正比例函数教学导学案与习题解析

正比例函数教学导学案与习题解析一、教学导学案（一）学习目标1.知识与技能：理解正比例函数的概念，能准确判断一个函数是否为正比例函数；掌握正比例函数的图像特征和基本性质；能够根据已知条件确定正比例函数的解析式，并运用其解决简单的实际问题。2.过程与方法：通过对实际问题的观察、分析、归纳，经历正比例函数概念的形成过程；在探究正比例函数图像和性质的过程中，体会数形结合的思想方法，培养观察、分析和概括能力。3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣；在合作与探究中，体验成功的喜悦，培养严谨的治学态度和勇于探索的精神。（二）重点与难点*重点：正比例函数的概念、解析式、图像及性质。*难点：理解正比例函数中两个变量之间的正比例关系，以及利用正比例函数解决实际问题。（三）知识回顾1.什么是常量？什么是变量？2.什么是函数？函数有哪几种表示方法？（四）新知探究1.正比例函数的概念问题情境1：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时。*填写下表：t（小时）123...:-------:--:--:--:--s（千米）...*s与t之间的关系式是什么？*在这个关系式中，哪些是常量？哪些是变量？s是t的函数吗？问题情境2：一种笔记本每本定价为2元，购买x本笔记本的总价为y元。*写出y与x之间的关系式。*这个关系式中，常量和变量分别是什么？y是x的函数吗？观察与思考：上述两个问题中得到的函数关系式（s=60t，y=2x）有什么共同特点？归纳总结：形如y=kx（k是常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数。其中，k叫做比例系数。*自变量x的取值范围是全体实数（在实际问题中，需根据具体情况确定）。*正比例函数y=kx也可以说成“y与x成正比例”，k是比例系数。即时练习：判断下列函数是否为正比例函数？若是，请指出比例系数k。(1)y=3x(2)y=-0.5x(3)y=x²(4)y=2(5)y=(a²+1)x(a为常数)（五）正比例函数的图像与性质1.绘制正比例函数的图像动手操作：在同一平面直角坐标系中，画出下列正比例函数的图像。(1)y=x(2)y=2x(3)y=-x(4)y=-0.5x步骤提示：1.列表：选取适当的x值，并计算出对应的y值。2.描点：在坐标系中描出对应的点(x,y)。3.连线：用平滑的直线将描出的点连接起来。观察与发现：正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过原点(0,0)的直线。因此，画正比例函数图像时，只需确定两点（通常取原点和点(1,k)），即可画出其图像。2.探究正比例函数的性质思考与讨论：观察你所画的四个函数图像，思考以下问题：(1)当k>0时（如y=x,y=2x），函数图像经过哪些象限？y随x的增大如何变化？(2)当k<0时（如y=-x,y=-0.5x），函数图像经过哪些象限？y随x的增大如何变化？(3)|k|的大小对函数图像的“倾斜程度”有何影响？归纳总结：正比例函数y=kx(k≠0)的性质：*当k>0时：*图像经过第一、三象限（从左向右上升）。*y随x的增大而增大。*当k<0时：*图像经过第二、四象限（从左向右下降）。*y随x的增大而减小。*|k|的值越大，直线y=kx离y轴越近，即图像越“陡”；|k|的值越小，直线y=kx离x轴越近，即图像越“平缓”。即时练习：(1)函数y=3x的图像经过第______象限，y随x的增大而______。(2)函数y=-√2x的图像经过第______象限，y随x的增大而______。(3)若正比例函数y=(m-1)x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是______。（六）应用与拓展1.确定正比例函数的解析式例1：已知正比例函数y=kx的图像经过点(2,4)，求这个正比例函数的解析式。分析：因为点(2,4)在函数图像上，所以其坐标满足函数解析式，将x=2,y=4代入y=kx即可求出k的值。解：（过程略）方法提炼：若已知正比例函数图像经过某一点(x₀,y₀)，则将该点坐标代入y=kx，得到y₀=kx₀，从而求出k=y₀/x₀(x₀≠0)，即可确定函数解析式。2.解决实际问题例2：某水库的水位在5小时内持续上涨，初始水位高度为6米，每小时上涨0.3米。(1)写出水库的水位高度y（米）与时间x（小时）之间的函数关系式，并指出它是否为正比例函数。(2)经过2小时后，水库的水位高度是多少米？分析：（1）水位高度=初始水位+上涨的高度。上涨的高度=每小时上涨高度×时间。（2）将x=2代入关系式计算。解：（过程略）思考：例2中的函数是正比例函数吗？为什么？它与我们今天学习的正比例函数有何区别与联系？（为后续学习一次函数做铺垫）（七）课堂小结1.本节课学习了哪些主要内容？（正比例函数的定义、图像、性质、应用）2.正比例函数y=kx(k≠0)的图像有何特征？其性质是如何随k的符号变化的？3.如何确定一个正比例函数的解析式？4.学习过程中，你用到了哪些数学思想方法？