立体几何练习题集及详解

立体几何练习题集及详解立体几何是高中数学的重要组成部分，它不仅能够培养我们的空间想象能力，还能提升逻辑推理与运算求解能力。面对立体几何问题，许多同学常因空间概念模糊、辅助线添加不当或计算失误而感到困惑。本练习集精选了不同难度层次的典型题目，并辅以详尽解析，旨在帮助同学们夯实基础、突破难点，逐步提升解决立体几何问题的综合素养。一、基础巩固篇（一）空间几何体的结构特征与三视图例题1：下列命题中，正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点解析：本题主要考查棱柱、棱锥、棱台的定义。对于A选项，有两个面平行，其余各面都是四边形，但若这些四边形没有公共边相互平行，则不一定是棱柱，比如两个底面平行但侧面不平行的几何体，故A错误。B选项中，“其余各面都是平行四边形”是棱柱的必要条件，但并非充分条件，想象一个上下底面平行且全等的平行六面体，若将其中一个底面扭转一定角度，使得侧面仍为平行四边形，但此时已不是棱柱，故B错误。C选项，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体才叫棱锥，这里缺少“有一个公共顶点”的关键条件，比如一个底面为四边形，侧面为四个三角形但顶点不重合的几何体，显然不是棱锥，故C错误。D选项，棱台是由棱锥截得的，因此其各侧棱的延长线必然交于原棱锥的顶点，故D正确。答案：D。例题2：一个几何体的三视图如图所示（单位：长度单位），则该几何体的体积为多少？（此处省略三视图，实际题目中应有图示）解析：解决三视图问题，关键在于由三视图还原出直观图。首先，我们需要仔细分析主视图、俯视图和侧视图。通常，俯视图确定底面的大致形状，主视图和侧视图确定几何体的高度和各部分的相对位置。假设该三视图对应的几何体是一个组合体，例如下部为一个长方体，上部为一个三棱锥。我们可以分别计算各部分的体积再相加。对于长方体，其长、宽、高可从三视图中直接读出或通过简单计算得到；对于三棱锥，要明确其底面形状和高。在计算过程中，务必注意单位是否统一，并检查各部分尺寸是否对应准确。（此处需根据具体三视图数据进行计算，假设长方体体积为V1，三棱锥体积为V2，则总体积V=V1+V2）。答案：（根据具体计算结果填写）（二）空间点、直线、平面之间的位置关系例题3：已知直线a，b和平面α，β，下列命题正确的是（）A.若a//α，b//α，则a//bB.若a//α，a//β，则α//βC.若a⊥α，b⊥α，则a//bD.若a⊥α，a⊥b，则b//α解析：本题考查空间线线、线面、面面位置关系的判定定理和性质定理。A选项，若a//α，b//α，则直线a与b可能平行、相交或异面，这是因为平行于同一平面的两条直线位置关系不确定，故A错误。B选项，若a//α，a//β，则平面α与β可能平行，也可能相交，例如直线a平行于两个相交平面的交线时，满足a//α且a//β，但α与β相交，故B错误。C选项，由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确。D选项，若a⊥α，a⊥b，则b可能平行于α，也可能在α内，故D错误。答案：C。例题4：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：AC⊥BD1。（此处省略正方体图形，实际题目中应有图示）解析：证明线线垂直，常用的方法有：（1）利用线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的任意一条直线；（2）利用三垂线定理及其逆定理（需注意适用条件）；（3）通过计算两条直线所成角为90度。在正方体中，我们可以尝试寻找一条直线与其中一条直线垂直，并证明另一条直线在该平面内。连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC。又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD。而DD1与BD是平面BDD1内的两条相交直线，因此AC⊥平面BDD1。因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1。证明完毕。二、能力提升篇（一）空间角与距离的计算例题5：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，求直线PC与平面PAB所成角的正切值。解析：求直线与平面所成的角，关键是找到直线在平面上的射影，该直线与其射影所成的锐角即为所求线面角。首先，根据已知条件，PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC。又AB⊥BC，PA∩AB=A，故BC⊥平面PAB。因此，直线PC在平面PAB上的射影为PB（因为BC⊥平面PAB，所以C在平面PAB上的射影为B）。所以∠CPB即为直线PC与平面PAB所成的角。在Rt△PAB中，PA=AB=1，所以PB=√(PA²+AB²)=√2。在Rt△PBC中，BC=1，PB=√2，tan∠CPB=BC/PB=1/√2=√2/2。答案：√2/2。例题6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求异面直线A1B与AC之间的距离。解析：求异面直线之间的距离，可以考虑以下方法：（1）定义法，即找公垂线段并求其长度；（2）转化为线面距离，若一条直线平行于一个平面，则该直线与平面的距离即为异面直线间的距离；（3）向量法等。