(教案)三角函数的图象与性质2

三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数的周期及求法。【教学重点】正、余弦函数的性质。【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用。【教学过程】一、讲解新课：（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］，分别记作：（2）值域，也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。其中正弦函数，（1）当且仅当，时，取得最大值1。（2）当且仅当，时，取得最小值。而余弦函数，当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。（3）周期性由，()知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。注意：1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域无下界；2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如）3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的周期，最小正周期是（4）奇偶性由可知：为奇函数为偶函数∴正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称（5）单调性从，的图象上可看出：当时，曲线逐渐上升，的值由增大到1。当时，曲线逐渐下降，的值由1减小到。结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增加到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。二、讲解范例：例1：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么。（1），；（2），。解：（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的的集合。函数，的最大值是。（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的的集合是由，得即使函数，取得最大值的x的集合是。函数，的最大值是1。例2求下列函数的定义域：（1）（2）解：（1）由，得即∴原函数的定义域为（2）由得∴原函数的定义域为例3求函数的单调区间解：由的图象可知：单调增区间为单调减区间为例4求下列三角函数的周期：1．2．3．解：1．令而即：∴周期2．令∴即：∴周期3．令则∴周期三、课堂练习：1．求下列函数的周期：（1）（2）（3）解：（1）最小正周期最小正周期∴为，的最小公倍数∴（2）（3）∴2．直接写出下列函数的定义域、值域：（1）（2）解：（1）当时函数有意义，值域：（2）()时有意义，值域3．求下列函数的最值：（1）（2）（3）y=解：（1）当即x=()时当即()时（2）∴当时当时（3）当时当时4．函数的最大值为2，最小值为，求，的值。