九上 圆的切线性质与判定的经典题型总结

圆的切线，作为圆的重要概念之一，其性质与判定向来是几何学习中的重点与难点。掌握好这部分内容，不仅能深化对圆的理解，更能提升综合运用几何知识解决问题的能力。本文将结合教学实践，对圆的切线性质与判定的经典题型进行梳理与归纳，希望能为同学们的学习提供有益的参考。一、切线的性质：“已知切线，必连半径，得垂直”当题目中明确给出直线是圆的切线这一条件时，我们首先应该想到的是切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。这是解决切线相关问题的“黄金钥匙”，由此可以引申出一系列与角度、线段长度相关的计算与证明。（一）利用切线性质求角度这类问题通常需要我们连接圆心与切点，构造出直角，然后结合已知条件，运用三角形内角和、互余、互补等知识求解角度。例题1：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。思路分析：已知CD是切线，点C是切点，所以连接OC是关键。由切线性质知OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以AD∥OC。根据平行线的性质，内错角相等，即∠DAC=∠OCA。又因为OA=OC（半径相等），所以∠OAC=∠OCA。等量代换可得∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。方法总结：遇切线，连半径，得垂直。通过垂直关系构造平行线或直角三角形，是解决角度问题的常用手段。（二）利用切线性质求长度（或证明线段关系）切线的垂直关系也为我们运用勾股定理、相似三角形等知识求线段长度或证明线段相等、比例关系提供了条件。例题2：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接PO交AB于点C，若PA=6，PO=10，求AB的长。思路分析：PA、PB是切线，根据切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角）可知PA=PB，PO平分∠APB，且PO垂直平分AB。在Rt△PAO中，已知PA=6，PO=10，可先求出OA的长（即半径r），再利用面积法（S△PAO=1/2PA·OA=1/2PO·AC）求出AC的长，进而得到AB的长。方法总结：切线长定理是一个非常重要的性质，它联系了线段相等、角平分线和垂直关系。在涉及两条切线的问题中，常能用到。利用直角三角形的性质（勾股定理、面积法）是求长度的常用策略。二、切线的判定：“欲证切线，两种思路，看已知”证明一条直线是圆的切线，是圆这一章节的核心考点。通常有两种基本思路，选择哪种思路取决于题目所给的已知条件。（一）“连半径，证垂直”——已知直线与圆有公共点当题目中明确告知直线与圆有一个公共点（或隐含此条件，如直线经过圆上某一点）时，我们通常连接圆心与这个公共点（即半径），然后证明这条半径与所给直线垂直。例题3：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。思路分析：要证DE是⊙O的切线，已知点D在⊙O上（因为D在BC上，AB是直径，所以BD是弦，点D在圆上）。因此，连接OD（半径），只需证明OD⊥DE即可。证明：连接OD。因为AB=AC，所以∠B=∠C。又因为OB=OD，所以∠B=∠ODB。因此∠ODB=∠C，所以OD∥AC。因为DE⊥AC，所以OD⊥DE。又因为OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。方法总结：此思路的关键在于“连半径”后，如何证明垂直。常通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补等方法得到半径与直线平行，再由已知直线的垂直关系（如DE⊥AC）推导出半径与直线垂直。也可通过计算角度和为90°来证明垂直。（二）“作垂直，证半径”——未知直线与圆是否有公共点当题目中没有明确指出直线与圆有公共点时，我们通常过圆心作这条直线的垂线，然后证明垂线段的长度等于圆的半径。例题4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点O在AB上，且AO=OB，以O为圆心的圆与AC相切于点D。求证：⊙O与BC也相切。思路分析：要证⊙O与BC相切，题目未明确给出切点。已知⊙O与AC相切于点D，连接OD，则OD⊥AC，OD的长即为⊙O的半径r。要证⊙O与BC相切，可过点O作OF⊥BC于点F，若能证明OF=r，则结论成立。因为O是AB中点，AC=6，BC=8，∠C=90°，可求出AB长，进而得到AO=OB的长。利用面积法或相似三角形可求出OD（r）和OF的长，从而证明OF=r。证明概要：连接OD，过O作OF⊥BC于F。因为AC切⊙O于D，所以OD⊥AC。在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=10，所以AO=OB=5。易证△AOD∽△ABC（∠A公共，∠ADO=∠ACB=90°），所以OD/BC=AO/AB，即OD/8=5/10，解得OD=4。同理（或利用O是中点，OD⊥AC，OF⊥BC，∠C=90°，四边形ODCF是矩形等方法）可证得OF=OD=4，即OF是⊙O的半径。所以⊙O与BC相切。方法总结：此思路的关键在于“作垂直”后，如何证明垂线段等于半径。常利用三角形相似、三角函数或面积法（如等积变换）来计算垂线段的长度，并与半径（或通过其他途径求得的半径长度）进行比较。三、解题策略与温馨提示1.辅助线是灵魂：解决切线问题，恰当添加辅助线至关重要。性质用“连半径，得垂直”；判定用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”，务必牢记并灵活运用。2.定义要清晰：切线的定义（直线和圆只有一个公共点）有时也可直接用于判定，但更多时候是用判定定理。性质定理则是“切线垂直于过切点的半径”。3.综合运用是趋势：切线问题很少孤立存在，往往会与等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形等知识结合考查，需要同学们具备较强的知识迁移和综合运用能力。4.多思多练是法宝：几何学习离不开练习。通过典型例题的研习，总结方法规律；通过适量习题的巩固，提升解题技能。在练习中要注意一题多解和多题归一，体会解题的共性与差异。5.书写规范要注意：证明题的书写要条理清晰，逻辑严谨，“因为”“所以”的因果关系明确，定理使用要准确无误，辅助线的作法要交代清楚。总结圆的切线性质与判定是平面几何的重要内容，其题型多变，但核心知识相对集