中学数学函数章节总结与练习

中学数学函数章节总结与练习函数，作为中学数学的核心内容之一，贯穿了从初中到高中的多个学习阶段，其思想方法更是渗透到后续更高级的数学学习中。理解函数的概念，掌握常见函数的性质与图像，学会运用函数思想解决实际问题，是每位中学生必备的数学素养。本文旨在对中学阶段函数知识进行系统性梳理与回顾，并辅以针对性练习，帮助同学们巩固基础，提升应用能力。一、函数的核心概念与梳理1.1函数的定义：变量间的依赖关系在一个变化过程中，如果有两个变量，例如x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量。这个定义的核心在于“两个变量”和“唯一对应”。我们通常用符号y=f(x)来表示函数关系，其中f代表了从自变量x到因变量y的对应法则。1.2函数的三要素：定义域、对应关系与值域理解一个函数，必须明确其三要素：*定义域：自变量x的取值范围。在实际问题中，定义域的确定需要考虑自变量的实际意义；在纯数学问题中，则需考虑使函数表达式有意义的条件（如分母不为零，偶次根式被开方数非负等）。*对应关系：即函数表达式所描述的x与y之间的映射规则，这是函数的灵魂。*值域：在自变量x的取值范围内，通过对应关系得到的所有y值的集合。值域由定义域和对应关系共同决定。判断两个函数是否为同一函数，必须同时满足定义域相同、对应关系也相同（尽管表达式形式可能不同，但化简后一致），此时值域必然相同。1.3函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：*解析法：用数学表达式（解析式）来表示两个变量之间的函数关系，如y=2x+1。这是最精确、最便于进行理论分析的方法。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系，如平方根表、三角函数表等。这种方法直观明了，适用于自变量取值不多或有特定对应值的情况。*图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系，即函数图像。图像法能直观地反映函数的变化趋势和某些性质。在解决实际问题时，常常需要将这几种方法结合起来使用，例如根据图像分析函数性质，或根据表格数据拟合函数解析式。二、中学阶段常见的函数类型及其特性中学阶段我们学习的函数类型主要包括：2.1一次函数与正比例函数形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。其图像是一条直线。*当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数，是一次函数的特殊形式，其图像是经过原点的一条直线。*性质：一次函数的性质主要由斜率k决定。当k>0时，函数值y随自变量x的增大而增大；当k<0时，函数值y随自变量x的增大而减小。b的值决定了直线与y轴的交点坐标（0,b）。2.2反比例函数形如y=k/x（k是常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。其图像是双曲线。*性质：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。反比例函数的图像与坐标轴没有交点，但无限接近坐标轴。2.3二次函数形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。其图像是一条抛物线。*图像与性质：*开口方向：由a的符号决定。a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。*顶点与对称轴：抛物线的顶点坐标为(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))，对称轴是直线x=-b/(2a)。顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时）。*单调性：当a>0时，在对称轴左侧（x<-b/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-b/(2a)），y随x的增大而增大。当a<0时，情况相反。*最值：当a>0时，函数有最小值，y最小值=(4ac-b²)/(4a)；当a<0时，函数有最大值，y最大值=(4ac-b²)/(4a)。*与坐标轴的交点：与y轴交于点(0,c)；与x轴的交点由方程ax²+bx+c=0的根决定，判别式Δ=b²-4ac决定了交点的个数。二次函数是中学阶段研究最为深入的函数之一，其表达式还有顶点式（y=a(x-h)²+k）和交点式（y=a(x-x₁)(x-x₂)），在不同情境下各有其便利性。三、函数学习中的常用思想与方法3.1数形结合思想函数的图像是函数关系的直观体现。通过绘制函数图像，可以帮助我们理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；反之，根据函数的性质也能准确地描绘出函数的图像。在解决函数问题时，“由数想形，由形助数”是一种非常重要的思维方式。例如，求方程的解可以转化为求两个函数图像的交点横坐标。3.2分类讨论思想由于函数中参数的取值不同可能导致函数的类型、图像、性质发生变化，因此在研究含参数的函数问题时，常常需要进行分类讨论。例如，讨论一次函数y=kx+b中k的正负对函数单调性的影响，讨论二次函数中判别式Δ的符号对其与x轴交点个数的影响等。分类讨论时要注意分类标准的统一性和不重不漏。3.3转化与化归思想将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，是数学学习的重要策略。在函数学习中，例如求函数的值域，可以通过换元法转化为求基本初等函数的值域；解不等式可以转化为利用函数的单调性比较大小等。四、巩固练习与能力提升练习题1.选择题：函数y=√(x-1)+1/(x-3)的定义域是（）A.x≥1B.x>1且x≠3C.x≥1且x≠3D.x>12.填空题：已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1,3)和(-1,-1)，则其解析式为__________。3.解答题：已知二次函数y=x²-4x+3。(1)求出该函数图像的顶点坐标和对称轴；(2)求出该函数图像与x轴、y轴的交点坐标；(3)当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y>0？4.应用题：某商店销售一种成本为每件20元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-10x+500（x≥20）。设每天的销售利润为w元。(1)求w与x之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案与解析1.C解析：要使函数有意义，需满足：√(x-1)有意义，则x-1≥0⇒x≥1；1/(x-3)有意义，则x-3≠0⇒x≠3。故定义域为x≥1且x≠3，选C。2.y=2x+1解析：将点(1,3)和(-1,-1)代入y=kx+b，得：{3=k*1+b{-1=k*(-1)+b解方程组得：k=2，b=1。所以解析式为y=2x+1。3.解答：(1)y=x²-4x+3=(x-2)²-1。所以顶点坐标为(2,-1)，对称轴为直线x=2。(2)令y=0，即x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3。所以与x轴交点为(1,0)和(3,0)。令x=0，得y=3。所以与y轴交点为(0,3)。(3)因为a=1>0，抛物线开口向上，对称轴为x=2。所以当x<2时，y随x的增大而减小。由(2)知，抛物线与x轴交于(1,0)和(3,0)，且开口向上，所以当x<1或x>3时，y>0。4.解答：(1)每件商品的利润为(x-20)元，销售量为y=-10x+500件。所以w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x²+700x-____。(2)w=-10x²+700x-____，其中a=-10<0，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为x=-b/(2a)=-700/(2*(-10))=35。因为x≥20，且35在定义域内，所以当x=35时，w有最大值。w最大值=-10*(35)²+700*(35)-____=-____+____-____=2250。答：销售单价定为35元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。总结函数的世界丰富多彩，其概念