抽象代数题集

抽象代数题集

一、单项选择题(在每小题的匹个备选答案中,选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号

内。每小题3分)

1.设Q是有理数集，规定ffW=肝2;g(x)=x2+1,则(fg)(x)等于(B)

A.x202x01B.x203C.x204x05D.x20x03

2.设f是A到B的单射，g是B至Ijc的单射，则gf是蛭心的(A)

A单射B.满射C.双射D.可逆映射

3.设3={(1),(12).(13),(23),(123),(132)}，贝心中与元素(132)不能交换的元的个数是(C)。

A.1B.2C.3D.4

4.在整数环Z中，可逆元的个数是(B)。

A1个B.2个C.4个D.无限个

5.剩余类环Zio的子环有(B)。

A.3个B.4个C.5个D.6个

6.设G是有限群，a】G,且a的阶|1|=12,贝IjG中元素a。的阶为(B)

A.2B.3C.6D.9

7.设G是有限群对任意a,b】G,以下结论正确的是(A)

4(abV1Ob01a01B.b的阶不一定整除G的阶

C.G的单位元不唯一D.G中消去律不成立

8.设G是循环群，则以下结论不正确的是(A)

AG的商群不是循环群B.G的任何子群都是正规子群

C.谣交换群D.G的任何子群都是循环群

9.设集合归{a,b,c),以下A1顺子集为等价关系的是(C)

A.Ri={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}

B.R2=((a.a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c))

C.R3=((a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}

D.R4={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)f(b,c),(c,b))

10.设f曷倒B的满射，g勒到c的满射，则gf曷倒c的(B)

A单射B.满射C,双射D,可逆映射

11.设%={(1),(12),(13),(23),(123).(132)),则&中与元素(12)能交换的元的个数是(B兀

A.1B.2C.3D.4

12.在剩余类环z。中，其可逆元的个数是(D)。

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.设(R,+;)是环，则下面结论不正确的有(C)。

A.R的零元惟一B.若x1a10,则x11a

C.对a1R,a的负元不惟一D.若alblalc，则b1c

14.设G是群aG且a的阶|a|=12,贝脂中元素a一的阶为（B）

A2B.3

C.6D.9

15.设G是有限群,对任意a,b1G,以下结论正确的是（A）

A|a|||G|B.|b|=oo

C.G的单位元不唯一D.方程axDbSG中无解

16.设G是交换群，则以下结论正确的是（B）

A.G的商群不是交换群B.G的任何子群都是正规子群

C.满盾畸D.G的任何子群都是循环群

17.设归H,7,i「i}.B=[1,-1）,aOa2,a£A则是从A到6的（A）。

A满射而非单射B.单射而非满射

C.―D.既非单射峥踊

18.设归R（实数域）,B=R°征实数集）,〃:ar10，aW4则，是从/倒B的（C）。

A满射而非单射B.单射而非蒯

C.蝴D.既非单射也非满射

19.设忙（所有实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成例A的集的同态满射的是（C）。

A.x-►10xB.xT2x

C.x7|x|D.xT-x

20.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法（C）

A.构成f交换群B.构成f循畸

C.构成一个群D.构成一个交换环

21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（D）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22.剩余类加群Z8的子群有（B）。

A.3个B.4个C.5个D.G

23.下列含有零因子的环是（B）

A高斯整数环Z[i]B.数域P上的n阶全矩P钙

C偶数环2ZD.剩余类环Z5

24.设仇卜，•）是f环，则下歹雄论正确的是（D）

AR中的每个元素都可逆B.R的子环一定会想

C.R一定含有单位元D.R的理想一定是子环

25.设群G是出介循环群，则群G的子群个数为（A）

A.4个B.5个C.6个D.7个

26.设归{a,b.c},A{1,2,3},则从集合画集合B的满射的个数为（D）。

A.1B.2C.3D.6

27.设集合A={a,b,c),则以下集合是集合A的分类的是(C)

