2026年高考数学压轴题模拟试题及答案

2026年高考数学压轴题模拟试题及答案第一部分：函数与导数综合题（共2题，每题14分）第1题（14分）：已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1在x=1处取得极值，且其图象在点(2,f(2))处的切线与直线y=4x-5平行。（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对于任意x₁,x₂∈(0,3)，且x₁≠x₂，恒有|f(x₁)-f(x₂)|<2，求实数a的取值范围。答案与解析：（1）由f(x)在x=1处取得极值，得f'(1)=0，即3x²-2ax+b|_{x=1}=3-2a+b=0①。又f'(x)=3x²-2ax+b，在x=2处切线斜率为4，即f'(2)=12-4a+b=4②。联立①②，解得a=2，b=-1，故f(x)=x³-2x²-x+1。（2）f'(x)=3x²-4x-1=(x-1)(3x+1)，令f'(x)=0得极值点x=1,x=-1/3。在(0,3)内，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,3)单调递增。f(1)=-1,f(3)=1，故f(x)在(0,3)内最大值1，最小值-1。由|f(x₁)-f(x₂)|<2，得f(x)最大值与最小值之差小于2，即f(3)-f(0)=5<2不成立，故a的取值范围为空集。第二部分：解析几何与不等式证明（共2题，每题14分）第2题（14分）：已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，其右焦点F恰在抛物线y²=4x的准线上。（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，若△AFB的面积为1，求直线l的方程。答案与解析：（1）由离心率e=c/a=√2/2，得c=a/√2。右焦点F在抛物线准线x=-1上，即c=1，故a=√2，b²=a²-c²=1。椭圆方程为x²/2+y²=1。（2）设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，直线l方程为x=ty+1。联立x²/2+y²=1，消x得(2+t²)y²+2ty-1=0。由韦达定理，y₁+y₂=-2t/(2+t²),y₁y₂=-1/(2+t²)。△AFB面积S=1=1/2|OF||y₁-y₂|=1/2|y₁-y₂|，|y₁-y₂|=√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]=√[4t²/(2+t²)²+4/(2+t²)]=√[8(1+t²)/(2+t²)²]=1。解得t²=1，故直线l方程为x±y-1=0。第三部分：数列与不等式综合（共2题，每题14分）第3题（14分）：设等差数列{aₙ}的首项为1，公差为d，前n项和为Sₙ。若Sₙ≤4a₃，且对任意n≥2，有aₙ≥2aₙ₋₁-1。（1）求公差d的取值范围；（2）若数列{aₙ}的前n项和Sₙ与n²成比例，求d的值。答案与解析：（1）由Sₙ≤4a₃，得na₁+n(n-1)/2d≤4(a₁+2d)，即n+(n-1)d≤4+8d。当n≥2时，d≤3-n/(n-1)单调递减，故d≤2。又aₙ≥2aₙ₋₁-1，即aₙ-2aₙ₋₁+1≥0，得d≥1。故1≤d≤2。（2）Sₙ=kn²，则aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2kn-k。代入aₙ=2aₙ₋₁-1，得2kn-k=4k(n-1)-2k-1，解得k=1，d=2。第四部分：立体几何与向量（共2题，每题14分）第4题（14分）：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=BC=1，∠ABC=120°。（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）若D为AC中点，求二面角P-AC-B的余弦值。答案与解析：（1）取BC中点E，连PE,AE。由AB=BC,∠ABC=120°，得BE⊥AC。又PA⊥平面ABC，故PE⊥AC。在ΔPBE中，PE=√3,BE=1/2,PB=√(PE²+BE²)=√(3+1/4)=√13/2。由勾股定理，PE²+AE²=PA²，故PE⊥PA。综上，PE⊥平面PAC，故平面PBC⊥平面PAC。（2）取AC中点D，连BD,PD。由对称性，BD⊥AC。设平面PBD的法向量为n₁=(x,y,z)，由n₁⊥BD,n₁⊥PE，得n₁·(1/2,√3/2,0)=1/2x+3/2y=0①，n₁·(√3/2,-1/2,2)=√3/2x-1/2y+2z=0②。取n₁=(3,-1,√3)，平面PAC的法向量为n₂=(0,0,1)。cosθ=|n₁·n₂|/|n₁||n₂|=√3/2，故二面角余弦值为√3/2。第五部分：概率统计与程序框图（共2题，每题14分）第5题（14分）：某城市交通部门统计，市民出行方式有公交、地铁、自行车和私家车四种，其概率分别为0.4,0.3,0.2,0.1。现随机抽取3名市民，记X为出行方式互不相同的市民数量。（1）求X的分布列；（2）若在X=2的条件下，公交出行市民数Y≥1的概率为p，求p的值。答案与解析：（1）X的可能取值为0,1,2,3。P(X=0)=C(3,3)·(0.6)³=0.216；P(X=1)=C(3,1)·0.4·(0.6)²=0.432；P(X=2)=C(3,2)·(0.4)(0.6)·(0.5)=0.288；P(X=3)=0.4·0.3·0.2=0.024。（2）X=2时，组合方式为(公交,地铁,自行车/私家车)或(公交,自行车/私家车,地铁)，其中Y≥1的概率为(0.4·0.3·0.8+0.4·0.2·0.7)/0.288=11/16。第六部分：新定义与极值问题（共2题，每题14分）第6题（14分）：设函数f(x)=x²+ax+b在x=1处取得极小值，且f(0)+f(2)=8。（1）求f(x)的解析式；（2）若对于任意x₁,x₂∈[-1,3]，恒有|f(x₁)-f(x₂)|≤4，求实数a的取值范围。答案与解析：（1）f'(x)=2x+a，极小值点x=1，故a=-4。f(0)+f(2)=b+(4-4+b)=8，得b=4。f(x)=x²-4x+4。（2）f(x