第四章第20节任意角和弧度制及三角函数的概念

第四章三角函数与解三角形第20节任意角和弧度制及三角函数的概念考试要求考题分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年——2023年——2024年——【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.任意角定义角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形分类(1)按旋转方向分为正角、负角和零角;(2)按终边位置分为象限角和轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z}[注意点](1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍.(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.2.弧度制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad弧度数公式|α|=lr(弧长用l表示,半径长用r表示角度与弧度的换算1°=π180rad≈0.1rad=(180π)°≈57.30°=57°18弧长公式弧长l=|α|r[注意点](1)角度与弧度换算的关键是πrad=180°,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.(2)利用弧长和扇形面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度制.3.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx(x(2)三角函数值在各象限内的符号,如图:【常用结论】1.象限角的集合2.轴线角的集合【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号1,4321.(必修第一册P180例3变式)若sinθ<0且tanθ<0,则角θ所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.若sinθ<0,则角θ在第三或第四象限或在y轴负半轴上.若tanθ<0,则角θ在第二或第四象限,所以当sinθ<0且tanθ<0时,角θ在第四象限.2.(多选题)下列命题正确的是()A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z}C.第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤3π2+2kπ,k∈ZD.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°【解析】选AD.A项显然正确;B中,终边落在y轴上的角的集合为{α|α=π2+kπ,k∈Z},角度与弧度不能混用,故该选项不符合题意C中,第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z},故该选项不符合题意D中,所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°,k∈Z,令-720°≤45°+k·360°<0°(k∈Z),解得-178≤k<-18(k∈从而当k=-2时,β=-675°;当k=-1时,β=-315°,故该选项符合题意.3.设集合M=x|x=k2·180°+45A.M=N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N=∅【解析】选B.由于M中,x=(2k+1)·45°,k∈Z,2k+1是奇数;而N中,x=(k+1)·45°,k∈Z,k+1是整数,因此必有M⊆N.4.(必修第一册P175练习T6变式)在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为________.

【解析】单位圆的半径r=1,200°的弧度数是200×π180=10π9,由弧长公式得l=答案:10π【考点探究核心突破】考点一象限角与终边相同的角【例1】(1)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.由α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误对于B,可得π4+kπ<α2<π2+kπ,k当k为偶数时,α2位于第一象限;当k为奇数时,α2位于第三象限,所以B对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)终边在直线y=3x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为___________________.

【解析】在坐标系中画出直线y=3x,可以发现它与x轴的夹角为π3,在[0,2π)内,终边在直线y=3x上的角有π3和在[-2π,0)内满足条件的角有-23π和-5故满足条件的角α的集合为{-53π,-23π,π3,4答案:-【思维升华】确定kα,αk(k∈N*)先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或αk的范围,然后根据k的可能取值讨论,确定kα或αk【对点训练】1.集合α|kπ+π4≤α≤【解析】选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此时α表示的范围与π+π2.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选AC.因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z,故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.微进阶θ/2终边所在位置若θ分别为第一、二、三、四象限角,则θ2的终边分别落在区域一、二、三、四内,如图所示[典例]已知θ为第三象限角,且sinθ2=-sinθ2,则角θA.第一或第三象限 B.第二或第四象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为θ为第三象限角,所以θ2为第二或第四象限角.又sinθ2=-sinθ2,所以sinθ考点二弧度制及其应用【例2】(1)已知扇形的周长为9,半径为3,则扇形的面积为()A.3 B.1 C.92 D.【解析】选C.设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,则l+2r=3α+6=9,解得α=1,因此扇形的面积为12αr2=9(2)已知扇形OAB的面积为1cm2,它的周长是4cm,则扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为________.

【解析】设该扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,依题意得12lr=1,l+2r=4,解得r=1,l=2答案:2(3)已知半径为3的扇形OAB的弦长AB=32,则该扇形的弧长是________.

【解析】在△ABO中,AB2=OA2+OB2=18,故∠AOB=π2,故弧长l=π2×3=答案:3π【思维升华】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长l;(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角;(3)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】(1)因为α=60°=π3rad,所以l=αR=π3×10=10π(2)由题意得2R+Rα=10,12αR2=4(3)由已知得l+2R=20,所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α【加练备选】(2024·贵港模拟)图①是第19届杭州亚运会会徽,名为“潮涌”,象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图②是会徽的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,扇环ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2.若l1l2=3,则S1A.3 B.4 C.6 D.8【解析】选D.因为l1l2=3,所以|OA||OB|=3.又因为S扇形AOD=12l1·|OA|,S所以S扇形AODS扇形BOC=l1·|OA|考点三三角函数的定义及其应用角度1利用三角函数的定义求值【例3】(1)已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3cosα的值为(A.-610 B.610 C.0 D.-310【解析】选C.由题知,cosα≠0,设角α的终边上一点为(a,-3a)(a≠0),则r=10|a|.当a>0时,r=10a,sinα=-31010,cosα=1010,所以10sinα+3cosα=-310+310=0.当a<0时,r=-10a,sinα=31010,cosα=-1010,所以10sinα(2)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为(A.-12 B.-32 C.12【解析】选C.由题意得点P(-8m,-3),r=64m2+9,所以cosα=-8m64m2+9=-45,解得m=±12.又cosα=-45<0,所以【思维升华】定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解.(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,再根据定义中的两个量,列方程求解.角度2三角函数值符号的判断【例4】(1)点P(sin100°,cos100°)落在()A.第一象限内 B.第二象限内C.第三象限内 D.第四象限内【解析】选D.因为sin100°=sin(90°+10°)=cos10°>0,cos100°=cos(90°+10°)=-sin10°<0,所以点P(sin100°,cos100°)落在第四象限内.(2)(多选题)若α是第二象限角,则下列不等式正确的是()A.cos(-α)>0 B.tanα2C.sin2α<0 D.sin(-α)>0【解析】选BC.因为π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以-π-2kπ<-α<-π2-2kπ(k∈Z),所以-α是第三象限角,所以sin(-α)<0,cos(-α)<0,故A,D不正确;因为π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以π4+kπ<α2<π2+kπ(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,π4+2nπ<α2<π2+2nπ(n∈Z),此时α2是第一象限角,当k=2n+1(n∈Z)时,5π4+2nπ<α2<3π2+2nπ(n∈Z),此时α2是第三象限角,所以α2是第一或第三象限角,所以tanα2>0,故B正确;因为π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以π+4kπ<2α<2π+4k【思维升华】三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.【对点训练】1.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是_