2025-2025学年人教A版高中数学必修五全册学案

前言亲爱的同学们，欢迎进入高中数学必修五的学习旅程。本书将带领大家探索三角形中的奥秘、数列的规律以及不等式的性质与应用。这不仅是对以往数学知识的深化与拓展，更是培养逻辑思维、分析问题和解决问题能力的关键阶段。本学案旨在作为你们学习过程中的良师益友。它并非简单的教材内容重复，而是力求通过问题引导、思路梳理、方法提炼和实践应用，帮助你们更主动、更深入地理解数学概念，掌握数学方法，提升数学素养。请务必结合教材使用本学案，在课前进行预习，带着疑问走进课堂；在课中积极参与，与老师同学共同探讨；在课后及时复习，通过练习巩固所学。数学的世界充满挑战，也蕴含着无穷的乐趣。希望这份学案能陪伴你们度过一段充实而富有成效的学习时光，为未来的数学学习乃至终身发展奠定坚实的基础。---第一章解三角形本章将学习如何利用正弦定理和余弦定理来解决与三角形相关的度量问题，包括已知三角形的边和角，求解其他未知的边和角，以及利用这些知识解决一些实际应用问题。这部分知识在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。1.1正弦定理学习目标1.理解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理的内容。2.能够运用正弦定理解决三角形中已知两角和一边求其他边和角的问题。3.能够运用正弦定理解决三角形中已知两边和其中一边的对角求其他边和角的问题，并能判断解的情况。4.体会数形结合、转化与化归的数学思想。学习重点与难点*重点：正弦定理的理解和应用。*难点：已知两边和其中一边的对角时，三角形解的个数的判断。知识回顾1.在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切是如何定义的？2.三角形的内角和定理是什么？新知探究问题1：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值之间是否存在某种固定的关系呢？我们先从直角三角形入手。在Rt△ABC中，∠C为直角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。根据正弦函数的定义，有：sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1=c/c。由此可得：a/sinA=c，b/sinB=c，c/sinC=c。所以，在直角三角形中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=c。问题2：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系是否仍然成立？（请同学们思考如何将锐角三角形或钝角三角形转化为直角三角形来研究，可尝试作高。）推导过程（以锐角三角形为例，钝角三角形可类似推导）：在锐角△ABC中，过点C作CD⊥AB于D，则在Rt△ACD和Rt△BCD中：CD=bsinA，CD=asinB，所以bsinA=asinB，即a/sinA=b/sinB。同理，过点A作BC边上的高，可证得b/sinB=c/sinC。归纳总结：通过以上探究，我们可以得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R是三角形外接圆的半径）这个定理叫做正弦定理（LawofSines）。知识点梳理1.正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC外接圆半径）。2.正弦定理的变形：*a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；*sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)；*a:b:c=sinA:sinB:sinC。典例精析类型一：已知两角和一边解三角形例1：在△ABC中，已知∠A=α，∠B=β，边a=m，解这个三角形。（分析：已知两角，可先求第三角∠C=π-α-β。再由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC求出另外两边b和c。）（解题过程略，此处应体现具体计算步骤和对结果的表述，如边长保留几位小数，角度用度分秒或弧度表示等。）类型二：已知两边和其中一边的对角解三角形例2：在△ABC中，已知a=m，b=n，∠A=α，解这个三角形。（分析：此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，需要结合图形和“大边对大角”定理进行判断。）（解题过程应详细展示如何利用正弦定理求sinB，再根据sinB的值及a、b的大小关系判断解的情况，并求出相应的角和边。）（可结合几何画板或画图演示，帮助理解为何会出现不同解的情况。）课堂练习1.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，a=6，求b、c及∠C。2.在△ABC中，已知a=5，b=10，∠A=30°，判断此三角形解的个数，并求解。课堂小结1.正弦定理的内容及其推导思路（化斜为直）。2.正弦定理的主要应用类型：*已知两角和任一边，求其他两边和一角。*已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而求其他的边和角）。3.已知两边和其中一边的对角时，解的个数的判断方法。课后作业1.教材习题1.1A组第1、2、3题。2.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，求a:b:c。3.思考：正弦定理揭示了三角形边与角的何种数量关系？它与三角形的外接圆有何联系？---1.2余弦定理学习目标1.理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的内容。2.能够运用余弦定理解决三角形中已知三边求三角的问题。3.能够运用余弦定理解决三角形中已知两边及其夹角求第三边的问题。4.进一步体会数形结合、分类讨论的数学思想。学习重点与难点*重点：余弦定理的理解和应用。*难点：余弦定理的推导过程；判断三角形的形状。知识回顾1.勾股定理的内容是什么？它适用于什么三角形？2.若一个三角形不是直角三角形，那么它的三边之间有什么关系？新知探究问题1：在△ABC中，已知两边a、b及其夹角C，如何求出第三边c？我们依然可以考虑通过构造直角三角形来解决这个问题。（引导学生在△ABC中，以角C为顶点作高，将斜三角形转化为两个直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数来表示边c。）推导过程：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，∠ACB=C。