A.P]=a,b,a,cB.P2=a,btc,b,a

C.P3=a,b,cD.P4=a,b,b,c,c

_Ij；；Ja,bOZ|

28.设R二°，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则

这个矩阵环是(A)o

A有单位元的交换环B.无单位元的交换环

C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环

29.设8={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，则8的子群的个数是(D)。

A.1B.2C.3D.6

30.在高斯整数环Z[i]中，单位元是(B)。

A.0B.1C.iD.1i

31•.设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是(B)。

A.任意两个子群的乘积还是子群B.任意两个子群的交还是子群

C任意两个子群的并还是子群D.任意子群一定是正规子群

32.祁介循环群的生成元个数是(C)o

A.1B.2C.6D.7

33.iSA={a,b,c),B={1,2,3),则从集合腌lj集合B的映射有(D)。

A.1B.6C.18D.27

34.设［G］］为群其中谣实数集而乘法0:a1b1a1b1k，这里k为G中固定的常数。那么群瓜］［中的单位元e

和元x的逆元分别是(D)

A.OJ01X;B/和。；C.k和x12k;D.口14口匚161及)}

35.设a,b,c和x都是群G中的元素,且x2aUbxc01,acMxac,那么x1(A)

1111011011

A.bea0;B.c°a,;C.abe,;D.bca0

36.下列正确的命题是(A)

A欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；

C唯一分解环必是主理想环；D.唯一分解环必是欧氏环。

37.设H是群G的子群且陌左陪集分类DH,aH,bH,cH1。如果|川6,那么G的阶|G'(B)

A.6;B.24;C.10;D.12o

38.设G是有限群，则以下结论正确的是(A)

AG的子群的阶整除G的阶B.G的任何钿都是正规子群

C.混交换群D.G的任何子群都是循环群

39.设f:G】I5是一个群同态映射,那么下歹雎荀吴的命题是(D)

Af的同态核是的正规子群；B.5的正规子群的原象是a的正规子群；

C.G1的子群的象是0的子群;D.Gi的正规子群的象是仇的正规子群。

40.关于半群,下列说法正确的是：(A)

A半群可以有无穷多个右单位元B.半群一定有一个右单位元

C.半群如果有右单位元则一定有左单位元D.半群一定至少有一个左单位元

二、填空题(每空3分)

1.设A曷n元集，B是n元集，那么腌响的映射共有()个.产

2.2.n次对称群sn的阶是(n!).

3.一个有限非交换群至少含有(6)个元素.

4.设G是p阶群,(p是素数)，则G的生成元有(刈)个

5.除环的理想共有(2)个.

6.剩余类环z。的子环S={⑹，⑵,[4]),则S的单位元是([4]).

7.在i+3,12,丁3中，(i13)是用1数域Q上的代数元

8.V2在有理数域Q上的极小多项式是((/02))

9.设集合A={a,b},B={1,2,3),贝ljA1B=({(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.)

10.设R是交换环，则主理想(a)=(Ra1(ralma|r1R,m1Z).)

11.设10(5431),则10*10(1345).

12.设F是9阶有限域则F的特征是(3).

13.设1.1(351)。1(2154)是两个循环置换，则[3011(C342))

14.设F是125阶有限整环,则F的特征是(5).

15.设集合A含有3个元素，则AIA的元素共有(9)个.

16.设群G的阶是2n,子弹■的正规子群，其阶是n,则G关升的商群所含元素的个数是(2).

17.设a、b是群G的两个元，则(的T=()b°2a7).

18.环z0的可逆元是([1],[3],[7].[9]).

19.欧式环与主理想环的关系是住理想环不一定是欧式环,但欧式环一定是主理想环).

