2026湖北部分重点中学高三第二次联考数学试卷及答案

2026届高三上学期期末考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直

接答在答题卡上对应的答题区域内。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若复数z满足z=i+i²,则的虚部为()

A.iB.1C.-1D.-i

2.已知向量a=(,1),b=(1,2),若a.b=0,则|a=()

A.√5B.2C.5D.√3

3.假设某次考试的成绩服从正态分布N(100,15²).如果按16%,34%,34%,16%的比例将考试成

绩从高到低分为A,B,C,D四个等级，则A等级的分数线约为()

【若X～N(μ,σ²),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95】

A.85B.130C.115D.145

4.已知集合A={|x-a≤0}B={|y=log₂(-x²+2)},且CAUB=R,则a的取值范围是()

A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-∞,1)D.(1,+∞)

5.等比数列{a}中，S,是其前n项和，若S₂=1,S₄=3,则a₅+a₆=()

A.4B.5C.7D.2+√2或2-√2

6.已知a<b<c(a,b,c∈R)且a+b+2c=0,则()

A.a+c有可能大于零B.a²+b²<2c²

C.3a和c,使得a=3cD.

高三数学第1页共4页

7.已知F,F₂分别是双曲线的左、焦点，过F₁和F₂

作倾斜角都为的射线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两

点(如图所示),则四边形F₁ABF₂的面积是()

8.已知函数,且函数g(x)=[f(x)}+af(x)-8恰有6个零点，则实数a的取值范围

为()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知n个互不相等的正数x₁,x₂,…,x,(原始数据),其平均数为X₁,方差为s²,将原始数据

中加入X₁后，所得新数据的平均数为X₂,方差为s2,则有()

A.X₁<X₂B.s²=sS2C.X₁=X₂D.s²<s²

10.在棱长为2的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，M是线段BB₁上的点，则()

A.过点M与直线A₁D₁,CD都垂直的直线有且只有一条

B.过点M与直线AD,CC₁都相交的直线有且只有一条

C.若M为BB₁的中点，则三棱锥A₁-AMC₁的外接球的球心0

在正方体的体对角线AC₁上

D.若M为BB₁的中点，P是已知正方体表面上的动点且有

∠AMP=90°,则动点P的轨迹长度是√5+4

11.过抛物线y²=4x的焦点F的直线与抛物线交于A(x,y₁),B(x₂,y₂),其中点A在第一象限，

点C是抛物线上且处于第四象限的点，△ABC的重心G恰好在x轴上，且重心G在焦点F的

右边，AC与x轴交于D点，则()

A.y·y₂=-4

B.∠ACB不一定是锐角

C.△AFG和△CDG的面积分别记为S₁,S₂,则的取值范围是

D.若CF平分∠ACB,则CF=√13-1

高三数学第2页共4页

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知tanα=3,则

13.随机将1,2,3,4,5,6这6个数分成A,B两组，其中A组2个数，B组4个数，A组最

小的数为a,B组最小的数为b,记X=|a-b|,则E(X)=

14.数列{an}的各项都是正整数，且对任意的2≤k≤n-1,ak+1+ak-1>2a恒成立，则称数列{an}

为“U-数列”.对有20项的所有可能的“U-数列”:a₁,a₂,…,a₂0,记M=max{a,a₂,…,a20},

则M的最小值是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)

锐角△ABC中，满足cos2B=sinB-cosB,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.

(1)若a=4√2,b=2√5,求边c的长；

(2)求的取值范围.

16.(本题满分15分)

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,M,N分别是PB,PC的

中点.

(1)判断命题“若平面AMN∩平面ABC=1,则11平面PAC”的真假，并说明理由；

(2)若平面AMN⊥平面PBC,求平面AMN与平面ABC所成的角的正弦值.