（如：数形结合、从特殊到一般、归纳总结等）（八）作业布置1.必做题：教材对应练习题中关于正比例函数概念、图像与性质的基础题。2.选做题：(1)已知y与x成正比例，且当x=-3时，y=6，求当x=4时y的值。(2)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图像上有一点A，过点A向x轴作垂线，垂足为B，若△AOB的面积为8，求k的值。3.思考题：正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条直线，那么任意一条经过原点的直线是否都是某个正比例函数的图像？为什么？二、习题解析（一）基础巩固1.判断下列函数是否为正比例函数，若是，请指出其比例系数k。(1)y=0.8x(2)y=5/x(3)y=x²+1(4)y=-(√3)x(5)y=0解析：(1)是正比例函数，比例系数k=0.8。符合y=kx(k≠0)的形式。(2)不是正比例函数。其形式为y=5/x，是反比例函数，不符合y=kx的形式。(3)不是正比例函数。含有x的二次项，不符合y=kx的形式。(4)是正比例函数，比例系数k=-√3。符合y=kx(k≠0)的形式。(5)不是正比例函数。当k=0时，y=0，此时函数图像为x轴，不符合k≠0的条件。2.已知正比例函数y=(m+2)x，若y随x的增大而减小，求m的取值范围。解析：正比例函数y=kx(k≠0)，当k<0时，y随x的增大而减小。依题意，得m+2<0解得m<-2所以，m的取值范围是m<-2。3.若正比例函数y=kx的图像经过点(-1,3)，求这个函数的解析式，并判断点(2,-6)是否在该函数的图像上。解析：(1)因为正比例函数y=kx的图像经过点(-1,3)，所以将x=-1,y=3代入y=kx，得3=k*(-1)解得k=-3所以，这个正比例函数的解析式为y=-3x。(2)判断点(2,-6)是否在该函数图像上，只需将x=2代入解析式，看得到的y值是否为-6。当x=2时，y=-3*2=-6，与点的纵坐标相等。所以，点(2,-6)在该函数的图像上。4.已知正比例函数的图像经过第一、三象限，请写出一个满足条件的正比例函数解析式。解析：正比例函数y=kx(k≠0)的图像经过第一、三象限时，k>0。因此，只要写出一个比例系数k为正数的正比例函数即可。例如：y=2x(答案不唯一，k>0即可)。（二）能力提升5.在同一直角坐标系中，正比例函数y=k₁x与y=k₂x的图像如图所示（假设图中一条经过第一、三象限且较陡，另一条经过第二、四象限），则k₁、k₂的大小关系是（）A.k₁>k₂>0B.k₂>k₁>0C.k₁>0>k₂D.k₂>0>k₁解析：图像经过第一、三象限的正比例函数，其比例系数k>0；图像经过第二、四象限的正比例函数，其比例系数k<0。由图可知，一条经过第一、三象限（设为y=k₁x），则k₁>0；另一条经过第二、四象限（设为y=k₂x），则k₂<0。因此，k₁>0>k₂，答案选C。（注：题目中提到“较陡”，是指|k|较大，但在此题选项设置下，无需考虑|k|大小即可选出正确答案。若有涉及|k|比较的选项，则需进一步判断。）6.已知y与x成正比例，当x=3时，y=-9。(1)求y与x之间的函数关系式。(2)当y=12时，求x的值。(3)当x为何值时，y=x？解析：(1)因为y与x成正比例，所以可设y=kx(k≠0)。将x=3,y=-9代入，得-9=3k，解得k=-3。所以，y与x之间的函数关系式为y=-3x。(2)当y=12时，代入y=-3x，得12=-3x，解得x=-4。(3)当y=x时，即x=-3x，移项得x+3x=0，4x=0，解得x=0。所以，当x=0时，y=x。7.一辆汽车以恒定的速度在高速公路上行驶，行驶路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示（图像是一条过原点的直线）。(1)求s与t之间的函数关系式。(2)若这辆汽车行驶了2.5小时，它行驶了多少千米？(3)若A地到B地的距离为360千米，这辆汽车从A地到B地需要多少小时？解析：(1)由题意知，s与t成正比例关系（速度恒定），故设s=kt(k≠0)。观察图像（假设图像经过点(1,90)，具体点需根据实际图像确定，此处为假设以便计算），则当t=1时，s=90。代入s=kt，得90=k*1，解得k=90。所以，s与t之间的函数关系式为s=90t。（注：若图像经过的点不同，k值会不同，方法一致。）(2)当t=2.5小时时，s=90*2.5=225（千米）。所以，行驶了225千米。(3)当s=360千米时，代入s=90t，得360=90t，解得t=4（小时）。所以，从A地到B地需要4小时。（三）拓展探究8.已知正比例函数y=kx(k≠0)，点P(a,b)是其图像上一点。(1)求证：b/a=k(a≠0)。(2)若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求k的值。解析：(1)证明：因为点P(a,b)在正比例函数y=kx的图像上，所以将x=a,y=b代入y=kx，得b=ka。因为a≠0（若a=0，则b=0，此时b/a无意义，但题目中已隐含a≠0