20.如果f是A与胴的一映射，a是A的一个元，贝ljf[11]f[aH](a)。

21.设群G中元素a的阶为m,如果a□七，那么m与n存在整除关系为磁除n)。

22.设10(31425)是一1^盾环置换，那么(10110((52413)).o

23.有限群G的阶是素数p,则混(循环)群。

24.若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为

{有限和0xayIXpYjOR)

(1t()。

25.群(Zi2,1)的子群有(6)个。

26.由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个(群G的变换群)同构。

27.设A、B分别曷n、n个元组成的集合，则|AB|=()。m

28.设归{a,b,c),则可定义A的(5)个不同的等价关系。A的分类

M={{a,cl,bl确定的等价关系是RO({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)))o

29.设G是6阶循环群,则G的生成元有(2)个。

30.非零复数乘群3中由T生成的子群是（｛i.Ui,1,01））o

31.剩余类环Z；的零因子个数等于（0）<>

32.素数阶有限群G的子群个数等于（2）0

33.剩余类环Z6的子环斗⑹，⑶｝，则S的单位元是（［3］）。

34.群’£^6,6是G的单位元则Ye）是（d的单位元）。

35.复数域的特征是（0）.

36.在剩余类环（Zi2，0,•）中，⑹•⑺=（［6］）.

37.在3-次对称群53中，兀素（123）的阶为：（3）.

38.设z和zm分别表示整数环和模厕余类环，则环同态f:Z1Zmn1［n］的同态核为（mZ1｛mr|r1Z｝）

39.V2在有理数域上的极小多项式为（x312）

40.无限循环群一定和（整数加群亿0））同构.

三、判断题的断下列法是否正确，正确的请打,错误的请打“1”，每小题3分）

1.设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（）

2.群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下,仍在该非空子集

之中。（✓）

3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。f：（WG是一个映射，且f（x）=7*,x°G.贝什是G至IJG的同

4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（1）

5.设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（✓）

6.设G是n阶有限循环群,则G同构于模n剩余类加群ZEJ。(✓)

7.设1：G1G是群同态，则，将G的单位元不一定映射为G的单位元。（1）

8.设R是环，A,B是B的任意两个理想，则AB也是环R的理想。（✓）

9.域的特征可以为任何自然数（1）

10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.（”）

11.4次交错群人在4次对称群s,中的指数为4.（1）

12.复数域是实数域的单代数扩张。（V）

13.除环一定是域（）

14.3-次对称群&的中心是⑴（V）

15.整数环的商域是有理数域.（✓）

16.无限循环群和整数加群同构（✓）

17.多项式X?13在有理数域上可约。（1）

18.在特征为p的域F中始终有（aOb）°DaPO*0a,b1F.（✓）

19.高斯整数环Z[i]是唯一分解环.（V）

20.有限集合到有限集合的单射不一定是满射。（1）

21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。（✓）

22.设1:G]□金是群自到％的同态，则同态核Ker（II）是Gi的正规子群.（✓）

23.素数阶群不一定是循环群。（）

24.设（zj,・）为整数环,p为素数，则。乙1,・）是（乙1.・）的极大理想。（✓）

四、证明题

1.设为有理数域，设T0{a0bV2\a>bOQ],则T按数的乘法和加法构成T域（6分）

证明：T非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且

000aUb&07,（aUb汲）0%T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法和加

法构成f或。

2.设E是F的扩域，且（E:F）=1,则目.（6分）

证明：用反证法:若E1F,则存在xOE,x1F,这样（E:F）02,矛盾！

3.证明：交换群的商群是交换群.（8分）

证明：设G为交换群，且川G,则矩关于正规子群H的商群，且对

任意aH,bHim有（aH）（bH）口（ab）H口（ba）H□（bH）（aH）

故G/H是交换群.

4.设A0{1,01,i.0i},B0（1,01l,Mn是数的乘法，证明:（A;）~（B;）。（SS心'表示（A;）与（B,）

是满同态）（8分）

证明:构造映射：f：A1B,101,0101,1101,Oil01,则容易验证千是（A,底ljRD的同态映射

5.证明:设G=0000|a0/?^则G关于矩阵乘法构成（睽乙。）的子半群《分）

证明：对任意的故由子半群的判定知，G关于矩阵乘法构成（用/2⑼的子半群,得证.

