河南省商丘市商师联盟2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

高二数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C. D.2.椭圆C：的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.已知数列满足，，则的值为（）A. B. C.2 D.54.已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.45.若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（）A. B. C. D.7.已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（）A. B.C. D.8.已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（）A.1个 B.2个 C.5个 D.6个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面，一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（）A若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.11.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（）A.C的离心率为B.C的焦点到其渐近线的距离为1C.若，则的面积为2D.若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与直线垂直，则的倾斜角为_____.13.已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________.14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的值；（2）求的极值．16已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.17.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．19.已知函数.（1）求曲线在点处切线的斜率；（2）求函数在上的单调区间；（3）函数，若在上有三个不同的极值点,，，证明：为定值.

高二数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义可得出结果.详解】.故选：D.2.椭圆C：的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】由题知，，所以，所以C的焦点坐标为.故选：B.3.已知数列满足，，则的值为（）A. B. C.2 D.5【答案】A【解析】【分析】由数列的递推关系得到数列是周期为3的周期数列，即可求解．【详解】由，，则，，所以，所以数列是周期为3的周期数列，则.故选：A.4.已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】判断两圆的位置关系即可求解.【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距，所以两圆相外切，所以这两圆的公切线的条数为3条.故选：C.5.若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可.【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立；必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立，故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.6.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间中四点共面的向量定理可求得的值.【详解】由，得，所以，动点在所在平面内运动，可知四点共面，由空间中四点共面的向量定理可知，，解得，故选：D.7.已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数结合已知确定单调性，进而比较大小即得.【详解】令函数，则，函数在上单调递增，则，即，所以故选：B8.已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（）A.1个 B.2个 C.5个 D.6个【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论.【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,，所以可设（），，所以时，，又满足上式，所以（），时，，又满足上式，所以,，则，因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63，又，则，解得；，解得，所以，15，即满足的正整数n有2个.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断.【详解】对于A，由，得，则，即，A正确；对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确；对于C，由，得，则，C错误；对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确.故选：ABD10.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可．【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确；对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确；对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确；对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误.故选：ABC.11.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（）A.C的离心率为B.C的焦点到其渐近线的距离为1C.若，则的面积为2D.若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则【答案】ABD【解析】【分析】根据方程和焦距可得.对于A：根据离心率的定义运算求解；对于B：根据点到直线的距离公式运算求解；对于C：根据双曲线的定义结合勾股定理可得，即可得面积；对于D：求点M的坐标，根据双曲线的定义结合图形性质分析求解.【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上，因为，即，则，可得点，，渐近线为，即.对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确；对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确；对于选项C：因，若，则，可得，即，可得，所以的面积为，故C错误；对于选项D：可知渐近线，直线，联立方程，解得，即，因为，即，则，当且仅当点Q在线段上时，等号成立，所以，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与直线垂直，则的倾斜角为_____.【答案】【解析】【分析】利用已知直线的斜率，再利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.【详解】直线，即，该直线的斜率为，由直线与直线垂直，得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故答案为：13.已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离.【详解】记的焦点为，则，由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离，故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和其最小值为点到直线的距离.故答案为：.14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值.【详解】曲线，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，作出曲线如图：到直线的距离，则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，只需考虑，时的情况；当，时，曲线C的方程为，曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，而到直线的距离为，由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，故的最小值为.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的值；（2）求的极值．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导可得，然后令代入计算，即可得到结果；（2）求导可得，然后令，即可得到极值点，代入计算，即可得到结果.小问1详解】的定义域为，∴，令得，解得．【小问2详解】由（1）可知，，令，解得（舍去）或，当变化时，变化情况如下表所示：3-0+单调递减单调递增因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值．16.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由递推关系进行求解即可；（2）由分组求和进行求解．【小问1详解】因为，，当时，，所以，当时，①，②，①-②得，，所以，也满足.综上，.【小问2详解】由题可知，所以.17.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角公式计算即可；（2）利用向量法求平面与平面的夹角余弦即可.【小问1详解】以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，所以，则，，设平面的法向量，则，令，则，设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】设平面的法向量，则，令，则，，，，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程；（2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可.【小问1详解】设的半焦距为，由题意可知：，且，即，因为，即，解得，所以椭圆的方程为．【小问2详解】设，由题意可知，则，因为，则，可得，又因为在椭圆