新人教版八年级数学知识点总结与应用

新人教版八年级数学知识点总结与应用八年级数学是承上启下的关键阶段，不仅是对七年级知识的深化，也为九年级乃至更高学段的数学学习奠定重要基础。本总结旨在系统梳理新人教版八年级数学的核心知识点，并通过实例阐述其应用，帮助同学们构建清晰的知识网络，提升解决实际问题的能力。一、三角形三角形是平面几何的基本图形，也是后续学习更复杂图形的基础。本章的重点在于理解三角形的基本性质，并能运用这些性质进行推理和计算。1.与三角形有关的线段*三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。*三角形的边：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。*应用示例：若三角形的两边长分别为3和5，则第三边长的取值范围是2<第三边<8。*三角形的高、中线与角平分线：*高：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。*中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。*角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点（内心）。2.与三角形有关的角*三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*应用示例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=180°-50°-60°=70°。*三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*应用示例：已知三角形的一个外角为120°，与它不相邻的一个内角为50°，则另一个不相邻的内角为120°-50°=70°。3.全等三角形*全等形与全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是证明线段相等和角相等的重要工具。*三角形全等的判定：*SSS(边边边)：三边分别相等的两个三角形全等。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。*ASA(角边角)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。*HL(斜边、直角边)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）*应用示例：要证明△ABC≌△DEF，若已知AB=DE，AC=DF，只需再证∠A=∠D（SAS）或BC=EF（SSS）即可。在实际证明中，需根据已知条件灵活选择判定方法，并注意对应关系。4.轴对称*轴对称图形与轴对称：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。*轴对称的性质：*对称轴是对应点连线的垂直平分线。*对应线段相等，对应角相等。*用坐标表示轴对称：在平面直角坐标系中，点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)；关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。*等腰三角形：*性质：等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）。*判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）。*应用示例：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则底角∠B=∠C=(180°-80°)/2=50°。若AD是底边BC上的高，则AD也是∠BAC的平分线和BC的中线。5.勾股定理*勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。*应用示例：已知直角三角形的两直角边分别为3和4，则斜边c=√(3²+4²)=5。*勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。*应用示例：若一个三角形的三边长分别为5，12，13，因为5²+12²=13²，所以这个三角形是直角三角形。*勾股定理的应用：主要用于解决与直角三角形相关的边长计算、距离测量等实际问题，如梯子滑动问题、最短路径问题等。二、一次函数函数是描述变量之间对应关系的重要数学模型，一次函数是最基本的函数类型之一，在现实生活中有着广泛的应用。1.函数*变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量；数值始终不变的量为常量。*函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。*函数的三种表示方法：解析法（用数学式子表示函数关系）、列表法（通过列表给出自变量与函数的对应值）、图象法（用图象表示函数关系）。*函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。画函数图象通常采用“列表、描点、连线”的步骤。2.一次函数*正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。其图象是经过原点(0,0)的一条直线。*一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。*一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b。它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。*一次函数的性质：*k的符号决定直线的倾斜方向：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。*b的符号决定直线与y轴的交点位置：直线与y轴交于点(0,b)。*应用示例：对于函数y=2x+3，因为k=2>0，所以y随x的增大而增大；与y轴交于点(0,3)。*一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系：*解一元一次方程kx+b=0，相当于求当一次函数y=kx+b的值为0时x的值，即直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。*解一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0），相当于求当一次函数y=kx+b的值大于0（或小于0）时x的取值范围，即观察直线y=kx+b在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值。*一次函数的应用：利用一次函数解决实际问题，关键是根据题意建立一次函数模型（即列出函数关系式），然后利用函数的图象和性质解决问题，如行程问题、利润问题、方案选择问题等。三、整式的乘除与因式分解整式的乘除是代数运算的基础，因式分解则是整式乘法的逆运算，它们在代数式的化简、求值、解方程等方面有着重要应用。1.整式的乘法*同底数幂的乘法：a^m·a^n=a^(m+n)(m,n都是正整数)。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。*幂的乘方：(a^m)^n=a^(mn)(m,n都是正整数)。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。*积的乘方：(ab)^n=a^nb^n(n为正整数)。即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。*单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。*单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即m(a+b+c)=ma+mb+mc。*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。*应用示例：(2x²y)·(3xy³)=(2×3)·(x²·x)·(y·y³)=6x³y⁴。(x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6。2.乘法公式*平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。*完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。*应用示例：(3x+2y)(3x-2y)=(3x)²-(2y)²=9x²-4y²。(2a-3b)²=(2a)²-2·2a·3b+(3b)²=4a²-12ab+9b²。3.整式的除法*同底数幂的除法：a^m÷a^n=a^(m-n)(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n)。即同底数幂相除，底数不变，指数相减。规定a⁰=1(a≠0)。*单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。*应用示例：(12a³b²c)÷(3ab)=(12÷3)·(a³÷a)·(b²÷b)·c=4a²bc。4.因式分解*因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。（与整式乘法是互逆过程）*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。*应用示例：ma+mb+mc=m(a+b+c)。*公式法：*利用平方差公式分解因式：a²-b²=(a+b)(a-b)。*利用完全平方公式分解因式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²。*十字相乘法（补充内容，对于二次三项式x²+(p+q)x+pq型式子的分解）：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。*应用示例：x²+5x+6=(x+2)(x+3)。*因式分解的一般步骤：一提（提公因式）、二套（套公式）、三查（检查是否分解彻底）。*应用示例：分解因式3x³-12x=3x(x²-4)=3x(x+2)(x-4)。（先提公因式3x，再利用平方差公式）四、分式分式是不同于整式的另一类有理式，分式的概念、性质及运算都是本章的重点。1.分式的概念*分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。分式中，A叫做分子，B叫做分母（B≠0）。*分式有意义、无意义及值为零的条件：*分式有意义的条件：分母不为0（B≠0）。*分式无意义的条件：分母为0（B=0）。*分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0（A=0且B≠0）。*应用示例：对于分式(x-1)/(x+2)，当x+2≠0即x≠-2时，分式有意义；当x-1=0且x+2≠0即x=1时，分式的值为0。2.分式的基本性质*分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。即A/B=(A·C)/(B·C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)(C≠0)。*约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果是最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。*通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定最简公分母。3.分式的运算*分式的乘除：*乘法法则：A/B·C/D=(A·C)/(B·D)。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。*除法法则：A/B÷C/D=A/B·D/C=(A·D)/(B·C)。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置