6.设a是群G的任一元素，若a的阶I|aR，求证：aUa°1.（6分）

证明：由题设我们知道：a2[e,对这个式子的两边同时乘以a得

0一。2[0a。”,0（。。'Q）QOQ。'利用群G中逆元和单位元的I轴,即

得,aUav1.

7.设£=笑”即03ul=l,G=B,0,O2证明：有如下的群同构：。，0）三（G;）,这

里c（[0]）=1,（T（[1]）=£,<T（[2]）=02o（8分）

证明：容易验证下述映射

2

1:z3□G,[0]D1,[1]Q0,[2]D0

是双射，且1保持运算，即：1（[i][j]）1□（[i]）0（[j]）,0[i],[j]1z3.

由同构映射的定义，即得（（Z3，0）三（G;）.

8.设G是R2*2中所有可逆矩阵组成的集合，

⑴.证明G关于矩阵的乘法成群。（6分）

（五）・|_°1的阶是多少?（4分）

（iii）.的阶是多少?（4分）

（iv）.证明G不是交换群（6分）

解：⑴注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式

等于它们行列式的乘积,

由此‘AB，G,A”'G,AB'G,故G关于矩阵的乘法成群.

(ii).注意到此时群G的单位元是：经过简单计算，我们可知I)!的阶是3.

LU1J1—1U

(iii).的阶是1.

(iv).通过简单计算，得344故G是非交换群。

解答题：

1.设Q是有理数集；“+”是数的加法，找((Q，+)的所有不同的自同构映射。(8分)

解：对任意XIQ,定义fx：QlQ,alax,对alQ,则集铮Q；但xio｝为

(Q,0)的所有自同构映射.

01O0001oo00100

2.设G=[D41，/2，D〃8],其中A.=goip°go11

A.=[100,1/1,0/0,00',A.

列出G的乘法蚓车乘法)运算表。

解：运算表如下：

AAA2A3AlA5AA7A

AAA

A

AA,

AAA

AA

A4AA

3.（1）写出3-次对称略的所有元素;(4分)

⑵求出s。中所有元素的阶；（6分）

⑶求出S3中所有元素的逆元（6分）

解:

2323123

Do00tD020

⑴S3的全部元素为:12332213

123123123

030040050

2313232

（2）各元素的阶为:|01|0也|0|04|021a|0|0s|03,|Oo|01.

(3)1.,1.,12,1,14,1s|的逆元分别为：10J:J21

3,04,13

4.找出乙2中的所有零因子.（6分）

解:⑵，⑶，⑷，⑹，⑻,⑼二何为所有的零因子.

5.在有理数域的扩域Q0中，求:1+次的逆。（10分）

解：由于1132在Q上的最小多项式是]pM=工3-2.因此由定理4.3.3，得到

Q（V2）O{ao:0a1V20a2V4|a0>aja20'.Q}

由于1+该在0（V2的逆元仍然是Q0注中的元素，故可设）1+显在Q（V2）的逆元为

%的侬海厕（1+V2）（ao0aiV20a2V4）=1

将p（V2）=（V2）3-2=0代于上式，并经过简单计算，得至IJ（1OV2）01=iV40iV201

6.设H1{⑹，⑶，⑹，[9]}W乙2,写出A2关于H陪集分解式。（8分）

解：乙2关升的陪集分解式为

Zi2=11b1b1b1b111111141b11io101b151[3]till11

7.列出整数模集4余类环zo中元素的加法和乘法运算表.（12分）

解：Z6;（⑹⑴⑵⑶⑷⑸}

zo中元素的加法和乘法运算表如下：

*[0](1)[2](3]⑷[5]

