初中数学几何证明专项训练试卷及详解

初中数学几何证明专项训练试卷及详解同学们在初中数学的学习旅程中，几何证明往往是一座需要努力攀登的山峰。它不像代数运算那样有明确的公式可以直接套用，每一道题都像是一个小小的迷宫，需要我们运用逻辑的指南针，一步步探索才能找到出口。不少同学会觉得几何证明无从下手，或者思路不够清晰，导致在这部分失分。为了帮助大家更好地掌握几何证明的方法与技巧，熟悉常见的题型和解题思路，我特意整理了这份《初中数学几何证明专项训练试卷》，并附上了详细的解答过程和思路分析。希望这份试卷能成为你攻克几何证明难关的得力助手。几何证明专项训练试卷考试时间：90分钟满分：100分注意事项：1.本试卷共包含三道大题，分别为选择题、填空题和解答题。2.解答题要求写出必要的证明步骤和推理过程，只写结论不得分。3.作图题请用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹。一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中，真命题是()A.同位角相等B.两点之间，直线最短C.同旁内角互补，两直线平行D.相等的角是对顶角2.如图，点A、B、C在同一直线上，且∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论中不一定成立的是()(图形描述：直线上依次有A、B、C三点，过B点有一条射线BD，使得∠ABD=∠1，∠DBC=∠2；过C点有一条射线CE，使得∠BCE=∠3，∠ECD=∠4)A.AD∥BEB.BE∥CDC.∠1+∠4=90°D.∠3+∠2=∠1+∠43.在△ABC中，若AB=AC，D为BC中点，则下列结论不正确的是()A.AD⊥BCB.∠BAD=∠CADC.BD=CDD.AD=BD4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB∥CD，AD∥BCB.AB=CD，AD=BCC.AB∥CD，∠A=∠CD.AB=CD，AD∥BC5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为()(图形描述：一个圆O，圆内有△ABC，A、B、C三点均在圆上，O为圆心，连接OA、OB)A.40°B.50°C.80°D.100°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)6.命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是：________________________。7.如图，已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角板如图放置，∠1=25°，则∠2=________度。(图形描述：两条平行线a、b被一条直线所截，形成若干角。三角板的直角顶点在直线b上，一条直角边与截线重合，30°角在直线a的一侧，∠1是三角板的30°角的一条边与直线a形成的同位角或内错角，∠2是另一个相关的角)8.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，AB=6cm，则BC=________cm。9.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=10，BD=14，则AB的取值范围是________。(图形描述：一个平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O)三、解答题(本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本题满分10分)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。(图形描述：直线上有B、E、C、F四点，BE=CF，连接AB、AC、DE、DF，形成△ABC和△DEF)11.(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：DE∥BC。(图形描述：一个等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，AD=AE，连接DE)12.(本题满分12分)已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF是平行四边形。(图形描述：一个平行四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，连接AE、EC、CF、FA)13.(本题满分13分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。(1)求证：CD=DE；(2)若AC=6，BC=8，求BD的长。(图形描述：直角三角形ABC，直角顶点C，AD是∠BAC的角平分线，交BC于D，过D作DE垂直AB于E)14.(本题满分13分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D。(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AD=3，AC=，求⊙O的半径。(图形描述：一个圆O，AB是直径，C是圆上一点，过C点有一条切线，AD垂直于这条切线，垂足为D，连接AC、BC)---几何证明专项训练试卷详解同学们在完成上述试卷后，想必对自己的几何证明能力有了一个大致的了解。几何证明的关键在于逻辑的连贯性和对基本定理、性质的熟练运用。下面，我将逐题进行详细解析，希望能帮助你理清思路，查漏补缺。一、选择题1.答案：C解析：A选项，只有两直线平行时，同位角才相等，故A错误。B选项，两点之间，线段最短，而非直线，故B错误。C选项，“同旁内角互补，两直线平行”是平行线的判定定理之一，故C正确。D选项，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故D错误。2.答案：C解析：由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AD∥BE，A选项成立。由∠3=∠4，根据“同位角相等，两直线平行”可判定BE∥CD，B选项成立。因为AD∥BE∥CD，所以∠1=∠2（已知），∠3=∠4（已知），且∠2和∠3是BE与CD被BC所截的同旁内角，它们的关系取决于具体度数，而∠1+∠4与∠3+∠2都等于∠1+∠3或∠2+∠4，所以D选项∠3+∠2=∠1+∠4成立。C选项∠1+∠4=90°，题目中并没有给出任何角的具体度数或互余的条件，所以无法判定，故C选项不一定成立。