山东省淄博市2026届高三上学期期末摸底质量检测 数学试卷

山东省淄博市2026届高三上学期期末摸底质量检测数学试题一、单选题1．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．10种 B．25种 C．20种 D．40种5．若随机变量，且，则的最大值为（

）A．9 B． C．24 D．276．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（

）A． B．1 C． D．27．已知且，则（

）A． B． C． D．8．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的有（

）A．的展开式的各二项式系数的和为1B．已知随机事件和，若，则和相互独立C．若随机变量，则D．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是310．已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，令，数列的前项和为，则下列说法正确的有（

）A．B．使得成立的的最小值为C．D．11．已知等腰，，取，中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（

）A．四棱锥存在外接球 B．C． D．四棱锥的体积为三、填空题12．若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是．13．已知函数，若，则的取值范围是．14．若函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围是．四、解答题15．已知的内角的对边分别为，.(1)求角的大小；(2)若边上的中线长为，求的面积．16．记为数列的前项和，已知．(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前项和．17．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点分别在线段与上（不含端点），且．

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若平面，求的最小值．18．由个小正方形构成的长方形网格有行和列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止．(1)第一行中的个小球颜色互不相同，其余行都由这个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求的最大值；(2)长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为，放黑球的概率为．（ⅰ）若，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；（ⅱ）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：．19．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数有个零点，且．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．

参考答案1．A【详解】由题可知，，所以，故选：A．2．D【详解】由题意可得，则.故选：D.3．B【详解】因为向量，，则，若，则，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．C【详解】将名志愿者分为2组，每组的人数分别为和3，再将这2组志愿者分配到2项公益活动，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为.故选：C5．A【详解】由题意可得，则，所以，易知当时，的最大值为.故选：A.6．B【详解】将函数的图象向右平移得到，将点代入得，所以，解得，又，所以，故选：B.7．B【详解】因为，则①，又，则②，由①②得，即，又，所以，又，则，所以，解得，所以，故选：B.8．A【详解】由题知，，函数恰有两个零点，因为当时，，所以是函数的一个零点，又当时，由可得，所以当时，与的图象必有一个交点，由于，当时，，则恒成立，所以函数在上单调递增，当时，，则，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，有最小值为，所以，函数图象如图：由图可知，若与，图象必有一个交点，则，故选：A.9．BC【详解】A.的展开式的各二项式系数的和为，故错误；B.已知随机事件和，因为，满足，所以和相互独立，故正确；C.因为随机变量，所以，故正确；D.数据11，13，5，6，8，1，3，9由小到大排序为：1，3，5，6，8，9，11，13，，因为为整数，所以其下四分位数第项和第项的平均值，即，故错误；故选：BC10．ACD【详解】对于A，因为，则，所以A正确，对于B，由，得，由选项A知，所以公差为，又由，得，所以，，则使得成立的的最小值为，所以B错误，对于C，由可得，，，，则，得到，所以，故C正确，对于D，因为，则，所以，故D正确.，故选：ACD.11．ABD【详解】由题意可知，，因为为正三角形，，所以，又底面，所以，则，故四棱锥的外接球球心为，故A正确；由于，则，所以在平面中，，则①，在中，由余弦定理得：②，在中，由余弦定理得：③，由①②③可得又，所以，，故B正确；由③可得，则为锐角，所以，所以，因为，则，故C错误；由可得，则四边形的面积故四棱锥的体积为，故D正确.故选：ABD.12．【详解】由得设，则，解得，又，所以点的坐标为，故答案为：.13．【详解】当时，令，所以，当时，令，所以，综上所述，时，的取值范围是故答案为：．14．【详解】，令，则，对称轴为，所以，由且，可得或，由题可知，，当时，，此时有最大值，无最小值，当时，，此时有最大值，无最小值，当时，，此时有最大值，有最小值，当时，，此时有最大值，有最小值，当时，，此时有最大值，无最小值，当时，，此时有最大值，无最小值，当时，，此时有最大值，有最小值，综上所述，，故答案为：．15．(1)(2)【详解】（1）由以及正弦定理可得，，即，则由余弦定理可得，，因为，所以.（2）因为为线段的中点，所以，则，又，所以，即，因为，，所以，得，则的面积为.

16．(1)证明见详解(2)【详解】（1）因为，①所以当时，，②①②得：，即，所以，所以，即，当时，由①得，则，所以数列是以公比为，首项为的等比数列.（2）由（1）数列是以公比为，首项为的等比数列，所以，所以，由，则，所以，所以，所以数列的前项和为：，③，④③减④得：，即，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）以A为原点，分别以AD、AB、AM所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，已知平面，，

则各点的坐标：，，得F点坐标：，所以，平面的法向量：取,，平面为平面，法向量为，，所以，又因为平面，因此平面；（2）平面的法向量为：，设平面的法向量为：，则，令，则，即，设两平面的夹角为，则，（3）由，得，,，又因为平面，故，，，则，（根据不等式可得）当且仅当时，等号成立，故的最小值为，18．(1)(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）证明见解析.【详解】（1）将个颜色互不相同的小球全排列，共有种排法，故的最大值为.（2）（ⅰ）的所有可能取值为，记“含白球的行数为”为事件，记“每列都有黑球”为事件，则，，故的分布列为数学期望为.（ⅱ）因为每一列都至少有一个黑球的概率为，则不是每一列都有黑球的概率为，记“每行都至少有一个白球”为事件，所以，因为，所以，即，故.19．(1)在上单调递增；(2)（i）；（ii）证明见解析.【详解】（1）当时，定义域为，，令，则，令，解得，当，所以在上递减，在上递增，所以即，所以在上单调递增.（2）（i）函数有3个零点等价于有三个根等价于有三个根，等价于当与有三个交点，.，0200减0增减，，所以的取值