5.3 诱导公式-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

5.3诱导公式【学习要求】1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．【思维导图】【知识梳理】1．诱导公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα2．诱导公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα3．诱导公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα【注】1.公式一～四中的角α是任意角．2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα．3．诱导公式的作用(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．4．诱导公式五、六如下表：公式五sin(eq\f(π,2)－α)＝cosαcos(eq\f(π,2)－α)＝sinα公式六sin(eq\f(π,2)＋α)＝cosαcos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα公式五和公式六可以概括为：eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式【注】1.对诱导公式五、六的两点说明(1)诱导公式五、六反映的是角eq\f(π,2)±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．对诱导公式一～六的两点说明(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)公式一～六的记忆口决和说明①口诀：奇变偶不变，符号看象限．②说明：【高频考点】高频考点1.利用诱导公式解决给角求值问题【方法点拨】利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．【例1】（2021·贺州市桂东高级中学高一月考）计算：（1）；（2）.【变式1-1】（2021·陕西）的值是（）A． B． C． D．【变式1-2】（）A． B． C． D．【变式1-3】（2021·银川三沙源上游学校高一期中）求下列各式的值．（1）；（2）.【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）化简求值：（1）；（2）．高频考点2.给值求值或给值求角问题【方法点拨】解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．【例2】（1）（2021·上海市长征中学）已知，且是第二象限角，则的值等于_______（2）（2021·海原县第一中学高一月考）已知，则_______.【变式2-1】（2021·上海市建青实验学校高一期中）已知，且是第四象限的角，则_________【变式2-2】（2021·江西新余四中高一月考）已知，则（）A． B． C． D．【变式2-3】（2021·成都市高一月考）若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于（）A．B．±C．D．－【变式2-4】（2021·淮北市树人高级中学高一期中）若，且α是第三象限角，则（）A．1 B．7 C．-7 D．-1高频考点3.三角函数式的化简问题【方法点拨】三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．【例3】（2021·绥德中学高一月考）(1)计算：；(2)化简：.【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）化简：=（）A．-sinθB．sinθC．cosθD．-cosθ【变式3-2】1．（2021·陕西咸阳市实验中学高一月考（理））（1）化简：（2）求值：【变式3-3】（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：（2）求值：【变式3-4】（2021·陕西高一期末）化简求值：（1）；（2）．．高频考点4.证明三角恒等式的方法【方法点拨】(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．【例4】（2021·全国·高一课时练习）证明：，．【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：.【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：．【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）求证：=.【变式4-4】（2021·全国·高一课时练习）求证：.高频考点5.分类讨论思想在三角函数化简中的应用【方法点拨】1.本题型化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．【例5】（2021·全国·高二课时练习）若，求的值.【变式5-1】（2021·全国·高一课时练习）已知是方程的根．求的值．【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）化简：.【变式5-3】已知，f（α）．（1）化简f（α）；（2）若，求tanα．【变式5-4】已知α是第四象限角，f（α）．（1）化简f（α）．（2）若cos，求f（α）的值．高频考点6.角的拼凑【方法点拨】利用角的拼凑，找到两角之间的差值（必为的整数倍），再利用诱导公式诱导即可。【例6】（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知，则()A． B． C． D．（2）（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当时，若，则的值为（）A． B． C． D．【变式6-1】（2021·江西上饶·高一月考（理））若，则___________.【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）已知，那么（）A． B． C． D．【变式6-3】已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α≤eq\f(3π,2)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))的值．【变式6-4】（2021·全国高一课时练习）已知，求的值．【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．的值是（）A． B． C． D．2．下列等式中，成立的是（）A． B．C． D．3．已知，则（）A．B．C．D．4．若，，则的值为（）A．或 B． C． D．5．（2021·北京市第四十三中学）已知，则（）A．2 B．-2 C．0 D．6．已知，则（）A．1 B． C． D．7．已知为第一象限角，，则（）A． B． C． D．8．已知，则（）A． B． C． D．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（2021·建平县实验中学高一期末）（多选）已知，下列结论正确的是（）A．B．C．D．10．（2021·重庆市杨家坪中学高一月考）已知，则下列式子恒成立的是（）A． B．C． D．11．下列结论正确的有（）A． B．C． D．12．给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A．成立的条件是角是锐角B．若（），则C．若（），则D．若，则三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角终边与单位圆的交点为，则________；________．14．（2021·全国高一课时练习）已知，且，则________．15．（2021·河南新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且则的值为______.16．若等式对于任意恒成立，则__________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．化简：（1）；（2）cos20°+cos160°+sin18