提公因式法因式分解教案

提公因式法因式分解教案一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解公因式的概念，准确找出多项式各项的公因式，并熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生经历公因式的探索过程，培养学生的分析能力和抽象概括能力，体会从具体到抽象的思维方法。3.情感态度与价值观：在解决问题的过程中，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的思维习惯和合作探究精神，体会数学的逻辑性和实用性。二、教学重点与难点1.教学重点：公因式的概念及准确找出多项式各项的公因式；提公因式法因式分解的步骤和方法。2.教学难点：准确找出多项式各项的公因式（尤其是系数为负数及含有多项式因式的情况）；提公因式后，括号内各项的确定及符号处理。三、教学准备教材、多媒体课件、练习本、直尺四、教学过程（一）复习旧知，导入新课师：同学们，我们之前学习了整式的乘法，比如单项式乘以多项式。大家还记得单项式乘以多项式的法则吗？（引导学生回忆：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。）师：例如，我们有`m(a+b+c)=ma+mb+mc`。这是一个熟悉的乘法运算。现在，请大家思考一个相反的问题：如果我们知道了结果`ma+mb+mc`，能不能将它还原成`m(a+b+c)`这种乘积的形式呢？（稍作停顿，给学生思考时间）师：这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，就是我们今天要开始学习的新知识——因式分解。而像刚才这样，把多项式`ma+mb+mc`中各项都含有的公因式`m`提出来，从而将多项式分解因式的方法，就是我们这节课的重点——提公因式法。（板书课题：提公因式法因式分解）（二）新知探究，理解概念1.公因式的概念师：请同学们观察多项式`ma+mb+mc`，它的各项`ma`、`mb`、`mc`有什么共同的特点呢？（引导学生发现各项都含有字母`m`）师：像这样，多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。（板书：公因式——多项式各项都含有的相同因式）师：再来看几个例子，找出下列各多项式中各项的公因式：*（1）`3x+6y`（学生可能回答：3）*（2）`ab-2ac`（学生可能回答：a）*（3）`a²b-ab²+abc`（学生思考后回答：ab）师：很好，大家对简单的公因式已经有了初步的认识。那么，我们究竟如何准确、快速地找出一个多项式各项的公因式呢？2.如何确定公因式师：我们可以从以下几个方面来考虑：*系数：公因式的系数应取各项系数的最大公约数。*字母：公因式中的字母应取各项都含有的相同字母。*指数：相同字母的指数，取各项中最小的一个，即最低次幂。（教师结合上述例子，逐一解释如何确定系数、字母和指数，帮助学生理解。）师：例如，对于多项式`8a³b²-12ab³c`，各项系数8和12的最大公约数是4；各项都含有的相同字母是`a`和`b`；`a`的最低次幂是1次，`b`的最低次幂是2次。所以，这个多项式的公因式是`4ab²`。大家明白了吗？（可再举1-2个不同类型的例子，如含有数字因数、多个相同字母、指数不同的情况，让学生尝试找出公因式，并进行点评。）（三）例题示范，掌握方法师：找到了公因式，接下来就是如何“提”公因式了。提公因式法，就是把多项式的各项都除以它们的公因式，将所得的商写在括号内，而公因式写在括号外。用公式表示就是：`pa+pb+pc=p(a+b+c)`，其中`p`就是公因式。例1：分解因式`8a³b²+12ab³c`。（师生共同分析：公因式是`4ab²`）解：`8a³b²+12ab³c``=4ab²·2a²+4ab²·3bc`（将每一项表示成公因式与另一个因式的乘积）`=4ab²(2a²+3bc)`（提取公因式`4ab²`）师：大家看，提取公因式后，括号内的各项`2a²`和`3bc`是由原多项式的各项分别除以公因式`4ab²`得到的。这一步要仔细，确保计算准确。例2：分解因式`-2m³+8m²-12m`。师：这个多项式的首项系数是负数，我们通常会将负号也一并提出，使括号内的第一项系数为正数。解：`-2m³+8m²-12m``=-(2m³-8m²+12m)`（先将多项式各项提出一个“-”号，注意括号内各项要变号）`=-[2m·m²-2m·4m+2m·6]`（再找出括号内多项式的公因式`2m`）`=-2m(m²-4m+6)`（提取公因式`2m`）师：大家注意，当首项系数为负时，提取公因式后，括号内各项的符号都要与原多项式各项的符号相反。这是一个非常重要的细节，也是同学们容易出错的地方。例3：分解因式`3a(x-y)-2b(x-y)`。师：观察这个多项式，各项都含有什么？（引导学生发现`(x-y)`是公因式）解：`3a(x-y)-2b(x-y)``=(x-y)(3a-2b)`（直接提取公因式`(x-y)`）师：很好！公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式。（四）巩固练习，深化理解师：下面我们来做几道练习题，检验一下大家的掌握情况。请同学们在练习本上完成。1.分解因式：*(1)`15x³y²+5x²y`*(2)`-4a³b²-6ab³`*(3)`6m(p-3)+5n(p-3)`*(4)`a(m-n)+b(n-m)`（提示：`n-m=-(m-n)`）（学生独立完成，教师巡视指导，对共性问题进行集中讲解。特别是第(4)题，引导学生观察`(m-n)`与`(n-m)`的关系，进行适当变形后再提取公因式。）（五）课堂小结，回顾反思师：同学们，这节课我们学习了提公因式法因式分解。谁能谈谈你有哪些收获？或者在学习过程中，你认为有哪些地方需要特别注意？（引导学生总结：*因式分解与整式乘法是互逆过程。*提公因式法的关键是准确找出公因式。*找公因式的方法：一看系数（最大公约数），二看字母（相同字母），三看指数（最低次幂）。*提取公因式时，要将公因式提到括号外，括号内为各项除以公因式的商。*若多项式首项系数为负，通常先提出负号，括号内各项要变号。*公因式可以是单项式，也可以是多项式。）（六）布置作业，拓展延伸1.必做题：教材对应练习题中基础部分。2.选做题：*分解因式：`x(a-b)+y(b-a)-3(b-a)`*已知`x+y=5`，`xy=3`，求代数式`x²y+xy²`的值。（提示：先分解因式，再代入求值）五、板书设计提公因式法因式分解1.因式分解：把多项式化成几个整式积的形式。2.公因式：多项式各项都含有的相同因式。*找公因式：*系数：最大公约数*字母：相同字母*指数：最低次幂3.提公因式法：`pa+pb+pc=p(a+b+c)`*步骤：找公因式→提公因式*注意：*首项为负，提负号，括号内各项变号。*公因式可以是多项式。4.例题：*例1：`8a³b²+12ab³c=4ab²(2a²+3bc)`*例2：`-2m³+8m²-12m=-2m(m²-4m+6)`*例3：`3a(x-y)-2b(x-y)=(x-y)(3a-2b)`5.练习区（部分板书）六、教学反思（