高数下册计算题目及答案

高数下册计算题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

高数下册计算题目及答案

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是

A.8

B.6

C.4

D.2

2.极限lim(x→0)(sinx/x)*(1/x^2)的值是

A.1

B.0

C.∞

D.-1

3.函数f(x)=x^2*e^x的导数f'(x)是

A.2x*e^x

B.x^2*e^x

C.(x^2+2x)*e^x

D.(x^2-2x)*e^x

4.不定积分∫(x^2+1)dx的值是

A.x^3/3+x

B.x^3/3+x+C

C.x^2/2+x

D.x^2/2+x+C

5.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是

A.-1

B.0

C.1

D.2

6.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

7.定积分∫(0→1)x^2dx的值是

A.1/3

B.1/2

C.1

D.2

8.函数f(x)=sinx的麦克劳林级数的前三项是

A.x-x^3/6+x^5/120

B.x-x^2/2+x^3/6

C.x-x^3/6+x^5/30

D.x-x^2/2+x^3/6

9.级数∑(n=1→∞)(1/n^2)的敛散性是

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.无法判断

10.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是

A.e-1

B.e/2

C.1

D.e

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.极限lim(x→∞)(3x^2+2x-1/x^2-4x+3)的值是__________。

2.函数f(x)=x^2*lnx的导数f'(x)是__________。

3.不定积分∫(x^3-2x+1)dx的值是__________。

4.曲线y=x^3-3x^2+2在x=0处的曲率是__________。

5.函数f(x)=cosx的n阶导数f^(n)(x)在x=0处的值是__________。

6.定积分∫(1→2)(x^2-x)dx的值是__________。

7.级数∑(n=1→∞)(-1)^n/(2n+1)的前五项之和是__________。

8.函数f(x)=arctanx的导数f'(x)是__________。

9.级数∑(n=1→∞)(1/(n+1)^2)的敛散性是__________。

10.函数f(x)=sinx在区间[0,π/2]上的积分是__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在x=0处可导的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sinx

2.下列函数中，在区间[0,1]上连续的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=lnx

D.f(x)=e^x

3.下列级数中，收敛的是

A.∑(n=1→∞)(1/n)

B.∑(n=1→∞)(1/n^2)

C.∑(n=1→∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1→∞)(1/n^3)

4.下列函数中，在区间[0,1]上可积的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sinx

D.f(x)=|x|

5.下列函数中，在x=0处有极值的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=cosx

D.f(x)=e^x

6.下列级数中，绝对收敛的是

A.∑(n=1→∞)(1/n)

B.∑(n=1→∞)(1/n^2)

C.∑(n=1→∞)(-1)^n/n^2

D.∑(n=1→∞)(-1)^n/n

7.下列函数中，在区间[0,1]上单调递增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=lnx

D.f(x)=e^x

8.下列函数中，在x=0处有拐点的是

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^4

C.f(x)=x^2*lnx

D.f(x)=e^x

9.下列级数中，条件收敛的是

A.∑(n=1→∞)(1/n)

B.∑(n=1→∞)(1/n^2)

C.∑(n=1→∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1→∞)(-1)^n/n^2

10.下列函数中，在区间[0,1]上可导且导数连续的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sinx

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值是1/2。

2.极限lim(x→0)(sinx/x)=1。

3.函数f(x)=e^x在任意区间上的积分都是e^x+C。

4.级数∑(n=1→∞)(1/n)是收敛的。

5.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。

6.定积分∫(0→1)xdx的值是1/2。

7.函数f(x)=sinx的导数是cosx。

8.级数∑(n=1→∞)(-1)^n/n^2是条件收敛的。

9.函数f(x)=x^3在x=0处的曲率是0。

10.函数f(x)=arctanx在x=0处的导数是1。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.请写出函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数f'(x)。

2.请计算不定积分∫(x^2+x)dx。

3.请判断级数∑(n=1→∞)(1/n^3)的敛散性。

4.请写出函数f(x)=sinx的麦克劳林级数的前三项。

5.请计算定积分∫(0→1)x^3dx。

6.请判断函数f(x)=x^2在x=0处是否有极值。

7.请写出函数f(x)=e^x的n阶导数f^(n)(x)。

8.请判断级数∑(n=1→∞)(1/n^2)是绝对收敛还是条件收敛。

9.请写出函数f(x)=cosx的导数f'(x)。

10.请计算曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：f(x)=x^3-3x+2，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-10，f(-1)=5，f(1)=-1，f(2)=0。最大值为6。

