2026年高考数学全攻略重点题型解析与练习

2026年高考数学全攻略：重点题型解析与练习一、函数与导数综合题（共3题，每题15分）题目1（15分）已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1，其中a、b为实数。（1）若f(x)在x=1处取得极值，求a、b的值；（2）若f(x)在区间[-1,3]上单调递增，求a的取值范围；（3）证明：当b>2时，方程f(x)=0在(0,2)上有两个不相等的实根。题目2（15分）定义在R上的函数g(x)满足g(x+1)=g(x)+sinπx，且g(0)=1。（1）求g(2026)的值；（2）讨论g(x)的单调性；（3）是否存在实数m，使得g(x)-m在[0,π]上恒为非负数？若存在，求m的取值范围。题目3（15分）已知函数h(x)=e^x-(k+1)x²+kx（k∈R）。（1）求h(x)的极值点；（2）若h(x)在(0,+∞)上单调递增，求k的范围；（3）若h(x)在(-1,1)上恒大于0，求k的取值范围。二、三角函数与解三角形（共2题，每题20分）题目4（20分）已知函数f(θ)=2sin²θ+3sinθcosθ+4cos²θ（θ∈[0,2π]）。（1）求f(θ)的最小值及取得最小值时的θ值；（2）若sinα+cosα=t，求f(α)关于t的解析式；（3）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且f(A)=7，求a²+b²+c²的值。题目5（20分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²=2c²。（1）若sinA+sinB=√3sinC，求角C的度数；（2）若c=2√3，且cos(A-B)=1/2，求△ABC的面积；（3）证明：当△ABC周长固定时，其面积存在最大值，并求出该最大值。三、数列与不等式（共3题，每题15分）题目6（15分）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=(n+1)a_n/(n+a_n)，n∈N。（1）求a₂、a₃的值；（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明；（3）若b_n=a_nlna_n，求S_n=b₁+b₂+...+b_n的前n项和。题目7（15分）已知不等式3^x+3^(1-x)≥k对任意x∈R恒成立。（1）求k的最大值；（2）若a₁=1，a_n+1=3^(1-x)·a_n，求{a_n}的最小项；（3）证明：当x>0时，ln(1+x)>x-1/2x²。题目8（15分）设不等式x²+px+q≥0对任意x∈[1,2]恒成立，其中p、q为实数。（1）求p、q的范围；（2）若f(x)=x³-px²+qx，求f(x)在[1,2]上的最小值；（3）证明：若x₁、x₂是方程x²+px+q=0的两根，则|x₁-x₂|≤√2。四、立体几何与解析几何（共2题，每题20分）题目9（20分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面，PA=2，E为PC的中点。（1）求证：平面ABE⊥平面PBC；（2）求三棱锥P-ABE的体积；（3）若点F在棱PC上，且PF=1，求二面角D-PC-B的余弦值。题目10（20分）已知椭圆C：x²/4+y²/3=1的离心率为√(1/4)，左焦点为F₁，右顶点为A。（1）求直线AF₁的方程；（2）若P为椭圆C上一点，且PF₁+PF₂=4（F₂为右焦点），求∠PF₁F₂的度数；（3）设M为椭圆C上任意一点，求|FM₁|+|FM₂|（F₁、F₂为焦点）的最小值。五、概率与统计（共2题，每题15分）题目11（15分）某校高三年级进行数学竞赛，参赛学生共有200名，成绩分布如下表：|成绩分段|人数||-|||[0,60)|20||[60,80)|50||[80,90)|70||[90,100]|60|（1）求成绩在[70,90)区间的频率；（2）若从成绩在[80,100]的学生中随机抽取3人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率；（3）用样本估计总体，若该校高三年级共有1000名学生，估计成绩不低于80分的学生人数。题目12（15分）某射手每次射击命中目标的概率为0.8，连续射击3次，记命中次数为X。（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望；（3）若命中目标即停止射击，求射击次数Y的数学期望。答案与解析一、函数与导数综合题题目1（1）f'(x)=3x²-2ax+b，由f'(1)=0得3-2a+b=0，又f(1)=1-a+b+1=0，解得a=2，b=1；（2）f'(x)≥0在[-1,3]上恒成立，即3x²-4x+1≥0，解得x≤1/3或x≥1；（3）f'(x)=3x²-4x+1，f(0)=1>0，f(2)=3>0，f(1)=-1<0，且在(0,1)和(1,2)上各有一个极值点，由罗尔定理可知存在x₁∈(0,1)，x₂∈(1,2)，使f'(x₁)=f'(x₂)=0，结合f(x)单调性可知f(x)在(0,2)上恰有两个零点。题目2（1）g(x)是以π为周期的周期函数，g(2026)=g(0)=1；（2）g'(x)=cosπx，在[2kπ,(2k+1)π]上单调递增，在[(2k-1)π,2kπ]上单调递减；（3）m≤g(x)min，g(x)在[0,π]上最小值为g(π/2)=2，故m≤2。题目3（1）h'(x)=e^x-2(k+1)x+k，令h'(x)=0得x₁=0，x₂=(k+1)/2，当k>-1时，x₂>0；（2）h(x)单调递增即h'(x)≥0，当x>0时，需k≤(e^x+2x)/(2x+1)，由极限可得k≤1；（3）h(x)min=h(1)=e-2k≥0，解得k≤e/2。二、三角函数与解三角形题目4（1）f(θ)=3+sin2θ+2cos²θ=5/2+√5/2sin(2θ+φ)，最小值为5/2-√5/2，θ=7π/6；（2）f(α)=3+√3t，t∈[-√2,√2]；（3）由余弦定理a²+b²-c²=2abcosC=4，结合f(A)=7得sinA+cosA=√2，故a²+b²=4+c²=8，周长为6时面积最大。题目5（1）由正弦定理得a+b=c√3，结合a²+b²=2c²，解得C=60°；（2）由余弦定理得c²=a²+b²-ab，代入c=2√3得ab=4，面积S=1/2absinC=√3；（3）设a+b=2k，则a²+b²=4k²-2ab≥4k²-8，面积S≤√3/4(4k²-8)，当ab=4时取等。三、数列与不等式题目6（1）a₂=1/2，a₃=1/6；（2）a_n=n!/(n+1)^(n-1)，数学归纳法证明；（3）b_n=a_nlna_n≤a_n(1-lna_n)，S_n≤n/2。题目7（1）k≤6-4√3；（2）a_n=3^(n-1)，最小项为a₄；（3）令f(x)=x-ln(1+x)-x/2，f''(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增。题目8（1）对称轴x=-p/2∈[1,2]，Δ≤0，解得-4≤p≤-2，q≥-2；（2）f(1)=2，f(2)=6，f'(x)=3x²-2px+q，最小值在x=1或x=2处取到；（3）由判别式Δ≥0得p²-4q≥0，|x₁-x₂|²=(p²-4q)/4≤1。四、立体几何与解析几何题目9（1）PC⊥面ABE，∠PBC=90°，∠ABC=90°，∠PAB=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PAB=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°，∠PBC=90°，∠PBA=90°。题目10（1）AF₁：y=-√3/3(x+1)；（2）由椭圆定义及余弦定理得cos∠PF₁F₂=1/2；（3）利用椭圆第二定义，|FM₁|+|FM₂|=2a=4。五、概率与统计题目