第4课 公式法(2)-完全平方公式

第四章因式分解第4课公式法(2)——完全平方公式

完全平方式

计算下列各式：(1)(x＋y)2＝

⁠；(2)(x－5)2＝

⁠；(3)(3x＋y)2＝

⁠．x2＋2xy＋y2x2－10x＋259x2＋6xy＋y2根据上面的等式将下面的多项式因式分解：(4)x2＋2xy＋y2＝

；

(5)x2－10x＋25＝

；

(6)9x2＋6xy＋y2＝

⁠．(x＋y)2(x－5)2(3x＋y)2

把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2

反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝

，a2－2ab＋b2＝

⁠

⁠．利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫

作

．形如

的式子称为完全平方式．

(a＋b)2(a－

b)2公式法a2±2ab＋b2例1

下列式子中，是完全平方式的是（D）A.

a2＋ab＋b2B．

a2＋2a＋2C.

a2－2b＋b2D．

a2＋2a＋1D1.

已知k为常数，填空：(1)若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝

⁠；(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝

⁠．9±4

直接运用完全平方公式因式分解例2

把下列各式因式分解：(1)x2＋12x＋36；

(1)解：原式＝x2＋2×6x＋62＝(x＋6)2.(2)4x2＋y2－4xy；(2)解：原式＝(2x)2－2×2x·y＋y2＝(2x－y)2.(3)(m＋n)2－8(m＋n)＋16.解：原式＝(m＋n)2－2×4(m＋n)＋42＝(m＋n－4)2.

(1)解：原式＝x2－2·x·5y＋(5y)2＝(x－5y)2.

(3)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9.解：原式＝(x＋y)2＋2×3(x＋y)＋32＝(x＋y＋3)2.

先提公因式，再运用完全平方公式因式分解例3

把下列各式因式分解：(1)3x2－18x＋27;(2)4ax2＋8axy＋4ay2.(1)解：原式＝3(x2－6x＋9)＝3(x－3)2.(2)解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)＝4a(x＋y)2.3.

把下列各式因式分解：(1)－4x2y2＋8xy－4;(2)－4x3＋4x2y－xy2.(1)解：原式＝－4(x2y2－2xy＋1)＝－4[(xy)2－2xy＋12]＝－4(xy－1)2.(2)解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)＝－x[(2x)2－2×2x·y＋y2]＝－x(2x－y)2.

1．

下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（B）B．

a2＋8a＋16C．

x2－2x＋4D．

x2－xy＋y2B2．

把下列多项式进行因式分解，结果正确的是（A）A.

4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2B．

a2－2a＋4＝(a－2)2C．

a2－2a－1＝(a－1)2D．

a2－b2＝(a－b)2A3．

把下列各式因式分解：(1)49m2－14mn＋n2＝

⁠；(2)4b2－20ab＋25a2＝

⁠．4．

因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝

⁠．(7m－n)2(2b－5a)23a(x－y)25．

把下列各式因式分解：(1)－x2＋6xy－9y2；解：原式＝－(x2－6xy＋9y2)＝－[x2－2·x·3y＋(3y)2]＝－(x－3y)2.(2)(a＋b)2－2(a＋b)＋1.解：原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·1＋12＝(a＋b－1)2.6．

分类讨论【北师八下P122习题T3改编】在多项式x2＋1中添加一

个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是

⁠

⁠．

7．

利用因式分解进行简便计算：8502－1700×848＋8482.解：原式＝8502－2×850×848＋8482＝(850－848)2＝22＝4.8．

过程性学习下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4

进行因式分解的过程．解：设x2－4x＝y，则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)＝y2＋8y＋16(第二步)＝(y＋4)2(第三步)＝(x2－4x＋4)2.(第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（C）A．

提取公因式B．

平方差公式C．

两数和的完全平方公式D．

两数差的完全平方公式C(2)该同学因式分解的结果是否彻底？

(填“彻底”或“不彻

底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果

⁠；(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因

式分解．

不彻底(x－2)4

智慧数例

【北师八下P121阅读思考改编】如果一个正整数能表示为两个正

整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，3＝22－12，5

＝32－22，7＝42－32，因此3，5，7这三个数都是智慧数．小组活动任务：从1开始，第2025个智慧数是哪个数呢？某数学兴趣小组的研究过程如下：【阶段一】特殊情况探讨：3＝22－12，5＝32－22，7＝42－32，8＝

32－12，9＝52－42，11＝62－52，…【阶段二】一般性探究：同学们想到设k是正整数，∵(k＋1)2－k2＝2k＋1，∴除1外，所有的奇数都是智慧数．又∵(k＋1)2－(k－1)2＝①

⁠，∴除4外，所有能被②

⁠整除的偶数都是智慧数．∴还需要讨论被4除余2的数是不是智慧数．如果4k＋2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k＋2＝

m2－n2，即2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)．……4k4【阶段三】总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，

除第一组有③

个智慧数外，其余各组都有④

⁠个智慧数，而

且每组中第⑤

⁠个不是智慧数．请你完成以下任务：(1)下列偶数中是智慧数的是

⁠；A.

2018B．

2022C．

2024D．

2026132C(2)请将【阶段二】【阶段三】中的①～⑤分别补充完整；(3)请完成【阶段二】“……”部分的研究；解：(3)如果4k＋2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k

＋2＝m2－n2，即2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)．∵m＋n，m－n的奇偶性是相同的，∴(m＋n)(m－n)是4的倍数

或奇数．∵2(2k＋1)是偶数，但一定不是4的倍数，∴不存在正整数m和

n，使2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)成立．∴4k＋2不是智慧数．(4)在正整数中，从1开始，第2025个智慧数是

⁠．2703拓展：(5)设两个连续偶数是2n和2n＋2(其中n取正整数)，