山东省临沂市2025-2026学年高二上学期学科素养水平监测数学试题（试卷+解析）

2024级普通高中学科素养水平监测数学2026.2注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点，，则的倾斜角为（）A. B. C. D.2.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.3.在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（）A. B. C. D.4.已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.5.已知，椭圆与双曲线离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.6.甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（）A. B. C. D.7.已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上有名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数，则下列结论正确的有（）A.的单调递减区间为B.是的极小值点C.有3个零点D.当时，方程恰有三个实数根10.在长方体中，，，点，分别为，的中点，则（）A.平面B.平面C.点到平面距离为D.直线与平面所成角的正切值为11.已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（）A.线段长度的最小值为3B.若，则C.若点的坐标为，则直线，的斜率之和为0D.上一动点到直线距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线的方程为______．13.中，内角，，对边分别为，，，若，则______.14.已知数列满足，定义使为整数的叫做“完美数”，则区间内所有“完美数”的和______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图像经过点.（1）求；（2）求在区间上的最大值与最小值.16.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆标准方程；（2）过点的直线与圆交于，两点.若，求的方程.17.如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且.（1）若，分别为，的中点，证明：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.18.已知数列的首项，前项和为，数列是公差为的等差数列；等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.19.已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）.（1）求的方程；（2）为双曲线的下顶点，若以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；（3）若、在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围.2024级普通高中学科素养水平监测数学2026.2注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点，，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可.【详解】因为直线经过点，，所以的斜率为，又直线倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为.故选：D2.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.【详解】因为与均在上单调递增，所以在上单调递增，又，，即，所以函数的零点所在区间是.故选：B3.在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值.【详解】如下图所示：因为为的中点，所以，由题意可知，所以，在三棱锥中，、、不共面，且，所以，，故.故选：A.4.已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的概念求解即可.【详解】对函数求导得，故该质点在时的瞬时速度为.故选：C.5.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的离心率公式结合可得出关于的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】设椭圆、双曲线的半焦距分别为、，由题意可知，椭圆、双曲线的焦点都在轴上，所以，，，，由可得，解得，故双曲线的渐近线方程为，即.故选：A.6.甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用独立事件的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果.【详解】记事件甲成功闯关，事件乙成功闯关，事件至少有一人成功闯关，则事件、相互独立，且，，，所以.故选：C.7.已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值.【详解】对于椭圆，，，则，故、，圆标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由椭圆定义可得，所以，当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立，故的最小值为.故选：A.8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上有名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推导出当且时，，再由可得出的值.【详解】因为数列满足：，，所以，，，，，，，，，，，，以此类推可知当且时，，因为，故.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数，则下列结论正确的有（）A.的单调递减区间为B.是的极小值点C.有3个零点D.当时，方程恰有三个实数根【答案】ACD【解析】【分析】利用导数法求出单调性判断A；根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理得到有3个零点判断C；当时，结合图像得到方程恰有三个实数根判断D.【详解】，，对于选项A，的解为，则的单调递减区间为，故选项A正确；对于选项B，由得或，的解为或，则的单调递增区间为，则是的极大值点，故选项B错误；对于选项C，，为的一个零点，时是单调递增函数，故在范围内，有且仅有一个零点；的单调递减区间为，是的极大值点，，是的极小值点，，在范围内，有且仅有一个零点；在范围内，是单调递增函数，，，在范围内，有且仅有一个零点；则有3个零点，故选项C正确；对于选项D，的极小值为，极大值为，，直线与的图像有且只有三个交点，结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确.