2026年数学奥林匹克竞赛选拔试题集

2026年数学奥林匹克竞赛选拔试题集一、选择题（每题3分，共15题）1.已知复数z满足|z|＝2，且z的实部与虚部相等，则z等于（）。A.2B.1＋iC.2iD.-22.函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上的最大值是（）。A.8B.6C.0D.-83.若实数x满足x²＋4x＋3≥0，则x的取值范围是（）。A.x≤－3或x≥－1B.x∈RC.x≤－1或x≥3D.x∈[－∞，－3]∪[－1，＋∞]4.在△ABC中，若a＝3，b＝4，c＝5，则∠C的大小为（）。A.30°B.45°C.60°D.90°5.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＝1，a_n＝2a_{n-1}（n≥2），则S₅等于（）。A.31B.63C.127D.2556.若方程x²－mx＋1＝0的两根均为正数，则实数m的取值范围是（）。A.m≥2B.m∈(0,2)C.m≤－2D.m∈(2,＋∞)7.在直角坐标系中，直线y＝kx＋b与圆x²＋y²＝1相切，则k²＋b²的取值范围是（）。A.[1,＋∞)B.(0,1]C.[1,2]D.(1,＋∞)8.已知f(x)＝sin(x＋α)，若f(π/4)＝√2/2，则α的值可能是（）。A.0B.π/4C.π/2D.3π/49.在五边形ABCDE中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝108°，则五边形ABCDE的对角线数量为（）。A.5B.6C.7D.810.若实数x满足x²－2xcosθ＋1＝0有实根，则θ的取值范围是（）。A.θ∈[0,π]B.θ∈(0,π/2)∪(π/2,π)C.θ∈[0,π/2]∪[π/2,π]D.θ∈(0,π)11.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，若PA＝2，AB＝3，BC＝4，则点P到直线BC的距离为（）。A.2√5B.√10C.3√2D.412.若函数f(x)＝x²－2ax＋b在x＝1时取得最小值，则f(2)的值为（）。A.b－1B.b－3C.b＋1D.b＋313.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则△ABC的形状是（）。A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定14.若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝(a_n＋1)/a_n（n≥1），则a₅的值为（）。A.2B.3C.4D.515.在△ABC中，若a²＝b²＋c²－bc，则∠A的大小为（）。A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（每题4分，共10题）1.已知f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为________。（答案：3）2.若x－1是多项式f(x)＝x³－ax²＋bx－6的因式，则a＋b的值为________。（答案：5）3.在等差数列{a_n}中，若a₁＝2，a₅＝10，则a₁₀的值为________。（答案：18）4.若复数z＝1＋i，则z⁴的虚部为________。（答案：0）5.在直角坐标系中，点A(1,2)与点B(3,0)的距离为________。（答案：√8）6.若函数f(x)＝x²－4x＋3的图像与x轴交于两点，则这两点之间的距离为________。（答案：4）7.在△ABC中，若∠A＝60°，a＝5，b＝7，则c的取值范围是________。（答案：2＜c＜12）8.若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2n（n≥1），则a₅的值为________。（答案：25）9.在五边形ABCDE中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝108°，则五边形ABCDE的内角和为________。（答案：720°）10.若函数f(x)＝sin(x＋α)在x＝0时的值为1，则α的值可能是________。（答案：2kπ＋π/2，k∈Z）三、解答题（共5题）1.（8分）已知函数f(x)＝x³－3x²＋2x，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值与最小值。解析：首先求f(x)的导数：f'(x)＝3x²－6x＋2＝3(x－1)²－1。令f'(x)＝0，得x＝1。计算端点值：f(－1)＝－4，f(1)＝0，f(3)＝6。故最大值为6，最小值为－4。2.（10分）在△ABC中，若a＝3，b＝4，c＝5，求cosA的值。解析：根据余弦定理：cosA＝(b²＋c²－a²)/(2bc)＝(16＋25－9)/(2×4×5)＝6/40＝3/20。3.（12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＝1，a_n＝a_{n-1}＋2n（n≥2），求S₅的值。解析：由递推关系得：a₂＝3，a₃＝6，a₄＝10，a₅＝15。S₅＝1＋3＋6＋10＋15＝35。4.（10分）在直角坐标系中，直线y＝kx＋b与圆x²＋y²＝1相切，求k²＋b²的取值范围。解析：圆心(0,0)到直线的距离等于半径1，即|b|/√(k²＋1)＝1，得b²＝k²＋1。故k²＋b²＝k²＋(k²＋1)＝2k²＋1≥1。5.（12分）在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，求cosA的值。解析：根据正弦定理：a∶b∶c＝3∶4∶5，设a