3.答案：D解析：在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。D为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质：A选项AD⊥BC（底边上的中线也是底边上的高），正确。B选项∠BAD=∠CAD（底边上的中线也是顶角的平分线），正确。C选项BD=CD（D是中点），正确。D选项AD=BD，只有当∠B=45°，即△ABC为等腰直角三角形时才成立，一般情况下不成立，故D错误。4.答案：D解析：A选项，两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义），故A正确。B选项，两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理），故B正确。C选项，AB∥CD可得∠A+∠D=180°，又因为∠A=∠C，所以∠C+∠D=180°，从而AD∥BC，两组对边分别平行，故C正确。D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故D错误。5.答案：B解析：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角。所以∠ACB=∠AOB=×100°=50°。故B正确。二、填空题6.答案：如果两个角相等，那么它们是直角。解析：逆命题是将原命题的题设和结论互换。原命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“它们相等”。互换后即为所求。7.答案：35解析：(由于无法直接看到图形，此为常见题型的解析思路)设三角板的30°角为∠3。因为a∥b，所以∠1的同位角（或内错角）与∠3和∠2可能构成一个平角或直角。假设三角板的斜边与直线a相交，∠1与三角板的30°角的余角（60°）以及∠2之间存在某种等量关系。例如，若∠1+∠2+30°=180°（平角），已知∠1=25°，则∠2=180°-25°-30°=125°，但这与常见题型不符。更可能的是，过三角板的直角顶点作a的平行线，利用内错角和30°角计算。或者，∠2的对顶角与∠1和30°角构成直角，即∠2=90°-∠1-30°=90°-25°-30°=35°。综合判断，此处答案应为35°。8.答案：3解析：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。因为三角形内角和为180°，所以x+2x+3x=180°，解得x=30°。故∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形。在Rt△ABC中，∠A=30°，所对的直角边BC是斜边AB的一半。AB=6cm，所以BC=AB=3cm。9.答案：2<AB<12解析：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，所以AO=OC=AC=5，BO=OD=BD=7。在△AOB中，根据三角形三边关系：AO-BO<AB<AO+BO。即7-5<AB<7+5，所以2<AB<12。三、解答题10.证明：∵BE=CF(已知)∴BE+EC=CF+EC(等式的性质)即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE(已知)AC=DF(已知)BC=EF(已证)∴△ABC≌△DEF(SSS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)思路分析：要证∠A=∠D，观察到它们分别在△ABC和△DEF中，因此考虑证明这两个三角形全等。已知两组边对应相等（AB=DE，AC=DF），只需再证第三组边相等即可。题目给出BE=CF，通过线段的和差关系可轻松证得BC=EF，从而利用SSS判定全等。11.证明：∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等边对等角)∵AD=AE(已知)∴∠ADE=∠AED(等边对等角)在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°(三角形内角和定理)∴∠B+∠C=∠ADE+∠AED(等量代换)∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED∴2∠B=2∠ADE(等量代换)∴∠B=∠ADE(等式的性质)∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)思路分析：要证DE∥BC，可考虑证同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。图中∠ADE与∠B是同位角，∠AED与∠C是同位角。因为△ABC和△ADE都是等腰三角形，所以底角相等，利用三角形内角和定理可证得这两组同位角相等。12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)∴AB∥CD，AB=CD(平行四边形的对边平行且相等)∵E、F分别是AB、CD的中点(已知)∴AE=AB，CF=CD(中点的定义)∴AE=CF(等量代换)又∵AB∥CD(已证)∴AE∥CF(平行线的一部分也平行)∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)思路分析：要证四边形AECF是平行四边形，已有多种判定方法。观察到AE和CF分别是□ABCD对边AB和CD的一半，易证AE=CF且AE∥CF，从而满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。13.(1)证明：∵AD平分∠BAC(已知)∠C=90°(已知)，DE⊥AB(已知)∴CD=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)思路分析：看到角平分线和垂直条件，应立即联想到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。CD是点D到AC的距离，DE是点D到AB的距离，故CD=DE。(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8根据勾股定理，AB===10由(1)知CD=DE在Rt△ACD和Rt△AED中AD=AD(公共边)CD=DE(已证)∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AE=AC=6(全等三角形的对应边相等)∴BE=AB-AE=10-6=