故选：ACD.10.在长方体中，，，点，分别为，的中点，则（）A.平面B.平面C.点到平面的距离为D.直线与平面所成角的正切值为【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量法逐一分析各个选项即可．【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得，，，，，，，，由中点，得，，对于A，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，所以，又平面，因此平面，故A正确；对于B，，由A选项知平面的法向量，显然与不共线，故不垂直于平面，故B错误；对于C，，，设平面的法向量为，则，令，则，又，所以点到平面的距离，故C错误；对于D，易知平面的法向量为，而，直线与平面所成角满足，又，则，故D正确．故选：AD．11.已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（）A.线段长度的最小值为3B.若，则C.若点的坐标为，则直线，的斜率之和为0D.上一动点到直线的距离的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A，求出焦点的坐标，得到的方程，解出的值，从而得到抛物线的方程，将直线代入抛物线，整理得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出，利用弦长公式求出，利用得到的最小值；对于选项B，求出，利用得到，利用得到的值，代入得解；对于选项C，求出，，计算得解；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，整理得到，利用求出，利用两平行线间的距离公式求出直线与直线的距离，即为上一动点到直线的距离的最小值.【详解】对于选项A，中的时，直线过，直线：过抛物线：（）的焦点，，，，抛物线：，将代入，得到，整理得到，已知直线：与抛物线交于，两点，设，，，，，的最小值为，故选项A错误；对于选项B，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故选项B正确；对于选项C，，，，，同理，，，，故选项C正确；对于选项D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，转化为，将代入得到，整理得到，直线与抛物线相切，，，与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，直线与直线的距离为，上一动点到直线的距离的最小值为，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线的方程为______．【答案】【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】对函数求导得，则，因此，曲线在点处的切线的方程为.故答案为：.13.中，内角，，的对边分别为，，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】利用正弦定理将中的边化角，得到，利用两角和的正弦公式得到，利用三角形内角和为及诱导公式得到，利用正弦定理进行角化边得解.【详解】，，，，，是的内角，，，，，，，.故答案为：.14.已知数列满足，定义使为整数的叫做“完美数”，则区间内所有“完美数”的和______.【答案】【解析】【分析】由求出，计算出，由为整数得到为整数，设这个整数为，则，解得，由，，得到在区间内所有“完美数”有，利用数列的分组求和和等比数列求和公式求解即可得解.【详解】，，，为整数，为整数，设这个整数为，，则，解得，，，，区间内所有“完美数”有，区间内所有“完美数”的和.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图像经过点.（1）求；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）2（2）最大值为，最小值为.【解析】分析】（1）把点代入解析式可求；（2）求导，利用导数分析函数的单调性，进而可求函数的最大值与最小值.【小问1详解】函数的图像过点，，即，，.【小问2详解】由（1）得，，，由，得或，当时，，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，，，，，且，在上的最大值为，最小值为.16.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于，两点.若，求的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用已知建立方程组，求出圆心及半径即得.（2）由给定弦长求出圆心到直线的距离，再按该直线斜率存在与否分类求出方程.【小问1详解】设圆心的坐标为，则，由，得，即，由，解得，即，则圆的半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，圆：的圆心，半径，圆心到直线的距离，①若直线的斜率不存在，即：，此时圆心到直线：的距离，符合题意；②若直线的斜率存在，设直线：，即，圆心到直线的距离，解得，则直线：，即，所以直线的方程为或.17.如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且.（1）若，分别为，的中点，证明：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）或.【解析】【分析】（1）证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求面面角的余弦，再解方程即可求出，得解.【小问1详解】平面，平面，，，，平面，平面，平面，，，为的中点，，平面，平面，平面，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，设，（），，即得，，，，.设为平面的法向量，由，得，令，则，，，设为平面的法向量，由，得，令，则，，由，得，，即，化简得，解得或，即的值为或.18.已知数列的首项，前项和为，数列是公差为的等差数列；等比数列的前项和为，且满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得出数列的通项公式，可得出的表达式，再利用可得出数列的通项公式；当时，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得；（3）由得，令，分析数列单调性，分为奇数、偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.【小问1详解】的首项为，公差为，，.当时，，也适合上式，.当时，，①，②①②：，，即，的公比，令①式中得，即，，.【小问2详解】由（1）得，，③得：，④③－④得：，.【小问3详解】由，得，设，可得：恒成立，为递减数列，当为偶数时，不等式对所有偶数恒成立，需大于等于偶数项中的最大值，又因单调递减，故最大值为，因此；同理，当为奇数时，不等式对所有奇数恒成立，需大于等于奇数项中的最大值，又因单调递减，故最大值为，因此，即，综上，实数的取值范围为.19.已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）.（1）求的方程；（2）为双曲线的下顶点，若以为直径的