高三数学理科期末试题详解

高三数学理科期末试题详解一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A={x|x²-3x-4<0}，B={x|x>1}，则A∩B=详解：首先，我们需要求解集合A。解不等式x²-3x-4<0。可以将其因式分解为(x-4)(x+1)<0。方程(x-4)(x+1)=0的根为x=-1和x=4。根据二次函数的图像开口向上，可知不等式的解集为-1<x<4，即A=(-1,4)。集合B为x>1，即B=(1,+∞)。那么A与B的交集，就是同时满足-1<x<4和x>1的部分，即(1,4)。所以本题答案为(1,4)对应的选项。（2）若复数z满足(1+i)z=2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于详解：要解决这个问题，我们先求出复数z。已知(1+i)z=2i，那么z=2i/(1+i)。为了将分母实数化，我们给分子分母同时乘以(1-i)，得到z=[2i(1-i)]/[(1+i)(1-i)]=[2i-2i²]/(1-i²)。因为i²=-1，所以分母变为1-(-1)=2，分子变为2i-2(-1)=2i+2=2+2i。因此，z=(2+2i)/2=1+i。z的共轭复数为1-i，在复平面内对应的点为(1,-1)，位于第四象限。所以本题答案为第四象限对应的选项。（3）函数f(x)=√(log₂x-1)+1/(x-3)的定义域为详解：求函数的定义域，需要考虑使函数各部分有意义的条件。对于根式√(log₂x-1)，被开方数必须非负，即log₂x-1≥0，也就是log₂x≥1，根据对数函数的单调性，可得x≥2²=4？不，等等，log₂x≥1，即log₂x≥log₂2，所以x≥2。然后，对于分式1/(x-3)，分母不能为零，即x-3≠0，所以x≠3。综合这两个条件，x需要满足x≥2且x≠3。所以函数的定义域为[2,3)∪(3,+∞)。所以本题答案为对应此区间的选项。（4）将函数y=sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像对应的解析式为详解：函数图像的变换是三角函数中的常见考点。首先，将y=sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度。根据“左加右减”的原则，对于x的变化是x→x-π/6，所以得到y=sin[2(x-π/6)+π/3]=sin[2x-π/3+π/3]=sin2x。接下来，将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），这意味着x的系数变为原来的1/2，所以得到y=sin(2*(x/2))=sinx。因此，最终的函数解析式为y=sinx。所以本题答案为对应此解析式的选项。（5）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=1，其前n项和为Sₙ，若Sₙ=n²，则aₙ=详解：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式。已知数列{aₙ}是等差数列，首项a₁=1，前n项和Sₙ=n²。我们有两种方法可以求通项aₙ。方法一：当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n²-(n-1)²=n²-(n²-2n+1)=2n-1。当n=1时，a₁=2*1-1=1，与已知条件相符。所以aₙ=2n-1。方法二：等差数列的前n项和公式为Sₙ=na₁+n(n-1)d/2，其中d为公差。代入已知条件，n²=n*1+n(n-1)d/2。化简得n²=n+[n(n-1)d]/2，两边同时除以n（n≠0），得n=1+(n-1)d/2。解出d：(n-1)d/2=n-1，当n≠1时，d/2=1，所以d=2。因此，aₙ=a₁+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。所以本题答案为aₙ=2n-1对应的选项。（6）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是详解：这类空间线面位置关系的判断题，需要我们熟练掌握相关的判定定理和性质定理，并能结合模型进行判断。A.若m//α，n//α，则m//n。这个命题不正确。例如，在正方体中，底面的两条相交棱都平行于上底面，但这两条棱是相交的，并非平行。B.若m//α，m//β，则α//β。这个命题也不正确。例如，一条侧棱可以同时平行于正方体的前后两个底面，但这两个底面是平行的，但如果这条直线平行于两个相交平面的交线，那么它也平行于这两个平面，但这两个平面是相交的。C.若m⊥α，n⊥α，则m//n。这个命题是正确的。垂直于同一个平面的两条直线平行，这是线面垂直的一个重要性质定理。D.若m⊥α，m⊥n，则n//α。这个命题不正确。n有可能在平面α内，此时也满足m⊥α且m⊥n。所以本题正确答案为选项C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（7）已知向量a=(1,2)，b=(x,-1)，且a⊥(a-b)，则x=______。详解：首先，我们需要求出向量a-b。a=(1,2)，b=(x,-1)，所以a-b=(1-x,2-(-1))=(1-x,3)。因为a⊥(a-b)，所以它们的数量积为零，即a·(a-b)=0。计算数量积：1*(1-x)+2*3=0，即1-x+6=0，7-x=0，解得x=7。所以本题答案为7。（8）若x，y满足约束条件x+y≥1，x-y≤1，y≤2，则z=2x+y的最大值为______。