2026年数学建模算法训练题集

2026年数学建模算法训练题集一、线性规划问题（共3题，每题15分）第1题（15分）题目：某城市公共交通公司负责运营三条公交线路，分别为A、B、C线路。公司每天需从三个公交站（站1、站2、站3）调配车辆至这三条线路。已知各线路每日最低运行车辆需求、各站可调配车辆数以及每条线路每辆车的运行成本如下表所示：|线路|最低需求（辆）|站1可调配（辆）|站2可调配（辆）|站3可调配（辆）|运行成本（元/辆·天）||--|-|-|-|-|-||A|20|15|10|8|200||B|25|12|18|5|180||C|30|8|20|15|150|若公司希望每日总运行成本最小，请建立线性规划模型，并求解最优调配方案。第2题（15分）题目：某农场种植三种作物（作物1、作物2、作物3），计划在下一季种植面积为1000亩的土地上分配作物种植。已知每种作物的单位面积产量、所需劳动力、所需化肥量以及市场价格如下表所示：|作物|单位面积产量（斤/亩）|所需劳动力（人/亩）|所需化肥（斤/亩）|市场价格（元/斤）||--|-||-|-||作物1|2000|2|50|1.5||作物2|1800|3|70|1.2||作物3|2200|1.5|40|1.4|农场每日最多可投入劳动力200人，化肥总量最多为60000斤。若农场希望总收益最大，请建立线性规划模型，并求解最优种植方案。第3题（15分）题目：某工厂生产三种产品（产品1、产品2、产品3），需要经过A、B两种设备加工。已知每种产品的单位生产时间、设备A和B的可用时间以及单位利润如下表所示：|产品|单位生产时间（小时/件）|设备A可用时间（小时）|设备B可用时间（小时）|单位利润（元/件）||--||--|--|-||产品1|2|40|30|50||产品2|3|50|40|60||产品3|1.5|30|50|40|若工厂希望总利润最大，请建立线性规划模型，并求解最优生产方案。二、整数规划问题（共2题，每题20分）第1题（20分）题目：某物流公司需要配送三种货物（货物1、货物2、货物3）至三个城市（城市1、城市2、城市3）。已知各城市需求量、各配送点可提供量以及单位配送成本如下表所示：|配送点|货物1可提供（件）|货物2可提供（件）|货物3可提供（件）|城市1需求（件）|城市2需求（件）|城市3需求（件）|单位配送成本（元/件）||--||||-|-|-|--||配送点1|100|80|60|50|30|40|5||配送点2|70|90|50|40|60|30|6||配送点3|60|50|90|30|40|50|4|若公司希望总配送成本最小，且每种货物的配送量必须为整数，请建立整数规划模型，并求解最优配送方案。第2题（20分）题目：某投资公司计划投资四个项目（项目1、项目2、项目3、项目4），每个项目的投资额上限以及预期收益如下表所示：|项目|投资额上限（万元）|预期收益（万元）||--|-|||项目1|200|80||项目2|150|70||项目3|100|60||项目4|120|90|若公司计划总投资额不超过500万元，且每个项目要么全投要么不投，请建立0-1整数规划模型，并求解最优投资方案。三、动态规划问题（共2题，每题25分）第1题（25分）题目：某旅行者计划从城市A出发，经过三个中转城市（城市B、城市C、城市D）最终到达城市E。已知各城市之间的旅行时间（小时）如下表所示：|城市|A|B|C|D|E||--|-|-|-|-|-||A|-|3|5|6|-||B|-|-|2|4|7||C|-|-|-|3|5||D|-|-|-|-|4||E|-|-|-|-|-|若旅行者希望总旅行时间最短，请建立动态规划模型，并求解最优旅行路线。第2题（25分）题目：某工厂需要从原材料A加工成产品C，过程中需要经过两个中间产品（产品B1、产品B2）。已知各阶段转化率及成本如下表所示：|阶段|原材料A用量（单位）|成本（元）|转化率||||--|-||加工成B1|2|10|0.8||加工成B2|3|12|0.9||加工成C（B1）|1|8|0.7||加工成C（B2）|1.5|10|0.8|若工厂希望总成本最低，请建立动态规划模型，并求解最优生产方案。四、图论与网络流问题（共2题，每题25分）第1题（25分）题目：某城市计划修建一条从市中心（节点1）到郊区（节点10）的公交线路，需要经过五个重要站点（节点2-6）。已知各站点之间的建设成本（万元）如下表所示：|站点|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||--|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-||1|-|10|15|20|25|-|-|-|-|-||2|-|-|5|8|12|15|-|-|-|-||3|-|-|-|6|10|14|18|-|-|-||4|-|-|-|-|7|11|15|19|-|-||5|-|-|-|-|-|9|13|17|21|-||6|-|-|-|-|-|-|12|16|20|24||7|-|-|-|-|-|-|-|-|14|18||8|-|-|-|-|-|-|-|-|-|22||9|-|-|-|-|-|-|-|-|-|26||10|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|若希望总建设成本最低，请建立最小生成树模型，并求解最优路线。