高三数学第3页共4页

3

17.(本题满分15分)

一批产品共10件，其中有两件不合格品，其他都是合格品.将这批产品随机分装到两只箱

中，每箱5件，收货方不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：

如果抽检的第一件产品不合格，则拒收整批产品：如果抽检的第一件产品合格，则从另一箱中再

抽检一件，若合格，则接收整批产品，若不合格，则拒收整批产品.

(1)求两件不合格品包装在同一箱中的概率；

(2)求这批产品被拒收的概率.

18.(本题满分17分)

已知函

(1)证明：x>0时，e*>x²;

(2)若函数f(x)有且只有三个零点x₁,x₂,x(x₁<x₂<x₃),

①求k的取值范围；

②证明：x₁+x₃<0.

19.(本题满分17分)

已知椭圆0是坐标原点，A,B,C,P是椭圆C上的点，四边形OAPB是平行四

边形.

(1)求平行四边形OAPB的中心M的轨迹方程：

(2)记平行四边形OAPB的中心的轨迹为曲线F,证明：平行四边形OAPB的对角线AB

与曲线F相切；

(3)若三角形的两条边AB和AC与(2)中曲线F都相切，试证明：第三条边CB与曲线F

也相切，并探究△ABC的面积是否为定值.若是，求出其面积：若不是，请说明理由.

高三数学第4页共4页

2026届高三上学期期末考试

数学参考答案

题号1234567891011

答案CACBADBDCDADACD

12.213.514.46

15.(1)由cos2B=sinB-cosB=cos²B-sin²B=(cosB+sinB)·(cosB-sinB)

∴(sinB-cosB)·(sinB+cosB+1)=0

∵4ABC为锐角三角形，∴sinB+cosB+1>0

∴sinB-cosB=0,tanB=1

……4分

由余弦定理b²=a²+c²-2accosB,得20=32+c²-8c,

即c²-8c+12=0,解得c=2或c=6

……………………6分

但c=2时，,与已知条件不符，

而c=6时，cosA>0,cosC>0,符合条件，

∴c=67分

(2)由正弦定理，得

………13分

16.(1)该命题是假命题，证明如下：

证法一∵MN是△PBC的中位线，∴MN//BC,

又BC4平面AMN,MNc平面AMN,

∴BC//平面AMN,

∵BCc平面ABC,且平面AMN∩平面ABC=1

∴I//BC…………………4分

∴与AC所成的角为锐角∠BCA,即1与AC不垂直

∴由直线与平面垂直的定义知直线1与平面PAC不垂直.………………7分

证法二：首先证明1//BC(同证法一)

∵BCIAB,∴l⊥AB,

如果11平面PAC,ACc平面PAC

∴I⊥AC,注意到1,AB,AC在同一平面内，

∴AB//AC,这与AB∩AC=A矛盾

∴l1平面PAC不成立.

(2)∵PA1平面ABC,BCc平面ABC,∴BC⊥PA,又BC⊥AB,PA∩AB=A

∴BC1平面PAB,AMc平面PAB,∴AM⊥BC,BC⊥PB,又BC//MN//1

∴AM⊥1,又AB⊥BC,BCI/1∴AB⊥l,∴∠MAB是所求二面角的平面角…10分

∵平面AMN⊥平面PBC,平面AMN⊥平面PBC=MN,MN//BC,BP⊥MN

∴PB⊥平面AMN,∴PB⊥AM,∵AM是△PAB的PB边的中线，∴PA=AB

,故两平面所成角的正弦值是.………15分

解法二：以AP为Z轴，AC为Y轴，过A作AC的垂线为X轴建立空间直角

坐标系，设PA的长度为2,

∵平面AMN1平面PBC,平面AMN1平面PBC=MN,MN//BC,BP⊥MN

∴PBI平面AMN,∴PB⊥AM,∵AM是△PAB的PB边的中线，∴PA=AB

∴P点坐标(0,0,2),A(0,0,0),B(√3,1,0),PB=(√3,1,-2)

∵PB⊥平面AMN,.平面AMN的一个法向量是n₁=(√3,1,-2)

∵平面ABC的一个法向量是n²=(0,0,1)