详解：这是一个线性规划问题。我们首先需要根据约束条件画出可行域。约束条件有三个：x+y≥1（这是一条直线，取其右上方区域），x-y≤1（即y≥x-1，取其右上方区域），y≤2（取其下方区域）。画出这三条直线，它们围成的可行域是一个多边形区域。接下来，我们要找到目标函数z=2x+y在这个可行域内的最大值。对于线性目标函数，其最值通常在可行域的顶点处取得。我们需要求出可行域的各个顶点坐标。联立x+y=1和y=x-1，解得x=1，y=0。联立y=x-1和y=2，解得x=3，y=2。联立x+y=1和y=2，此时x=-1，y=2，但需要判断是否满足x-y≤1：-1-2=-3≤1，满足。所以三个顶点分别为(1,0)，(3,2)，(-1,2)。将这三个点代入z=2x+y：在(1,0)处，z=2*1+0=2。在(3,2)处，z=2*3+2=8。在(-1,2)处，z=2*(-1)+2=0。比较可得最大值为8。所以本题答案为8。（9）从2名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区服务，则至少有1名男生的概率为______。详解：这是一个古典概型问题。首先，计算总的基本事件数。从5名学生（2男3女）中随机抽取2人，共有C(5,2)=10种不同的抽法。“至少有1名男生”的对立事件是“没有男生，即全是女生”。我们可以先计算对立事件的概率，再用1减去它得到所求概率。全是女生的抽法有C(3,2)=3种。所以全是女生的概率为3/10。因此，至少有1名男生的概率为1-3/10=7/10。所以本题答案为7/10。（10）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x，则当x<0时，f(x)=______；不等式f(x)>0的解集为______。详解：第一空，求x<0时f(x)的解析式。因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。当x<0时，-x>0，此时f(-x)适用已知的解析式，即f(-x)=(-x)²-2*(-x)=x²+2x。所以f(x)=-f(-x)=-(x²+2x)=-x²-2x。第二空，解不等式f(x)>0。需要分情况讨论：当x>0时，f(x)=x²-2x>0，即x(x-2)>0，解得x>2（因为x>0）。当x=0时，f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不满足f(x)>0。当x<0时，f(x)=-x²-2x>0，即x²+2x<0，x(x+2)<0，解得-2<x<0（因为x<0）。综上，不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞)。所以本题第一空答案为-x²-2x，第二空答案为(-2,0)∪(2,+∞)。三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（11）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=3/5，b=2，c=3。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinB的值。详解：（Ⅰ）要求边a的值，已知两边b、c及其夹角A的余弦值，这显然可以使用余弦定理。余弦定理公式为a²=b²+c²-2bccosA。代入已知数据：b=2，c=3，cosA=3/5。所以a²=2²+3²-2*2*3*(3/5)=4+9-12*(3/5)=13-36/5=(65-36)/5=29/5。因此，a=√(29/5)=√145/5。（注意：这里计算要准确，13是65/5，65/5-36/5=29/5，没错。）（Ⅱ）要求sinB的值，我们可以使用正弦定理。首先，我们需要知道sinA的值，因为cosA=3/5，且A是三角形内角，所以sinA>0，sinA=√(1-cos²A)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5。由正弦定理a/sinA=b/sinB，可得sinB=(bsinA)/a。我们已经求出a=√145/5，b=2，sinA=4/5。所以sinB=(2*4/5)/(√145/5)=(8/5)*(5/√145)=8/√145=8√145/145。（分母有理化）因此，（Ⅰ）a=√145/5；（Ⅱ）sinB=8√145/145。（12）（本小题满分12分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2aₙ-1（n∈N*）。（Ⅰ）求数列{aₙ}的通项公式；（Ⅱ）设bₙ=naₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。详解：（Ⅰ）已知Sₙ=2aₙ-1，这是一个已知前n项和求通项的问题。我们通常的方法是：当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=(2aₙ-1)-(2aₙ₋₁-1)=2aₙ-2aₙ₋₁，移项可得aₙ=2aₙ₋₁。所以数列{aₙ}是以a₁=1为首项，公比q=2的等比数列。因此，其通项公式为aₙ=a₁qⁿ⁻¹=1*2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹。（Ⅱ）由（Ⅰ）知aₙ=2ⁿ⁻¹，所以bₙ=naₙ=n*2ⁿ⁻¹。要求数列{bₙ}的前n项和Tₙ，即Tₙ=1*2⁰+2*2¹+3*2²+...+n*2ⁿ⁻¹。这种形式的数列求和，通常使用“错位相减法”。写出Tₙ的表