河南省商丘市柘城县2025年秋八年级期末质量检测+数学试卷（试卷+解析）

2025年秋八年级期末质量检测数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每题3分，共30分）1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.若分式有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（）A. B. C. D.4.关于，的方程组的解满足，则的值是（）A. B. C. D.5.若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.不确定6.如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（）A. B. C. D.7.如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（）A. B. C. D.8.茄果类全自动嫁接机器人已投入试用，其嫁接速度是一个熟练工的3倍，嫁接1200株番茄，机器人的用时比一个熟练工的用时少3小时，设熟练工的嫁接速度为株/小时，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.9.已知，，，则的值为（）A.与值有关 B.4 C.8 D.1610.从，，，，，这六个数中随机抽取一个数，记为．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正整数，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是（）A. B. C. D.二、填空题（每题3分，共15分）11.分式与的最简公分母是______．12.已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为______．13.如图，是内的一点，且点到顶点，，的距离相等，连接，．若，则的度数为______．14.如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，______．15.对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程解是________．三、解答题（共8题，共75分）16.将下列各式分解因式：（1）；（2）．17.解方程：（1）；（2）．18.先化简，再求值，其中与、构成的三边长，且为整数．19.如图，在中，为边中点，过点作，连接，，分别交，于点，，且，．（1）求证：；（2）求证：．20.如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为．（1）在图中画出三角形关于轴对称的图形；（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______．（3）在轴上寻找一点，使的面积与面积相等．请直接写出点的坐标：______．21.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）请问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问共有几种购买方案？哪种方案的购买费用最少？22.定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．例如：，我们称是的“差分式”，解答下列问题：（1）分式是分式的“差分式”．（2）分式是分式的“差分式”．（含的代数式表示）；若的值为正整数，为正整数，求值．23.如图1，平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，，，其中x是方程的解．（1）求的长度．（2）如图2，分别以，为边作等边三角形，，连接，，线段交于点C，交点F，求的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G．求证：G为的中点．2025年秋八年级期末质量检测数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每题3分，共30分）1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.若分式有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，依据分式有意义时分母不为0的性质，列不等式求解x的取值范围即可．【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0，∴，∴．故选：C．3.若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值．【详解】解：∵将展开得,又∵,∴由得,将，代入得，符合条件,∴,故选：D．4.关于，的方程组的解满足，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，幂的乘方，同底数幂的除法，得，然后由，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：，得，即，∵，∴，解得，∵，所以代入得，故选：．5.若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.不确定【答案】B【解析】【分析】本题主要考查分式的性质，因式分解，等腰三角形的定义，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），对分子进行因式分解，结合三角形边长为正数的性质，推导三角形三边的关系，进而判断三角形类型．【详解】解：∵分式，∴分子，且分母，即，，∵三角形三边长均为正数，∴，又∵，∴，即，∵且，∴该三角形有两条边相等，是等腰三角形，故选：B．6.如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出再用角平分线求出，由线段垂直平分线得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出，最后用外角性质求出．【详解】解：根据尺规作图痕迹知，平分，是线段的垂直平分线，，，∵是线段的垂直平分线，∴，∴，，．故选：D．7.如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，故选：．8.茄果类全自动嫁接机器人已投入试用，其嫁接速度是一个熟练工的3倍，嫁接1200株番茄，机器人的用时比一个熟练工的用时少3小时，设熟练工的嫁接速度为株/小时，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合机器人用时比熟练工少3小时的等量关系列方程．【详解】解：设熟练工的嫁接速度为株/小时，则机器人的嫁接速度为株/小时，根据题意，得，故选：A．9.已知，，，则的值为（）A.与值有关 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可．【详解】解：∵①，②∴得∴又∵，即∴，∴．故选：D．10.从，，，，，这六个数中随机抽取一个数，记为．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正整数，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．先解不等式组确定a的取值范围，再解分式方程筛选出符合条件的a值，最后计算满足条件的a值之和．