(0][0J(1)[2]13]⑷⑸

[1][1][2](3)(4J[5][0]

⑵[2][3][4][5][0][1]

⑶⑶[41F51F01rn⑵

[4][4][5][0][1][2][3]

[5][5][0][1][2][3][4]

0[0][1][2][3][4][5]

[0][0][0][0][0][0][0]

[1][0][1]⑵[3][4]⑸

⑵[0][2][4][0]⑵[4]

[3][0][3][0][3][0][3]

[4][0][4]⑵[0][4]⑵

[5][0]⑸[4][3]⑵[1]

8.写出4中每个元所含整数。(8分)

解[0]1{4q|q|Z),[1]1(4q1l|q|Z},[2]1{4q12|q|Z},[3]1{4q13|q1Z)

9.在s。中，计算(12)(23)与(23)(12)。(6分)

解：(12)(23)=(123),(23)(12)=(132)<>

10.求出S3的所有正规子群c(1。分)

解：Ss的所有正规子群为：为0((1)1,H20A30{(1),(123),(132)1,H30ss.

11.设归11,20,写出A的所有双变换的集合C,关于变换的乘法列出G的运算表。(12分)

解:所有双变换为：f：101,202,g:102,201,则G1{f,g},其运算表如下：

•fg

ffg

ggf

12.求模8的剩余类环Z8的所有子环。(8分)

解：Z&的所有子环为:Zs;{[0]);{[0],[4]};{⑹⑵⑷[6]}

(二)

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的

序号填在题干的括号。每小题3分）

1.设Q是有理数集规定fM=x+2-,gM=x2+1则（千8）3等于（8）

A.x2+2x+lB.%24-30.x24-4%+5D.x2+x+3

2.设f是A到B的单射，g是B至IJC的单射，则酉是A到C的（A）

A.单射B.满射C双射D.可逆映射

3.设=1（1）,（12）.（13）,（23）,（123）,（132））,则.中与元素（132）不能交换的元的个数是（C）。

A.1B.2C.3D.4

4.在整数环Z中,可逆元的个数是（B）。

A1个B.2个C4个D.无限个

5.剩余类环乙0的子环有（B）。

A.3个B4个C.5个D.6个

6.设G是有限群，aGG,且a的阶|a|=12,则G中元素的阶为（B）

A.2B.3C.6D.9

7.设G是有限群，对任意a.b€G,以下结论正确的是（A）

A.(ah')'1=b'1aB.b的阶不一定整除G的阶

C.G的单位元不唯一D.G中消去律不成立

8.设G是循环群，则以下结论不正确的是（A）

AG的商群不是循环群B.G的任何子群都是正规子群

CG是交换群DG的任何子群都是循环群

9.设集合归{a,b,c},以下AXA的子集为等价关系的是(C)

A.R2=(a»a),(a，b),(a>c),b)

B.R2=((a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)J

C.R3=((a,a),(b,b),(c,c)t(b,c),(c,b)}

D.R4={(a,a),(a,b),(b,a),(o,b),(b,c),(c,b)}

10.设f是A到B的满射8是B至IJC的满射则gf是/倒C的(B)