第2题（25分）题目：某物流公司需要将货物从仓库（节点1）配送至三个销售点（节点4、5、6），经过两个中转站（节点2、3）。已知各节点之间的运输成本（元/吨）以及最大运输能力如下表所示：|节点|1|2|3|4|5|6||--|-|-|-|-|-|-||1|-|10|15|20|25|30||2|-|-|5|8|12|15||3|-|-|-|6|10|14||4|-|-|-|-|7|11||5|-|-|-|-|-|9||6|-|-|-|-|-|-|若希望总运输成本最低，且满足各节点的供需关系，请建立网络流模型，并求解最优配送方案。答案与解析一、线性规划问题第1题答案：模型：设xij表示从站i调配至线路j的车辆数（i=1,2,3；j=A,B,C）。目标函数：minZ=200(x1A+x2A+x3A)+180(x1B+x2B+x3B)+150(x1C+x2C+x3C)约束条件：1.供需平衡：x1A+x2A+x3A≥20（A线最低需求）x1B+x2B+x3B≥25（B线最低需求）x1C+x2C+x3C≥30（C线最低需求）2.资源限制：x1A+x2A+x3A≤15（站1可调配）x1B+x2B+x3B≤10（站2可调配）x1C+x2C+x3C≤8（站3可调配）3.非负性：xij≥0求解：通过单纯形法或软件求解，得到最优解为：x1A=20,x2A=0,x3A=0,x1B=5,x2B=20,x3B=0,x1C=0,x2C=10,x3C=30总成本：minZ=200×20+180×25+150×30=10650元第2题答案：模型：设x1、x2、x3分别表示三种作物的种植面积（亩）。目标函数：maxZ=1.5×2000x1+1.2×1800x2+1.4×2200x3约束条件：1.土地限制：x1+x2+x3=10002.劳动力限制：2x1+3x2+1.5x3≤2003.化肥限制：50x1+70x2+40x3≤600004.非负性：x1,x2,x3≥0求解：通过单纯形法或软件求解，得到最优解为：x1=200,x2=300,x3=500总收益：maxZ=1.5×2000×200+1.2×1800×300+1.4×2200×500=2316000元第3题答案：模型：设x1、x2、x3分别表示三种产品的生产量（件）。目标函数：maxZ=50x1+60x2+40x3约束条件：1.设备A限制：2x1+3x2+1.5x3≤402.设备B限制：30x1+40x2+50x3≤303.非负性：x1,x2,x3≥0求解：通过单纯形法或软件求解，得到最优解为：x1=0,x2=10,x3=6总利润：maxZ=50×0+60×10+40×6=960元二、整数规划问题第1题答案：模型：设yij表示从配送点i配送至城市j的货物量（件）。目标函数：minZ=5y1A+6y2A+4y3A+5y1B+6y2B+4y3B+5y1C+6y2C+4y3C约束条件：1.供需平衡：y1A+y2A+y3A=100（配送点1可提供）y1B+y2B+y3B=70（配送点2可提供）y1C+y2C+y3C=60（配送点3可提供）y1A+y1B+y1C=50（城市1需求）y2A+y2B+y2C=30（城市2需求）y3A+y3B+y3C=40（城市3需求）2.非负性：yij≥0且为整数求解：通过分支定界法或软件求解，得到最优解为：y1A=50,y1B=0,y1C=0,y2A=0,y2B=30,y2C=0,y3A=0,y3B=0,y3C=40总成本：minZ=5×50+6×0+4×0+5×0+6×30+4×0+5×0+6×0+4×40=740元第2题答案：模型：设x1-x4表示是否投资对应项目（1=投资，0=不投资）。目标函数：maxZ=80x1+70x2+60x3+90x4约束条件：1.投资总额限制：200x1+150x2+100x3+120x4≤5002.整数性：x1-x4为0-1变量求解：通过0-1背包问题解法或软件求解，得到最优解为：x1=1,x2=1,x3=0,x4=1总收益：maxZ=80×1+70×1+60×0+90×1=220万元三、动态规划问题第1题答案：模型：设f(i,j)表示从城市i到达城市j的最短时间。状态转移方程：f(i,j)=min{f(i,k)+d(k,j)}（k为i到j的中间节点）初始条件：f(A,B)=3,f(A,C)=5,f(A,D)=6最终目标：f(A,E)求解：f(A,B)=3,f(A,C)=5,f(A,D)=6f(B,C)=min{f(A,B)+2}=5,f(B,D)=min{f(A,B