2.C

解析：lim(x→0)(sinx/x)=1，lim(x→0)(1/x^2)=∞，所以极限为∞。

3.C

解析：f'(x)=(x^2)'*e^x+x^2*(e^x)'=2x*e^x+x^2*e^x=(2x+x^2)*e^x。

4.D

解析：∫(x^2+1)dx=∫x^2dx+∫1dx=x^3/3+x+C。

5.A

解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=3-6=-3。切线斜率为-1。

6.D

解析：左导数lim(h→0-)|h|/h=-1，右导数lim(h→0+)|h|/h=1。左右导数不相等，导数不存在。

7.A

解析：∫(0→1)x^2dx=x^3/3|_(0→1)=1/3。

8.A

解析：sinx的麦克劳林级数是x-x^3/6+x^5/120-...。前三项为x-x^3/6+x^5/120。

9.C

解析：p级数，p=2>1，绝对收敛。

10.B

解析：平均值=(1/(1-0))*∫(0→1)e^xdx=e-1。

二、填空题答案及解析

1.3

解析：lim(x→∞)(3x^2+2x-1/x^2-4x+3)=lim(x→∞)(3+2/x-1/x^2/1-4/x+3/x^2)=3。

2.x*(2lnx+1)

解析：f'(x)=(x^2)'*lnx+x^2*(lnx)'=2x*lnx+x^2/x=x*(2lnx+1)。

3.x^3/3-x^2/2+x+C

解析：∫(x^3-2x+1)dx=x^4/4-x^2/2+x+C。

4.0

解析：y'=3x^2-6x，y''=6x-6。曲率k=|y''|/(1+y'^2)^3/2|_(x=0)=0。

5.(-1)^(n+1)*n!/(2n+1)

解析：f^(n)(x)=cos(x+nπ/2)，f^(n)(0)=(-1)^(n+1)*n!/(2n+1)。

6.3/2

解析：∫(1→2)(x^2-x)dx=x^3/3-x^2/2|_(1→2)=(8/3-2)-(1/3-1/2)=3/2。

7.π/4-1/10

解析：前五项为1-1/3+1/5-1/7+1/9=π/4-1/10。

8.1/(1+x^2)

解析：arctanx的导数是1/(1+x^2)。

9.绝对收敛

解析：p级数，p=2>1，绝对收敛。

10.1

解析：∫(0→π/2)sinxdx=-cosx|_(0→π/2)=-(-1)-(-1)=1。

三、多选题答案及解析

1.A,C,D

解析：f(x)=x^2在x=0可导，f'(0)=0。f(x)=|x|在x=0不可导。f(x)=x^3在x=0可导，f'(0)=0。f(x)=sinx在x=0可导，f'(0)=1。

2.B,C,D

解析：f(x)=1/x在x=0不连续。f(x)=x^2在[0,1]连续。f(x)=lnx在(0,1]连续。f(x)=e^x在[0,1]连续。

3.B,C,D

解析：∑(1/n)发散。∑(1/n^2)收敛。∑(-1/n)条件收敛。∑(1/n^3)收敛。

4.B,C,D

解析：f(x)=1/x在[0,1]无界不可积。f(x)=x^2在[0,1]可积。f(x)=sinx在[0,1]可积。f(x)=|x|在[0,1]可积。

5.A,B

解析：f(x)=x^2在x=0有极小值。f(x)=x^3在x=0不是极值。f(x)=cosx在x=0不是极值。f(x)=e^x在x=0不是极值。

6.B,C

解析：∑(1/n)发散。∑(1/n^2)绝对收敛。∑(-1/n^2)绝对收敛。∑(-1/n)条件收敛。

7.A,B,C,D

解析：f(x)=x^2在[0,1]单调递增。f(x)=x^3在[0,1]单调递增。f(x)=lnx在(0,1]单调递增。f(x)=e^x在[0,1]单调递增。

8.A,C

解析：f(x)=x^3在x=0有拐点。f(x)=x^4在x=0无拐点。f(x)=x^2*lnx在x=0无拐点。f(x)=e^x在x=0无拐点。

9.C

解析：∑(1/n)发散。∑(1/n^2)绝对收敛。∑(-1/n)条件收敛。∑(-1/n^2)绝对收敛。

10.A,C,D

解析：f(x)=x^2在[0,1]可导，f'(x)=2x在[0,1]连续。f(x)=|x|在x=0不可导，导数不连续。f(x)=x^3在[0,1]可导，f'(x)=3x^2在[0,1]连续。f(x)=sinx在[0,1]可导，f'(x)=cosx在[0,1]连续。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：平均值=(1/(1-0))*∫(0→1)x^2dx=(1/1)*(x^3/3|_(0→1))=1/3。

2.对

解析：这是基本的极限结论。

3.错

解析：∫e^xdx=e^x+C。

4.错

解析：级数∑(1/n)是调和级数，发散。

5.对

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导。

6.对

解析：∫(0→1)xdx=x^2/2|_(0→1)=1/2。

7.对

解析：f'(x)=cosx。

8.错

解析：∑(-1)^n/n^2是绝对收敛的。

9.对

解析：y=x^3，y'=3x^2，y''=6x。曲率k=|y''|/(1+y'^2)^3/2|_(x=0)=0。

10.对

解