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文档简介

(1).pij≥0,i,j=1,2,…(2)

，2.分布律的性质例1:一整数X，随机地在1，2，3，4四个数中取任一值，另一整数Y随机地在1—X中取值，求(X,Y)的分布率。解：

XY12341/41/4*1/21/4*1/31/4*1/401/4*1/21/4*1/31/4*1/4001/4*1/31/4*1/440001/4*1/4

若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…

则(X,Y)的分布函数为

其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y求和。3.分布律与分布函数的关系例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函数。解yx111.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有

则称(X,Y)是连续型二维随机向量,函数f(x,y)称为二维

向量(X,Y)的(联合)概率密度.

2．概率密度f(x,y)的性质第三节二维连续型随机变量(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有

(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为:

在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2,介于它和xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4,P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积。例1:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(i)求分布函数F(x,y);(ii)求概率P{Y≤X}

解:(i)

(ii)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标.即有

{Y≤X}={(X,Y)∈G}

其中G为xy平面上直线y=x下方的部分,如图,于是

例2:向一个无限平面靶射击,设命中点(X,Y)的有概率密度f(x,y)=A/(1+x2+y2)2,求：(1)常数A；(2)命中点与靶心距离不超过r0的概率

.解:(1)由概率密度的性质知利用极坐标计算可得

从而有Aπ=1,即可得A=1/π。

(2)依题意需求概率

(一)均匀分布

定义:设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维

随机向量(X,Y)具有概率密度.

则称(X,Y)在G上服从均匀分布。

五、两个最基本的二维连续型随机向量的分布(二)二维正态分布定义:若(X,Y)具有概率密度

其中

-∞<μ1<+∞,-∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1,则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二维正态分布，记为:(X,Y)

N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).例若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求:(X,Y)的概率密度与分布函数。y-1/20xD1解：D1D5D4D2D3uv（1）1)(x,y)∈D2

，D2:y<0,或x<-1/2

F(x,y)=02)(x,y)∈D1，

D1:-1/2≤x<0,0≤y<1D1uv（2）3)(x,y)∈D4D4:0≤y<1,0≤xD4uv（3）-1/24)(x,y)∈D3

D3

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