对于正方体，构造辅助平面是常用策略。连接A1C1、BC1，因为AC//A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC//平面A1BC1。因此，异面直线A1B与AC之间的距离等于直线AC到平面A1BC1的距离，也等于点A到平面A1BC1的距离。设点A到平面A1BC1的距离为h。利用等体积法，VA-A1BC1=VC1-ABA1。易知S△ABA1=(1/2)*a*a=a²/2，C1到平面ABA1的距离为a（即棱长）。△A1BC1是边长为√2a的等边三角形，其面积为(√3/4)*(√2a)²=(√3/4)*2a²=√3a²/2。则(1/3)*S△A1BC1*h=(1/3)*S△ABA1*a，即(1/3)*(√3a²/2)*h=(1/3)*(a²/2)*a，解得h=a/√3=√3a/3。答案：√3a/3。（二）空间几何体的表面积与体积例题7：一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求该正四棱台的侧面积和体积。解析：正四棱台的侧面积公式为S=(1/2)*(c+c')*l，其中c、c'分别为上、下底面周长，l为斜高；体积公式为V=(1/3)*h*(S+S'+√(SS'))，其中h为高，S、S'分别为上、下底面积。首先计算斜高，过上底面对角线的一个端点向下底面作垂线，垂足在下底面相应边的中点附近，构成一个直角梯形，其高为棱台的高2，上底为(4-2)/2=1，因此斜高l=√(2²+1²)=√5。上底面周长c=4*2=8，下底面周长c'=4*4=16，故侧面积S=(1/2)*(8+16)*√5=12√5。上底面积S=2²=4，下底面积S'=4²=16，体积V=(1/3)*2*(4+16+√(4*16))=(2/3)*(20+8)=(2/3)*28=56/3。答案：侧面积12√5，体积56/3。三、综合应用篇例题8：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=1，M为A1B1的中点。（1）求证：CM⊥平面A1B1BA；（2）求平面CMB与平面A1B1BA所成二面角的大小。（此处省略图形，实际题目中应有图示）解析：（1）要证CM⊥平面A1B1BA，需证CM垂直于平面A1B1BA内的两条相交直线。在直三棱柱中，A1B1C1为等腰直角三角形（因为AC=BC，∠ACB=90°，直三棱柱中上下底面全等），M为A1B1中点，故C1M⊥A1B1。又因为CC1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1B1。而CC1与C1M相交于C1，所以A1B1⊥平面C1CM，因此A1B1⊥CM。在矩形A1B1BA中，A1A=CC1=1，A1B1=√(A1C1²+B1C1²)=√2，所以AB=√2，BB1=1。连接AM，BM，CM在平面A1B1BA上的射影为C1M在该平面上的投影（或通过坐标法计算向量CM与AB、AA1的数量积为零）。另解：建立空间直角坐标系，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，则C(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(0,1,1)，M(0.5,0.5,1)。向量CM=(0.5,0.5,1)，向量AB=(-1,1,0)，向量AA1=(0,0,1)。计算CM·AB=0.5*(-1)+0.5*1+1*0=0，CM·AA1=0.5*0+0.5*0+1*1=1≠0。哦，这里用AA1不对，平面A1B1BA内的直线应取A1B1和AA1，或AB和BB1。向量A1B1=(-1,1,0)，CM·A1B1=0.5*(-1)+0.5*1+1*0=0；向量AA1=(0,0,1)，CM·AA1=1，不为零。再取向量A1A=(0,0,-1)，也不行。换向量A1B=(-1,1,-1)？不，应取平面内不共线的两向量，如A1B1和A1A。向量A1A=(0,0,-1)，CM·A1A=0.5*0+0.5*0+1*(-1)=-1≠0。看来刚才的几何法思路中，A1B1⊥CM已证，再证CM⊥A1A或CM⊥AB即可。在坐标系中，向量CM=(0.5,0.5,1)，向量AB=(-1,1,0)，已证数量积为零，所以CM⊥AB。因为A1B1与AB是平面A1B1BA内的两条相交直线（都在平面A1B1BA内且不平行），所以CM⊥平面A1B1BA。（1）证明完毕。（2）由（1）知CM⊥平面A1B1BA，所以平面CMB过平面A1B1BA的垂线CM，因此平面CMB与平面A1B1BA所成二面角的平面角即为∠CMB（或其补角，需判断锐钝）。在Rt△CMB中，CM为直角边，MB可求。B点坐标(0,1,0)，M(0.5,0.5,1)，向量MB=(-0.5,0.5,-1)，|MB|=√(0.25+0.25+1)=√1.5=√6/2。|CM|=√(0.25+0.25+1)=√1.5=√6/2。所以△CMB是等腰直角三角形，∠CMB=45°。（2）答案：45°。四、解题策略与总结解决立体几何问题，首先要建立清晰的空间概念，善于观察图形，将文字语言、符号语言与图形语言有机结合。对于证明题，要熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，明确定理的条件和结论，学会逆向思考，即“要证什么，需证什么”。对于计算题，如空间角与距离、表面积与体积，要熟记公式，掌握常用方法（如等体积法求点面距、构造直角三角形