过点A作AD⊥BC于D，则在Rt△ADC中：AD=bsinC，DC=bcosC。在Rt△ABD中，BD=BC-DC=a-bcosC。由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，即c²=(bsinC)²+(a-bcosC)²展开并整理：c²=b²sin²C+a²-2abcosC+b²cos²C=a²+b²(sin²C+cos²C)-2abcosC因为sin²C+cos²C=1，所以：c²=a²+b²-2abcosC问题2：类似地，你能推导出关于边a和边b的关系式吗？（请同学们仿照上述方法，自己推导或小组合作推导。）归纳总结：通过推导，我们得到：余弦定理（LawofCosines）：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有：c²=a²+b²-2abcosCb²=a²+c²-2accosBa²=b²+c²-2bccosA余弦定理的变形：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)思考：当角C为直角时，余弦定理会变成什么形式？它与勾股定理有何关系？（当C=90°时，cosC=0，所以c²=a²+b²，这就是勾股定理。因此，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。）知识点梳理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2.余弦定理的作用：*已知三边，求三个角。*已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。3.利用余弦定理判断三角形的形状：设△ABC的三边为a、b、c，其中c为最大边。*若c²=a²+b²，则∠C=90°，△ABC为直角三角形。*若c²<a²+b²，则∠C<90°，△ABC为锐角三角形。*若c²>a²+b²，则∠C>90°，△ABC为钝角三角形。典例精析类型一：已知两边及其夹角求第三边例1：在△ABC中，已知a=m，b=n，∠C=θ，求边c及∠A、∠B。（分析：直接应用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC求出c，再利用余弦定理的推论求出∠A和∠B，或用正弦定理。）类型二：已知三边求三角例2：在△ABC中，已知a=m，b=n，c=p，求∠A、∠B、∠C。（分析：选择合适的余弦定理推论，求出其中两个角，再利用三角形内角和为π求第三个角。注意计算顺序，可先求最大边所对的角，以判断三角形是否为钝角三角形。）类型三：判断三角形的形状例3：在△ABC中，已知a²+b²-c²=ab，试判断△ABC的形状。（分析：利用余弦定理的推论求出cosC，进而判断角C的大小。）课堂练习1.在△ABC中，已知b=6，c=9，∠A=60°，求a。2.在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角的度数。3.在△ABC中，若a²=b²+c²+bc，判断△ABC的形状。课堂小结1.余弦定理的内容及其推导思路（依然是构造直角三角形，运用勾股定理和三角函数）。2.余弦定理的主要应用类型：*已知两边及其夹角，求第三边和其他两角。*已知三边，求三个角。*判断三角形的形状。3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理是勾股定理的推广。课后作业1.教材习题1.2A组第1、2、4、5题。2.在△ABC中，已知a=2，b=3，c=4，求cosA、cosB、cosC的值，并判断三角形的形状。3.思考题：在△ABC中，若(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)，试判断△ABC的形状。---1.3正弦定理、余弦定理的应用举例学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际应用题，如测量距离、高度、角度等问题。2.了解常见的测量术语，如仰角、俯角、方位角、坡角等。3.培养将实际问题抽象为数学模型（解三角形问题）的能力，提高应用数学知识解决实际问题的意识和能力。学习重点与难点*重点：将实际问题转化为解三角形问题，选择合适的定理进行求解。*难点：理解实际问题中的测量情景，准确画出示意图，将文字语言转化为数学符号语言。知识回顾1.正弦定理和余弦定理的内容及其主要应用场景。2.回忆初中所学的仰角、俯角的概念。新知探究（实际问题转化）在生产实践和科学研究中，我们经常会遇到需要测量不能直接到达的两点之间的距离，或不能直接测量的物体的高度，或航行中船只的航向等问题。这些问题往往可以通过构造三角形，利用正弦定理或余弦定理来解决。常见测量术语：*仰角与俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（可画图示意）*方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，通常表达为北偏东（西）多少度，或南偏东（西）多少度。若正好是90度，则称为正东、正西、正南、正北。（可画图示意，如北偏东30°，南偏西60°）*坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做坡角（α）；坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），通常记为i=h/l=tanα。（可画图示意）解决实际测量问题的一般步骤：1.分析题意：理解问题的实际背景，明确已知条件和所求目标。2.数学建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象为一个解三角形的数学问题。在图中标出已知的边和角，未知的边和角。3.选择定理：根据已知条件和所求目标，判断应该使用正弦定理还是余弦定理，或者两者结合使用。4.求解运算：运用所选定理进行计算，求出未知量。注意计算的准确性。5.检验作答：将计算结果回归到实际问题中进行检验，看是否符合实际意义，并写出完整的答案。典例精析类型一：测量距离（两点不能到达）例1：如图，A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m，∠BAC=α，∠ACB=β。求A、B两点间的距离。（分析：在△ABC中，已知两角（∠A、∠C）和一边（AC），可用正弦定理求AB。）（解题过程应包括：画出示意图，明确已知量和未知量，写出公式，代入数据计算，作答。）类型二：测量高度例2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是α，在D点测得塔顶A的仰角是β，并测得水平面上的∠BCD=γ，CD=m，求电视塔的高度