数学试卷答案广东省江门市2026届普通高中高三调研测试(江门一模)(.5-.6)

江门市2025-2026学年第一学期普通高中高三调研测试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DCACCDBB8.【解析】取AD的中点O，连接OD,OB，由二面角DACB是直二面角得OD丄OB，以O为原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，从而E，所以，所以设直线EF的单位方向向量为，则，所以点A到直线EF的距离为本题还可以转化为求△AEF的EF边上的高。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。题号9答案BCACDAC11.【解析】对于A选项，当AB丄CD时，AB是四面体ABCD的高，此时，四面体ABCD体积最大，最大值为VA-BCDS△BCDABBCCDAB，故A正确；对于B选项，Q=++,:2=(++)2=2+2+2+2ABBC2BCCD2ABCD4+4+4+0+0+222cosAB,CD>=12+对于C选项，不妨取CD的中点E，连接OE,OD，则OE丄CD，:.=(+).=.+.=2=2，22同理可得:CO.CB=2CB,CO.CA=2CA，所以.=.(-)=2-2=(CA2-CB2)AB2=2，从而.=.，故C正确；对于D选项，以BC、CD为邻边作平行四边形BCDF，则口BCDF是矩形，故四棱锥A-BCDF的各顶点都在球O的球面上，如右图所示：则BF丄BC，又因为BC丄AB，AB∩BF=B，AB、BF平面ABF，所以，BC丄平面ABF，且BF=CD=2，因为CD//BF，故异面直线AB、CD所成的角为上ABF或其补角.可将将三棱锥C-ABF置于圆柱O1O2内，使得△ABF的外接圆为圆O2，如右图所示：△ABF为等边三角形，则该三角形外接圆直径为2r 设球O的半径为R，则(2R)2=2+BC（此时球O也是圆柱的外接球此时，球O的表面积为4πR2=；则△ABF外接圆直径为2r此时，球O的表面积为4πR2=20π.综上所述，球O的表面积为或20π,D错误.D选项还可以通过建立空间直角坐标系，建立方程组确定球O的半径。故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。题号答案6注意：填空题要么正确，要么错误。13题用近似值表示，不给分。14.【解析】设D为BC边中点，连接OD,作OH丄AC于H，即H为AC中点，,)(b2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且asinB=bcosA．（1）求A；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求b,c．解1）解法一: 在△ABC中，由正弦定理得：sinA=sinB=sinC，………………1分 所以sinBcosA=sinAsinB，………………2分因为B∈(0,π)，所以sinB≠0．………………3分所以cosA=sinA，………………4分即tanA=，………………5分因为A∈(0,π)，………………6分3所以A=π.………………7分3解法二:在△ABC中，由正弦定理得：因为bcosA=asinB所以sinBcosA=sinAsinB，………………2分因为B∈(0,π)，所以sinB≠0．………………3分所以cosA=sinA，………………4分即cosAsinA=0，即=2cos………………5分所以A………………6分所以A所以A.………………7分（2）因为S△ABCbcsinAbc，………………8分所以b2+c2bc=4②,………………11分………………13分如图，在三棱锥P-ABC中，BC丄PC，PA丄平面ABC.（1）求证：平面PAC丄平面PBC；（2）若AC=BC=PA=2，M是PB的中点，点N在线段PC上，且PN=2NC，求直线BC与平面AMN所成角的余弦值.（1）证明：QPA丄平面ABC,BCC平面ABC，………………1分:PA丄BC，…2分QBC丄PC,PCC平面PAC，PAC平面PAC，PA∩PC=P，…3分:BC丄平面PAC，……………4分QBCC平面PBC，……………5分:平面PAC丄平面PBC.…………6分（2）解：取AB的中点O，连接OM,OC，则MO//PA，从而MO丄平面ABC.…………7分由（1）知BC丄平面PAC,ACÌ平面PAC，所以△ABC是等腰直角三角形，+BC分别以OC,OB,OM为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，…………8分则O(0,0,0),A(0,-,0),B(0,,0),C(,0,0),M(0,0,1),P，…………9分 0,,2)（不唯一………………12分设直线BC与平面AMN所成角为θ(θ∈[0,])，则sinθ=cos…………………14分故直线BC与平面AMN所成角的余弦值为…………………15分如果建立空间直角坐标系不同，只要合理，计算正确，则给相应的分数。在数列{an}中，a1=1，an+1+an=32n（nN+).