3.专题三 几何计算

专题复习专题三几何计算一、与三角形有关的计算1．

若等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，则腰长为

⁠

⁠．12cm2．

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于点

D，则∠DBC＝

⁠°.203．

如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，

DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是

⁠．34．

如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且

DB＝DE，∠A＝36°，AB＝AC，求∠ADE的度数．

5．

如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB＝10cm.(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作

图痕迹，不要求写作法)解：(1)如图，DE即为所求．(2)连接CE，求△BCE的周长．(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE.

∴△BCE的周长为BE＋CE＋BC＝BE＋AE＋BC＝AB＋BC＝

10＋8＝18(cm)．6．

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB

于点D，点E在AB的延长线上，∠E＝45°，AB＝8.(1)求BD的长；

(2)求BE的长．(2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得

∵∠E＝45°，∴∠DCE＝90°－45°＝45°.

7．

如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向

正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得

∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝60°－30°＝30°＝∠NAC.

∴BC＝AB.

∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30海里．答：海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)若这条船继续向正北方向航行，则请问在上午或下午的什么时间

船与灯塔C的距离最短？

答：这条船继续向正北方向航行，在上午11时船与灯塔C的距离最短．二、与平行四边形有关的计算8．

一个正多边形的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多

边形的边数是

⁠．109．

如图，在▱ABCD中，若AB＝7，AD＝10，DE平分∠ADC，

则BE＝

⁠．310．

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别

是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘

米，则EF＝

⁠厘米．311．

如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交

BC于点E.

若AE＝8，AB＝5，则BF的长为（B）A.

5B．

6C．

8D．

12B12．

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD

＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长．

解：作BO⊥AD，交DA的延长线于点O，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.

∴∠AEB＝∠CBE，∠BAO＝∠D＝30°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.

∴∠ABE＝∠AEB.

14．

如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于

点O，OM⊥AC于点O，交AD边于点M，连接CM.

(1)若∠ACB＝40°，求∠CMD的度数；解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC.

∴∠MAC＝∠ACB＝40°，点O为AC的中点．∵OM⊥AC，∴OM为AC的垂直平分线．∴MA＝CM.

∴∠MCA＝∠MAC＝40°.∴∠CMD＝∠MAC＋∠MCA＝40°＋40°＝80°.(2)若△CDM的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．(2)由(1)知CM＝MA.

∴△CDM的周长为CM＋MD＋CD＝MA＋MD＋CD＝AD＋

CD＝10.∴平行四边形ABCD的周长为2(AD＋CD)＝20.三、与平移或旋转有关的计算15．

如图，在一次演出中，Rt△ABC的位置上重合着两个三角形

道具，演员把其中一个沿Rt△ABC的BC边所在的直线向右推动，使之

平移到△DEF位置．已知AB＝6，BE＝3，EF＝8.(1)求EC的长；解：(1)由平移的性质，得CF＝BE＝3.∴EC＝EF－CF＝8－3＝5.(2)连接AD，求四边形ABFD的面积．(2)由平移的性质，得AD＝CF＝BE＝3.∵EF＝8，∴BF＝BE＋EF＝3＋8＝11.∵AB＝6，

16．

已知，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；解：(1)如图所示，△A1B1C即为所求．(2)将△A1B1C向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2；解：(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出PA1＋PC2

的最小值．(3)如图所示，作出点A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴

于一点，则该点即为使PA1＋PC2的值最小的点P.

17．

如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC

上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.

(1)求∠PCQ的度数；解：(1)由题意，得△ABP≌△CBQ.

∴AB＝CB，∠A＝∠BCQ.

∵在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ACB＝45°.∴∠BCQ＝45°.∴∠PCQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°.(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的长；(2)由题意，得△ABP≌△CBQ.

∴AP＝CQ.

∵CB＝AB＝4，

∵AP∶PC＝1∶3，

由(1)知∠PCQ＝90°.

(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映

AP2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．(3)2PB2＝AP2＋PC