高三数学（理）二轮复习冲刺提分作业第一篇专题突破专题五立体几何第3讲空间向量与立体几何冲刺提分作业本

第3讲空间向量与立体几何A组基础题组1.(2017云南第一次统一检测)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中点,则异面直线BC1与PD所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°2.(2017云南第一次统一检测)已知三棱锥PABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上,AC为球O的直径.当三棱锥PABC的体积最大时,二面角PABC的大小为θ,则sinθ=()A.23 B.53 C.63 3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则DC·AP的取值范围是.

4.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=4,点D在棱BB1上,若BD=3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为.

5.(2017课标全国Ⅰ,18,12分)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.

6.(2017安徽两校阶段性测试)已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是梯形,BC∥AD,AB⊥AD,且AB=BC=1,AD=2,顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上,PA⊥PD.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;(2)若直线AC与PD所成角为60°,求二面角APCD的余弦值.B组提升题组1.(2017贵州适应性考试)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形,使二面角ADEC的大小为θ0<θ(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;(2)若θ=π3

2.如图,正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求证:AC⊥BF;(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出|BP

答案精解精析A组基础题组1.C如图,取A1B1的中点E,连接D1E,AD1,AE,则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角.因为AB=2,所以A1E=1,又BC=BB1=1,所以D1E=AD1=AE=2,所以△AD1E为正三角形,所以∠AD1E=60°,故选C.2.C设球O的半径为R,由4πR2=16π,得R=2,设点P到平面ABC的距离为d,则0<d≤2,因为AC为球O的直径,所以AB2+BC2=AC2=16,则V三棱锥PABC=16AB·BC·d≤16·AB2+BC22·2=83,当且仅当AB=BC=22,d=2时,V三棱锥PABC取得最大值,此时平面PAC⊥平面ABC,连接PO,易知PO⊥平面ABC,过点P作PD⊥AB于D,连接OD,则易知AB⊥平面POD,则AB⊥OD,所以∠PDO为二面角PABC的平面角,因为OD=12BC=3.答案[0,1]解析依题意,设BP→=λBD1→,其中λ∈[0,1],DC→·AP→=AB→·(AB→+BP→)=AB→·(AB→+λBD1→)=4.答案2解析取AC的中点E,连接BE,如图,可得AD→·EB→=(AB→+BD→)·EB→=AB→·EB→=4×23×32=12=5×23×cosθ(θ为AD→与EB→的夹角),所以cosθ=5.解析(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,又AP∩PD=P,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,又AD∩AB=A,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A22P0,0,22所以PC=-22,1,-22,CB=(2设n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,则n·PC可取n=(0,1,2).设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,则m·PA可取m=(1,0,1).则cos<n,m>=n·m|易知二面角APBC为钝二面角,所以二面角APBC的余弦值为336.解析(1)证明:∵PH⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PH⊥AB.∵AB⊥AD,AD∩PH=H,AD,PH⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.(2)以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz,如图,∵PH⊥平面ABCD,∴z轴∥PH.则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),设AH=a,PH=h(0<a<2,h>0),则P(0,a,h),∴AP=(0,a,h),DP=(0,a2,h),AC=(1,1,0).∵PA⊥PD,∴AP·DP=a(a2)+h2=0.①∵AC与PD所成的角为60°,∴|cos<AC,DP>|=|a-2∴(a2)2=h2,②由①②得(a2)(a1)=0,∵0<a<2,∴a=1,∵h>0,∴h=1,∴P(0,1,1).∴AP=(0,1,1),AC=(1,1,0),PC=(1,0,1),DC=(1,1,0),设平面APC的法向量为n=(x1,y1,z1),由n·AP=y设平面DPC的法向量为m=(x2,y2,z2).由m·PC=x∴cos<m,n>=m·n|∵二面角APCD的平面角为钝角,∴二面角APCD的余弦值为13B组提升题组1.解析(1)证明:在等腰直角三角形ABC中,AB⊥BC,且DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴DE⊥AB.由翻折,可知DE⊥AD,DE⊥DB,AD∩DB=D,∴DE⊥平面ADB,∴BC⊥平面ADB,而BC⊂平面ABC,∴平面ABD⊥平面ABC.(2)由(1)可知,∠ADB为二面角ADEC的平面角,∴∠ADB=θ=π3又AD=DB,∴△ADB为等边三角形,如图,O为DB的中点,连接OA,过点O作OF∥BC交CE于点F,则AO⊥BD,OF⊥BD,由(1)知BC⊥平面ADB,∴AO⊥BC,∴AO⊥平面BCED,以O为坐标原点,OB,OF,OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设BD=2,则A(0,0,3),B(1,0,0),C(1,4,0),E(1,2,0),∴AB=(1,0,3),AC=(1,4,3),AE=(1,2,3),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB令z=1,则n=(3,0,1)是平面ABC的一个法向量.设AE与平面ABC所成的角为α,则sinα=|AE·n2.解析(1)证明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF⊂平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H,则BH=1,AH=3,CH=3,∴AC=23,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB,∵AB∩AF=A,∴AC⊥平面FAB,∵BF⊂平面FAB,∴AC⊥BF.(2)存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.以A为坐标原点,AB,AC,AF的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0)