递减区间.【解析】由已知f(x)=cos(2x-π3)2kπ≤2x-π3≤2kπ+π,kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k又x∈[0,π],所以单调递减区间为[π6,2π3【思维升华】已知三角函数解析式求单调区间首先化成y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)),ω>0的形式,再求三角函数的单调区间,只需把ωx+φ看成一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.角度2根据三角函数的单调性求参数【例4】(1)已知函数f(x)=sin2x+cos2x在[π-m,m]上单调递减,则m的最大值为()A.3π8 B.5π8 C.7π8【解析】选B.f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4),令π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2k解得π8+kπ≤x≤58π+kπ,k∈Z,因为π-m<m,所以m>π2,则π-m<π解得π2<m≤5π8,所以m的最大值为(2)已知ω>0,函数f