（1）求证：{an-2n}是等比数列；（i）求λ的值；(ⅱ)记数列{n2bn}的前n项和为Sn.若Si.Si+2=15Si+1(i∈N+)，求i的值.解1）证明：Qan+1+an=3×2n，………………2分:{an-2n}是公比为-1的等比数列.……………3分:a1-21=-1，由（1）知an-2n=(-1)×(-1)n-1=(-1)n，从而an=2n+(-1)n，…………………4分所以a1=2=5,a3=7,a4=17，…………………5分23λ24λa3因为{bn}是等比数列，整理得λ2λ2=0，…………………7分所以λ=2.…………………8分故{bn}是等比数列，符合题意.所以λ=2.……………9分2bn=3×(-1)n+1n2，………10分当n为偶数时，2-22+32-42+…+(n-1)2-n2]=3×[(1+2)×(1-2)+(3+4)×(3-4)+…+(n-1+n)(n-1-n)]=-3×[3+7+…+(2n-1)]………11分当n为奇数时，Sn=Sn+1-(n+1)2bn+1=-(n+1)(n+2)+3(n+1)n(n+1),……12分综上，Sn数………13分易知Si.Si+2>0，故Si+1>0，所以i为偶数.………14分从而整理得i2+3i-10=0，解得i=-5（舍去）或i=2，所以i的值为2.…………15分如图,在六面体ABCDEF中，侧面ADEF是直角梯形，AD丄DE，AF//DE，DE=2AF=2，底为V.（1）求证：BF//平面CDE；（2）当t=2时，求V关于α的函数解析式，并求V的最大值；（3）若平面BEF丄平面BCE，当α取得最大值时，求V的值．（1）证明：方法一：因为底面ABCD是矩形，所以AB//CD，又AB丈平面CDE,CD平面CDE，故AB//平面CDE，………………1分直角梯形ADEF中，AF//DE，同理可得AF//平面CDE，……2分因为AB∩AF=A，AB,AF平面ABF，所以平面ABF//平面CDE，……3分又因为BF平面ABF，所以BF//平面CDE.…………4分方法二：取DE的中点G，连接CG,FG.所以四边形ADGF是矩形，且AD//FG,AD=FG，……1分又因为底面ABCD是矩形，所以AD//BC,AD=BC，……2分从而FG//BC,FG=BC，所以四边形BCGF是平行四边形，所以BF//CG，…………3分又因为BF丈平面CDE,CG平面CDE,所以BF//平面CDE.……4分（2）解：解法一（切割法取DE的中点G，连接CG,FG，CF。在直角梯形ADEF中，AD丄DE，因为CD∩DE=D,CD平面CDE,DE平面CDE，所以AD丄平面CDE，同理，AD丄平面ABF，从而FG丄平面CDE，ABF一DCG是直三棱柱。……………6分α,…………9分当α=时，V取得最大值.…………………10分解法二（补形法如图，延长AF到P，使得AF=FP，连接EP,BP.则由题易知四边形ADEP是矩形，AD//EP,AD=EP，在直角梯形ADEF中，AD丄DE，因为CD∩DE=D,CD平面CDE,DE平面CDE，所以AD丄平面CDE，同理，AD丄平面ABF，从而EP丄平面CDE，ABP—DCE是直三棱柱。……………6分当t=2时，由题意得SΔCDECD.DEsin上CDEsinα=2sinα,……8分所以V三棱柱CDE—BAPV三棱锥EBPFSΔBPF.EPsinα,……………9分当α=时，V取得最大值.……………10分解法三（切割法在直角梯形ADEF中，AD丄DE，因为CD∩DE=D,CD平面CDE,DE平面CDE，所以AD丄平面CDE，同理，AD丄平面ABF，……………6分过点E作CD的垂线，交直线CD于H，由AD丄平面CDE，EH平面CDE，所以AD丄EH，且AD∩DC=D，所以EH丄平面ABCD，即EH是四棱锥E一ABCD的高，…………7分由AF//DE，DE丈平面ABF，AF平面ABF，所以DE//平面ABF，又因为AD丄平面ABF，且AF=1，ABCD当时，V取得最大值.…………………10分（3）过点D作DC的垂线，交直线CE于点G，分别以DA,DC,DG为x,系如图所示，………………11分F(3t,cosα,sinα)，……………12分设平面BEF的一个法向量为=(x1,y1,z1)，nz1所以…………………13分设平面EBC的一个法向量为=(x2,y2,z2)，因为平面BEF和平面BCE垂直，整理可得cos……15分所以cos，当且仅当t=时，等号成立，故当α取得最大值时，即cosα取得最小值，……16分ABF则V………………17分如果建立空间直角坐标系不同，只要合理，计算正确，则给相应的分数。,（1）当t=1时，求关于x的不等式f(x)≥解集的“区间长度”；（2）设关于x的不等式f(x)≥0解集的“区间长度”为I．（i）若I=π,求t的值；解1）t=1时，2x所以f(x)≤0解集的“区间长度”为++-=；………………3分,所以cosx≥或cosx≤-，其中<<所以设cosx=的两个根为x1,x2，其中-<x1<0<x2<，且x1+x2=0，………5分同理，设cosx=-的两个根为x3,x4，(π)1即cosx1cos|(2-x1,=-4(π)1由诱导公式得cosx1.sinx1=-，即sin2x1=-，又-<x1<0，解得2x1=-或2x1=-，故x1=-或x1=-，