A.单射B.满射C.双射D可逆映射

11.设，={(1),(12),(13)f(23),(132)),则S3中与元素(12)能交换的元的个数是(B)。

A.1B.2C.3D.4

12.在剩余类环Zs中，其可逆元的个数是（D）。

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.设（R,+,♦）是环，则下面结论不正确的有（C）。

A.R的零元惟-B.若x+a=0,则x二-a

C.对2日，a的负元不惟一D.若a+b=a+c,则b=c

14.设G是群aGG,且a的阶|a|=12则G中元素a?2的阶为（B）

A.2B.3C.6D.9

15.设G是有限群,对任意a,b£G以下结论正确的是（A）

A.|a|||G|B|b|二8CG的单位元不唯一D.方程ax加在G中无解

16.设G是交换群则以下结论正确的是（B）

AG的商群不是交换群B.G的任何子群都是正规子群C.G是循环群D.G的任何

子群都是循环群

17.设M[1,-1,i,-i},B={1,-1L6：ATB,aTa2,VaEA,则。是从A到B的（A）。

A满射而非单射B.单射而非满射C.——映射D.既非单射也非满射

18.设环（实数域），时T（正实数集），Y：afO°,a£A,则丫是从A到B的（C）。

A满射而非单射B.单射而非满射C.-----------映射D.既非单射也^麒

19.设牛{所有实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是（C）o

A.x-*10xB.xT2x

C.xfx|D.X+X

20.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法（C）

A构成一个交换群B,构成一个循环群C.构成一个群D.构成一个交换环

21在高斯整数环7⑴中，可逆元的个数为①）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22.剩余类加群乙的子群有（B）。

A.3个B.4个C.5个D.6个

23.下列含有零因子的环是（B）

A翻^整数环Z[i]B.数域P上的n阶全矩阵环C偶数环2ZD.剩余类环Z5

24.设（R+,・）是一个环,则下列结论正确的是（D）

AR中的每个元素都可逆B.R的子环一定是理想CR一定含有单位元D.R的理想一

定是子环

25.设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（A）

A.4个B.5个C.6个D.7个

26.设A={a,b,c）,B=[1,2,3},则从集合A到集合B的满射的个数为（D）。

A.1B.2C.3D.6

27.设集合A={a,b,c},则以下集合是集合A的分类的是（C）

A.Pj=a,b,a,cB.P2=a,b,c,b,a

C.P3=a,b,cD.P4=a,b,b,c,c

28.设/?={£^hez],那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(A)o

A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环

C.无单位元的非交实环D.有单位元的非交换环

29.设S3=((1),(12),(13),(23),(123),(132)),则S3的子群的个数是(D)。

A.1B.2C.3D.6

30.在高斯整数环Z[i]中，单位元是(B兀

A.OB.1C.iD.-i

31..设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的名吉论正确的是(B)。

A任意两个子群的乘积还是子群B.任意两个子群的交还是子群C.任意两个

子群的并还是子群D.任意子群一定是正规子群

32.7阶循环群的生成元个数是(C)。

A.1B.2C.6D.7

33.设A={a,b,c),B={1,2,3),则从集合A到集合B的映射有(D)。

A.1B,6C.180.27

34.设(G,。)为群，其中得实数集，而乘法。：a。块k,这里k为G中固定的常数。那么群(G,。)

中的单位元e和元x的逆元分别是(D)

A0和-x;B.1禾口0;C.麻口x-2k;D.-k和-(x+2k)}

35.设a,b,c和x者R是群G中的元素，.且x2a=bxc~1,acx=xac„那么x=(A)

1111111

A.bc~a~;B.c~a~;C.a'be~;D.bcao

36.下列正确的命题是(A)

A欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；

C.唯一分解环必是主理想环；D.唯一分解环必是欧氏环。

37.设H是群G的子群，且G有左陪集分类如果|HR,那么G的阶|G|二(B)

A.6;B.24;C.10;D.12o

38.设G是有限群,则以下结论正确的是S)

AG的子群的阶整除G的阶B.G的任何子群都是正规子群

C.G是交换群DG的任何子群都是循环群

39.设f:Gi-a是一个群同态映射，那么下列错误的命题是(D)

Af的同态核是Gi的正规子群；BG2的正规子群的原象是自的正规子群；

C.0的子群的象是的的子群；D.Gi的正规子群的象是的的正规子群。

40.关于半群,下列说确的是：(A)

A半群可以有无穷多个右单位元B.半群一定有一个右单位元

C.半群如果有右单位元则一定有左单位元D.半群一定至少有一个左单位元

二、填空题(每空3分)

1.设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有(n）个.

