安徽省示范高中2026届高三数学上学期12月月考A卷试题含解析

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的性质即可得.【详解】由题意，所以，化简得.故选：D2.已知集合，，若，则（）A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根据集合相等可知关于的方程只有一个实数根，从而可得的值，即可得所求.【详解】因为集合，，若，所以关于的方程只有一个实数根，则，故，所以，则，故，所以，故.故选：B.3.已知抛物线的焦点为，上一点到直线的距离为2027，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】确定抛物线的焦点坐标与准线方程，结合抛物线的定义与已知距离即可得的值.【详解】抛物线的焦点，准线方程为直线，若抛物线上一点到直线的距离为2027，则它到直线的距离为3，由抛物线定义可得.故选：C.4.已知，是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若与平行，由平面，，得与平面平行，所以与无公共点.所以与平行，或与异面.若与平行，则由平行公理得与平行，与“已知，是平面内的两条相交直线”矛盾，所以与不平行，所以与异面.当与异面时，并不能说明与的关系，所以不能推出与平行.如下图所示，当与异面时，与异面.所以“与平行”是“与异面”的充分不必要条件.故选：A.5.先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图象变换法则可得变换后的图象是函数的图象，根据诱导公式一可得.【详解】将曲线上各点的横坐标变为原来的，得函数的图象.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.因为，所以.故选：D.6.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过将与作比较，确定的范围，进而比较其大小.【详解】因为，所以；因为，所以，.所以.所以，即.故选：B.7.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A.－7 B.－1 C.1 D.7【答案】A【解析】【分析】由已知可得，所以，且的图象关于对称，由此可得.【详解】由题可知.所以的图象关于对称，且关于原点中心对称.所以，所以，即.所以.因为当时，，所以.所以.故选：A.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和的正切公式求得，然后利用将目标式子化弦为切，进而代入计算即可.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（）A.的离心率为 B.C.与直线有交点 D.与双曲线无交点【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线的焦距、渐近线方程得双曲线的的值，根据双曲线的离心率、定义、直线与双曲线交点性质、双曲线与双曲线交点性质逐项判断即可.【详解】因为，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以，又，从而可得，则的离心率为，故A正确；由双曲线的定义可得，故B正确；直线过原点，且斜率为，而双曲线其中一条渐近线方程为，斜率为，所以与直线无交点，故C不正确；双曲线为，其渐近线方程为，且其焦点在轴上，所以与双曲线无交点，故D正确.故选：ABD.10.记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论.【详解】由方程可得，该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，所以，，是方程在复数上的两根，则，故A，B正确；设，则可得，所以解得或，故，两根为，则，故C正确；，故D不正确.故选：ABC.11.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理角化边即可判断A选项；两式相乘，结合三角恒等变换公式，以及放缩，即可判断B选项；设，结合正弦定理以及余弦定理，将题干条件化为关于的方程组即可求解判断C、D选项；【详解】对于A，因为在中，，所以由正弦定理得，，所以，所以A错误；对于B，由题可得，所以，所以，所以.因为，所以，所以，所以.所以，即.所以B正确；对于C，设所对的边分别为.由A知，.设，则.因为，所以，即，所以，所以，所以.所以，即.由正弦定理，得.所以C正确；对于D，由C知.所以.所以D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.【答案】【解析】【分析】求出，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论.【详解】因为，所以，又，，所以切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，注意已知点是否为切点，属于基础题.13.若正数，满足，则的最小值为________.【答案】3【解析】【分析】由正数，满足，得，所以.根据基本不等式可求得的最小值.【详解】正数，满足，则，所以，即，所以.所以.所以.因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以.所以的最小值为当且仅当时，等号成立.故答案为：.14.工人要将一个圆锥形的实心铁块打磨成一个铁球，若圆锥形铁块的体积为，则可能得到的铁球体积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】圆锥能打磨得铁球体积的最大值，即为圆锥的内切球，设圆锥的底面半径为，高为，内切球的半径为，根据圆锥体积公式、三角形相似、勾股定理可得，要使得关于的方程有解，由得的取值范围，从而得所求.【详解】圆锥能够打磨出铁球体积的最大值，即为圆锥的内切球，设圆锥底面半径为，高为，内切球的半径为，取圆锥的轴截面如下，则，球与母线相切于点，则，，又圆锥的体积为，所以，因为，则，所以在中，，则，整理得，由得，代入整理得：，关于的方程有解，则，解得，所以可能得到的铁球体积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱台中，平面，，，分别为棱，的中点.（1）证明：；（2）若，，，求三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.（2）分别求得三棱台的上、下底面面积，利用棱台的体积公式求得三棱台的体积.【小问1详解】如图，连接.因平面，平面，所以.因为，是的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以.【小问2详解】由勾股定理得，，.于是下底面面积，由，得上底面面积.故三棱台的体积.16.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）若的面积为1，求；（2）若点在边的延长线上，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角和结合已知角度关系可得角，根据面积公式与余弦定理即可得值；（2）根据三角形的外角关系，等边对等角，得中角度关系，由正弦定理结合三角恒等变换可得的值，从而得的值.【小问1详解】因为，又，所以，所以，因为的面积为1，所以，所以，由余弦定理得，所以；【小问2详解】如图，由（1）知，所以，因为，所以，，从而，中，由正弦定理得，即，所以，所以，即，因为，所以.17.已知函数的导函数为，函数与的图象关于直线对称.（1）若数列的前项和，求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列的前项和与的关系，利用相减法求解的通项公式即可；（2）根据函数与的图象关于直线对称，可得，根据导数的运算即可得，利用裂项相消法求和，结合对数运算即可证明结论.【小问1详解】由题意知，当时，，所以，当时，不符合上式，故【小问2详解】，即点在的图象上，因为与的图象关于直线对称，所以点在的图象上，即，可得又，所以，所以，于是，易知，所以.18.已知椭圆的右焦点为，的上顶点到点的距离为3.（1）求的方程.（2）动直线与交于，两点，的中点为.（i）求点的轨迹方程；（ii）记点到轴的距离为，点是轴上的定点，的斜率为，的斜率为，若为定值，求点的坐标.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）根据题意直接求出，从而求得的方程；（2）（i）设，，，联立直线与的方程，根据韦达定理，用表示出点的坐标，从而得到点的轨迹方程；（ii）根据（i）列出，根据为定值，求出点的坐标.【小问1详解】由已知可得的半焦距，因为的上顶点到点的距离为3，即，所以，故的方程为.【小问2详解】（i）设，，.由得，则，，则点的纵坐标为，横坐标为.，所以，代入的表达式，得，整理得，所以点的轨迹方程为.（ii）由（i）可知.设，则，将，代入上式，分母为，所以，所以.要使该表达式为定值，必须有，解得，即点的坐标为.19.已知，函数.（1）证明：有唯一的极大值点和极小值点.（2）记的极大值点为，极小值点为.（i）求最小值；（ii）设，若互不相等的实数，，满足，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求导数，令并解得方程的根，从而得到函数的单调区间；（2）（i）由（1）得，即可求得，令函数，求导数，然后得到函数的单调区间，求得最小值，即为的最小值.（ii）由（1）得，设，则.设，整理化简方程后令，，则，，是方程的三个根，只需证.设，由导数求得函数的单调区间，然后得到的取值范围.构造函数，分析其单调性得到，进而证明。再通过的极大值确定的范围，并证明，最后由函数的单调性可证，从而得证.【小问1详解】由题意得，令，可得或，因为，所以，则当或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值点，唯一的极小值点.【小问2详解】（i）由（1）知，，所以.