【详解】解：不等式组解得，解得，∴不等式组解集为，∵不等式组至少有三个整数解，∴，∵从，，，，，这六个数中随机抽取一个数，记为，∴a可以为1，2，3，5，6，解分式方程，去分母得，整理得，即∵方程解为正整数且当时，不是正整数，舍去；当时，是正整数，符合条件；当时，不是正整数，舍去；当时，是正整数，符合条件；当时，不是正整数，舍去．∴满足条件的a为2和5，其和为．故选：A．二、填空题（每题3分，共15分）11.分式与的最简公分母是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积．【详解】解：∵，，∴最简公分母．故答案为：．12.已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为______．【答案】##【解析】【分析】根据长方形的面积公式求出长方形的宽，再根据周长公式求出即可．【详解】∵长方形的面积为，长为，∴长方形的宽为：，∴长方形的周长为：，故答案为：．本题考查了多项式除以单项式，根据面积公式求出长方形的宽，正确化简多项式都是解决此题的关键．13.如图，是内的一点，且点到顶点，，的距离相等，连接，．若，则的度数为______．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，连接，先求出，又点到顶点，，的距离相等，所以，则，，得，则，最后由三角形内角和定理即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【详解】解：连接，∵，∴，∵点到顶点，，的距离相等，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．14.如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，再结合三角形内角和定理可得，分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果，熟练掌握等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．【详解】解：∵在中，，，∴，∴，∵是等腰三角形，，∴当时，，此时；当时，，故，此时点与点重合，故不符合题意；当时，，此时；综上所述，或，故答案为：或．15.对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________．【答案】【解析】【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．【详解】解：，∴方程为：，去分母得：，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．三、解答题（共8题，共75分）16.将下列各式分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键：（1）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式法进行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）原分式方程无解【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【小问1详解】解：，方程两边同时乘，得化简，得解得：检验，把代入得：，∴是原方程的解．【小问2详解】解：，方程两边同时乘得：，化简得：，解得：，检验，把代入得：，∴是原分式方程的增根，∴原分式方程无解．18.先化简，再求值，其中与、构成的三边长，且为整数．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，熟练掌握分式化简求值、三角形三边关系的应用是解题的关键；先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根据三角形三边关系得到，然后代数求解即可．【详解】解：原式，与、构成的三边长，，又为整数，，当时，原式．19.如图，在中，为边的中点，过点作，连接，，分别交，于点，，且，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，且，根据平行线的性质得出，证明为的垂直平分线，得出，最后根据等腰三角形的性质得出答案即可；（2）证明，得出，再根据线段间数量关系，得出答案即可．【小问1详解】证明：如图，连接，∵在中，，，，且，，，又为的中点，为的垂直平分线，，；【小问2详解】证明：根据解析（1）可得：，∴，∵在中，，，，即，∵在和中，，∴，，即．本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质．20.如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．（1）在图中画出三角形关于轴对称的图形；（2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______．（3）在轴上寻找一点，使的面积与面积相等．请直接写出点的坐标：______．【答案】（1）见详解（2）x轴，（3）【解析】【分析】本题考查作图−画轴对称图形，坐标关于对称轴的变换．以及根据网格性质直接写出点的坐标.（1）利用轴对称性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后连接即可；（2）利用轴对称的性质求解问题即可；（3）根据的面积与面积相等结合网格的性质即可求出P点．【小问1详解】解：如图，即所求；【小问2详解】在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是x轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为；故答案为：x轴，【小问3详解】如图，点P即为所求．点P的坐标为21.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）请问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问共有几种购买方案？哪种方案的购买费用最少？【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元（2）有3种购买充电桩的方案，购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少，最少费用万元【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式．（1）设A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程，解方程即可；（2）设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元，B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，列出不等式组，解不等式组即可．【小问1详解】解：设A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元，根据题意，得：，解得：，经检验是原方程的解，（万元），答：A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元；【小问2详解】解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，根据题意得：，解得，为整数，，，∴该停车场有3种购买充电桩的方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案