∴平面AMN与平面ABC所成角的余弦值为

∴平面AMN与平面ABC所成角的正弦值为

17.(1)10件产品分给甲箱5件、乙箱5件的方法有C·C种，其中两件不合格品都在甲箱中的分法有

C³·CS种，两件不合格品都在乙箱中的分法也有C³·C种，所以两件不合格品在同一箱中的概率

…………………………6分

方法二：把8件合格品看成红球，2件不合格品看成黑球，将10个球排成一排，左边的5个球为一侧，右

边的5个球为另一侧。第一个黑球放入(不是左侧就是右侧),第二只黑球可以放在其它9个位置上，两

只黑球在同一侧即第二只黑球放在第一只黑球的那一侧的其它4个位置上，所以两件不合格品在同一箱中

的概率………6分

(2)两件不合格品在同一箱中的事件为A,则不合格品分装在不同箱中的事件为A,这批产品被拒收的

事件为B,则P(B)=P(B|A)·P(4)+P(B|A)·P(A),

P(B|A)表示两件不合格品放在同一箱的条件下经过抽检后被拒收的概率，在第一次抽检时有的概率从两

2

件次品在一起的箱中抽检，也有的概率从没有次品的箱中抽检

同理1

…………15分

18.(1)x>0,eˣ>x²等价证明：x>21nx

构造g(x)=x-2Inx,x∈(0,+),

∴x∈(0,2),g'(x)<0,g(x)在(0,2)上单调递减；x∈(2,+∞),g'(x)>0,g(x)在(0,2)上单调递增

∴g(x)在x=2时取最小值=2-2In2>0

∴x>21nx成立，e>x²也成立.

………………………4分

(2)①f'(x)=eˣ-x-k,f"(x)=eˣ-1,x∈(-∞,0),f"(x)<0;x∈(0,+∞),f"(x)>0

∴f'(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

∴f'(x)在x=0处取得最小值=1-k

若1-k≥0,即k≤1时，f'(x)≥0,函数f(x)在R上单调，不可能有三个零点，舍去；

当1-k<0,即k>1时，f'(-k)=e⁻>0,f'(0)<0,f'(2k)=e²k-3k>(2k)²-3k>0

∴3m<0,f'(m)=0,3n>0.f'(n)=0

∴f(x)在(-∞,m)上单调递增，在区间(m,0)和(0,n)上单调递减，(n,+∞)上单调递增

∵f(0)=0∴f(m)>0,f(n)<0

∵f(-2k)=e-²k-1<0,且f(m)>0

∴由零点存在性定理和函数f(x)的单调性，f(x)在(-∞,m)上存在唯一一个零点x,

x>0时，由(1)的结论，

当x>k+√k²+2时，都有f(x)>0,且f(n)<0

(说明：此处如果只模糊叙述x→+∞,f(x)→+∞,酌情扣分)

∴由零点存在性定理和函数f(x)的单调性，f(x)在(n,+∞)上存在唯一一个零点x3,

∴k>1时，加上x₂=0,f(x)有且只有三个零点.

∴k的取值范围是k>1.

……………………11分

3

②由①知k>1时，x₁<0,x₃>0,函数f(x)在(0,x₃)上都取负值，

f(x)在(x₃,+∞)上单调递增且都取正值，要证明x₁+x₃<0,只需证明

f(-x₁)>0即可.

∴f(-x₁)=e⁻xi+eˣ-x²-2,x₁∈(-∞0,0)

令φ(x)=eˣ+e⁻×-x²-2,x∈(-∞0,0),φ'(x)=e×-e⁻×-2x

φ”(x)=eˣ+e⁻×-2≥0,∴φ'(x)在(-∞,+∞)单调递增，

∵φ'(0)=0,∴x∈(-∞,0)时φ'(x)<0,

∴φ(x)在(-∞,0)单调递减，

∴φ(x)>φ(0)=0,∴f(-x₁)>0成立

∴x₁+x₃<0成立……………17分

1