九年级数学圆相关题目训练

九年级数学圆相关题目训练圆，作为平面几何中的基本图形之一，在九年级数学中占据着举足轻重的地位。其概念抽象，性质繁多，且与三角形、四边形等平面图形联系紧密，既是中考的重点，也是不少同学学习的难点。本文旨在通过梳理圆的核心知识点，并结合典型例题进行深度剖析，帮助同学们巩固基础、掌握方法、提升解题能力。一、核心知识点回顾与梳理在进行题目训练前，我们首先要对圆的基本概念和重要性质有清晰的认识，这是解决一切圆相关问题的基石。1.圆的基本概念：*圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。*弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦。*弧与半圆：圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。*等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。2.圆的对称性：*圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。*圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。3.垂径定理及其推论：*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。*核心提示：遇弦长、弦心距问题，常构造直角三角形（半径、半弦长、弦心距），利用勾股定理求解。4.圆心角、弧、弦之间的关系：*在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。5.圆周角定理及其推论：*圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。*推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。*推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。*核心提示：见直径想直角，见直角圆周角想直径。6.点与圆、直线与圆的位置关系：*点与圆：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d。点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。*直线与圆：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。直线与圆相离⇔d>r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相交⇔d<r。*切线的判定与性质：*判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（“连半径，证垂直”）*性质：圆的切线垂直于过切点的半径。（“见切线，连半径，得垂直”）*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。7.圆内接四边形的性质：*圆内接四边形的对角互补。*圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。二、典型例题精析（一）基本概念与垂径定理应用例1：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。思路点拨：本题直接考查垂径定理的应用。过圆心O作弦AB的垂线，垂足为M，则OM即为圆心到AB的距离（3cm），AM=BM=AB/2=4cm。在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出半径OA。简要解答：连接OA，过O作OM⊥AB于M。由垂径定理得：AM=AB/2=4cm。在Rt△AOM中，OA²=AM²+OM²=4²+3²=25，故OA=5cm。所以⊙O的半径为5cm。反思：涉及弦长、弦心距、半径的计算，垂径定理是首选工具，构造直角三角形是关键。（二）圆周角定理应用例2：如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD的度数为（）。（此处应有示意图：一个圆，直径AB，C、D在圆上，C在AB下方，D在AB上方，连接BC、CD、AD、BD）思路点拨：AB是直径，根据圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，所以∠ADB=90°。要求∠ABD，可先求∠BAD。∠BAD与∠BCD所对的弧都是弧BD，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BAD=∠BCD=28°。在Rt△ABD中，两锐角互余，即可求出∠ABD。简要解答：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∵∠BAD与∠BCD所对的弧都是弧BD，∴∠BAD=∠BCD=28°。∴在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°。故答案为62°。反思：灵活运用圆周角定理及其推论，找到相等的角或直角，是解决角度计算问题的核心。（三）切线的性质与判定例3：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。（此处应有示意图：圆O，直径AB，C在圆上，过C点有一切线l，AD⊥l于D，连接AC、BC）思路点拨：要证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。已知CD是切线，根据切线性质，连接OC，则OC⊥CD。又AD⊥CD，所以AD∥OC，从而∠DAC=∠ACO。因为OA=OC（半径相等），所以∠CAB=∠ACO。等量代换即可得证。简要解答：证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD。又∵AD⊥CD，∴AD∥OC。∴∠DAC=∠ACO。∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO。∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。反思：见到切线，常连接圆心和切点，得到垂直关系。利用平行、等腰三角形等性质进行角的转化是常用策略。例4：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。（此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，AB为直径画圆O，交BC于D，DE⊥AC于E，连接OD）思路点拨：要证DE是⊙O的切线，已知D在⊙O上（因为D在BC上且在⊙O上），所以只需连接OD，证明OD⊥DE即可。因为AB=AC，所以∠B=∠C。OB=OD，所以∠B=∠ODB，故∠ODB=∠C，从而OD∥AC。又DE⊥AC，所以OD⊥DE。简要解答：证明：连接OD。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵OB=OD，∴∠B=∠ODB。∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。反思：切线的判定，若已知直线与圆有公共点，则“连半径，证垂直”。通过导角或证平行来得到垂直关系是常用方法。（四）综合性问题例5：如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=60°，BC=6，求⊙O的半径。（此处应有示意图：△ABC外接圆O，∠A=60°，BC边已知）思路点拨：已知圆周角∠A=60°，弦BC=6，求半径。可构造圆心角∠BOC，根据圆周角定理，∠BOC=2∠A=120°。连接OB、OC，得到等腰△BOC，OB=OC=R。过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理，BE=BC/2=3，且OE平分∠BOC，所以∠BOE=60°。在Rt△BOE中，利用三角函数（sin60°=对边/斜边=BE/OB）可求出R。简要解答：连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E。∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°。∵OE⊥BC，BC=6，∴BE=BC/2=3，∠BOE=∠BOC/2=60°。在Rt△BOE中，sin∠BOE=BE/OB，即sin60°=3/OB。∴OB=3/sin60°=3/(√3/2)=2√3。故⊙O的半径为2√3。反思：涉及圆周角、圆心角、弦长、半径的综合计算，常通过作弦心距，构造直角三角形，利用三角函数或勾股定理求解。三、解题方法与技巧总结1.“知二求一”模型：在由半径（r）、弦长（a）、弦心距（d）构成的直角三角形中，已知其中任意两个量，可以通过勾股定理r²=(a/2)²+d²求出第三个量。2.辅助线作法：*遇弦，作弦心距，应用垂径定理。*见直径，想直径所对的圆周角是直角。*见切线，连圆心和切点，得切线垂直于半径。*证切线：①有公共点：连半径，证垂直；②无公共点：作垂直，证半径。*涉及圆周角和圆心角关系时，常连接半径构造圆心角。3.转化思想：将圆中的问题转化为三角形（特别是直角三角形、等腰三角形）的问题来解决，利用三角形的性质和定理进行计算和证明。4.方程思想：在一些复杂计算中，若直接求解困难，可设未知数，根据题意列出方程求解。5.数形结合：认真审题，仔细观察图形，将题目的条件和图形的性质紧密结合。四、巩固练习1.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在⊙O的（）（填“内部”、“外部”或“上”）。2.如图，⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=40°，则∠B的度数为（）。3.已知⊙O的弦AB长为6，弦心距为4，则⊙O的半径为（）。4.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P=60°，PA=6，则⊙O的半径为（）。5.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=4，则⊙O的直径为（）。6.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=2，DB=8，求CD的长。（注：练习中的“如图”请同学们自行根据描述画出草图，或在练习册中寻找类似图形进行对照。）五、总结与提升圆的知识体系庞大，题目类型灵活多变，但万变不离其宗。同学们在训练过程中，首先要夯实基础，对基本概念、定理和性质做到理解透彻、记忆准确。其次，要勤于思考，善于总结，特别是对典型例题的解题思路和方法进行归纳，形成自己的解题“工具箱”