2.n次对称群Sn的阶是(n!).

3一个有限非交换群至少含有(6)个元素.

4.设G是p阶群(p是素数)，则G的生成元有(尸1)个

5.除环的理想共有(2)个.

6.剩余类环Z,、的子环目⑹，⑵，⑷},则S的单位元是([4]).

7.在i+3,n2b3(中，(i+3)是有理数域Q上的代数元

8.&在有理数域Q上的极小多项式是((/一2).

9.设集合A={a,b},B={1,2,3),5HjAXB=(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.)

10.设R是交换环，则主理想(a)=(Pa={ra^na|reR,meZ).)

11.设TT=(5431),则n-1=(1345).

12.设F是9阶有限域，则F的特征是(3).

13.设n1=(351),7r2=(2154)是两个循环置换，则盯=((1342))

14.i§F是125阶有限整环，则F的特征是(5).

15.设集合A含有3个元素，则AX确元素共有(9)个.

16.设群G的阶是2n,子群H是G的正规子群.其阶是n,则G关于H的商群所含元素的个数是(2).

17.设a、b是群G的两个元则(0匕)-'=()b'1a~1).

18.环乙o的可逆元是([1],[3],[7],[9]).

19.欧式环与主理想环的关系是往理想环不一定是欧式环，但欧式环一定是主理想环).

20.如果千是A与A间的一映射，a是A的一个元，则.f-1[/(a)]=(a)。

21.设群G中元素a的阶为m,如果(=e,那么m与n存在整除关系为神除n)。

22.设n=(31425)是f5■循环置换，那：An-1=((52413).。

23.有限群G的阶是素数p,则G是(循环)群。

24.若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为

({有限和

^xfay.Ix.,y.€R)h

25.群(乙2，㊉)的子群有(6)个。

26.日凯莱定理任一个抽象群G都同一个(群G的变换群)同构。

27.设A、盼别是m、n个元组成的集合，贝lJ|AXB|=(rm)。

28.设归{a,b,c},则可定义A的(5)个不同的等价关系。A的分类

M=({a,d,{b}}确定的等价关系是R=({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)J)。

29.设G是6阶循环群，则G的生成元有(2)个。

30.非零复数乘群3中由一i生成的子群是({i,-i,1,-1))o

31.剩余类环Z7的零因子个数等于(0)。

32.素数阶有限群G的子群个数等于(2)。

33.剩余类环Z6的子环价{⑹，⑶}，则S的单位元是([3])。

34.群。e是G的单位元，贝!o⑥是(。的单位元)。

35.复数域的特是(0).

36.在剩余类环⑵2，+〃)中.[6]•[7]=([6]).

37.在3■次对称群+中，元素(123)的阶为：(3).

38.设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环，则环同态f:Z->Zm,n->[n]的

同态核为(mZ={mr|r£Z})

39.3立在有理数域上的极小多项式为（X3-2)

40.无限循环群一定和（整数加群亿+））同构

三、判断题第断下列说法是否正确.正确的请打~"，错误的请打“X”，每小题3分）

1.设G是群.则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（X）

2.群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。

（✓）

3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。f：GTG是一个映射，且f(x)=7x,xGQ则

千是G到G的同态映射。（X）

4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（X）

5.设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（✓）

6,设G是n阶有限循环群则G同构于模n剩余类加群Zn。（✓）

7.设是群同态，则4）将G的单位元不一定映射为G的单位元。（X）

8.设R是环，AB是R的任意两个理想，则A也也是环R的理想。（✓）

9•域的特征可以为任何自然数.（X）

io.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规了•群.✓）

11.4次交错群人在4次对称群S4中的指数为4.（X）

12.复数域是实数域的单代数扩。(✓)

13.除环一定是域(X)

143-次对称群国的中心是⑴.(✓)

15.整数环的商域是有理数域（✓）

16.无限循环群和整数加群同构（✓