高一数学函数知识系统复习课件

高一数学函数知识系统复习课件引言：函数——高中数学的基石同学们，函数是我们进入高中数学世界后遇到的第一个核心概念，也是贯穿整个高中数学乃至大学数学的一条主线。从简单的数值计算到复杂的模型构建，函数思想无处不在。本次复习，我们将系统梳理高一阶段所学的函数知识，旨在帮助同学们构建清晰的知识网络，深化对函数概念的理解，提升运用函数思想解决问题的能力。请大家跟随我的思路，一起回顾这段充满挑战与乐趣的函数之旅。一、函数的基本概念1.1函数的定义在一个变化过程中，我们常常会遇到两个相互关联的变量。如果对于其中一个变量（通常称为自变量）的每一个确定的值，另一个变量（通常称为因变量）都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说因变量是自变量的函数。*集合与对应观点下的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。核心要点：*两个非空数集A、B；*对应关系f（可以是解析式、图像、表格等）；*任意性（A中任意x）、唯一性（B中唯一y与之对应）。1.2函数的三要素函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以也常说函数有两个基本要素：定义域和对应关系。*定义域：自变量x的取值范围。在研究函数问题时，首先要考虑定义域，它是研究函数一切性质的前提。*常见的定义域限制：分式分母不为零；偶次根式被开方数非负；零次幂的底数不为零；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1（后续会学到）。*对应关系：函数关系中，如何由自变量x得到函数值y的规则，通常用f表示。例如，f(x)=2x+1，表示对于自变量x，通过“乘2加1”的运算得到函数值。*值域：函数值的集合，即{f(x)|x∈A}。求值域要在定义域的前提下进行，常用方法有观察法、配方法、单调性法、图像法等。典型例题分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看定义域和对应关系是否完全一致。例：判断下列各组函数是否为同一函数：(1)f(x)=x与g(x)=(√x)²(2)f(x)=|x|与g(x)=√(x²)分析：(1)中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x≥0，定义域不同，不是同一函数。(2)中f(x)与g(x)的定义域均为R，且对应关系相同（对于任意x，|x|=√(x²)），故是同一函数。二、函数的表示方法函数的表示方法是我们刻画函数关系的工具，常见的有解析法、列表法和图像法。2.1解析法（解析式法）用数学表达式（公式）表示两个变量之间的对应关系。这是最常用的方法，具有严谨、准确、便于推理计算的优点。例如：f(x)=3x²-2x+1，y=1/x等。2.2列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点是直观明了，对于表格中的已知数据，查找函数值非常方便。例如：数学用表中的平方表、平方根表，以及生活中常见的工资表、成绩表等。2.3图像法用平面直角坐标系中的图形来表示两个变量之间的对应关系。图像法能非常直观地反映函数的变化趋势和一些性质（如单调性、最值等）。作图的基本步骤：列表、描点、连线（光滑曲线或直线）。注意：函数图像的特征是“垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点”，这是由函数定义中“唯一性”决定的。2.4分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是多个函数。例如：绝对值函数f(x)=|x|可以表示为分段函数：f(x)={x,x≥0{-x,x<0分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。处理分段函数问题时，要注意“分段讨论”的思想。典型例题分析：例：已知函数f(x)={2x-1,x≥1{x²,x<1求f(0)，f(2)，f(f(0))的值。分析：求分段函数的函数值，关键是判断自变量所在的区间，然后代入相应的解析式。f(0)：0<1，代入x²，得0²=0。f(2)：2≥1，代入2x-1，得2*2-1=3。f(f(0))=f(0)=0。三、函数的基本性质函数的性质是函数概念的深化，是研究函数图像和解决函数问题的依据。我们主要学习了函数的单调性和奇偶性。3.1函数的单调性（增减性）3.1.1定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：*如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。*如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。*如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间。3.1.2单调性的判断与证明*图像法：在单调区间上，增函数的图像从左到右是上升的，减函数的图像从左到右是下降的。*定义法：这是证明函数单调性的基本方法，步骤如下：1.取值：设x₁，x₂是给定区间D上的任意两个值，且x₁<x₂；2.作差：计算f(x₁)-f(x₂)；3.变形：对差式进行变形（因式分解、配方等），以便判断其符号；4.定号：判断f(x₁)-f(x₂)的正负；5.结论：根据定义得出函数在区间D上的单调性。3.1.3复合函数的单调性（初步）对于形如y=f(g(x))的复合函数，其单调性遵循“同增异减”的原则：*如果u=g(x)在区间A上是增函数，y=f(u)在区间B（B为u=g(x)的值域）上是增函数，那么y=f(g(x))在区间A上是增函数；*如果u=g(x)在区间A上是增函数，y=f(u)在区间B上是减函数，那么y=f(g(x))在区间A上是减函数；*如果u=g(x)在区间A上是减函数，y=f(u)在区间B上是增函数，那么y=f(g(x))在区间A上是减函数；*如果u=g(x)在区间A上是减函数，y=f(u)在区间B上是减函数，那么y=f(g(x))在区间A上是增函数。典型例题分析：例：证明函数f(x)=x²+1在区间[0,+∞)上是增函数。证明：设x₁，x₂是[0,+∞)上的任意两个实数，且x₁<x₂。则f(x₁)-f(x₂)=(x₁²+1)-(x₂²+1)=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)(x₁+x₂)。∵x₁<x₂，且x₁，x₂∈[0,+∞)，∴x₁-x₂<0，x₁+x₂>0。∴f(x₁)-f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)。∴函数f(x)=x²+1在区间[0,+∞)上是增函数。3.2函数的奇偶性3.2.1定义一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x：*如果都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。*如果都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。*如果函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，那么称它为非奇非偶函数。注意：函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称。如果一个函数的定义域不关于原点对称，则它一定是非奇非偶函数。3.2.2奇偶函数的图像特征*偶函数的图像关于y轴对称。*奇函数的图像关于原点对称。3.2.3奇偶性的判断步骤1.考察函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数；2.若定义域对称，再判断f(-x)与f(x)的关系：*若f(-x)=f(x)，则为偶函数；*若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；*若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数（此时f(x)=0）。典型例题分析：例：判断函数f(x)=x³-x的奇偶性。解：函数f(x)=x³-x的定义域为R，关于原点对称。f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-(x³-x)=-f(x)。∴函数f(x)=x³-x是奇函数。四、基本初等函数我们学习了几类重要的基本初等函数：一次函数、二次函数、幂函数。4.1一次函数与正比例函数*正比例函数：形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。其图像是过原点(0,0)的一条直线。当k>0时，函数在R上是增函数；当k<0时，函数在R上是减函数。*一次函数：形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。其图像是过点(0,b)且斜率为k的一条直线。性质与正比例函数类似，k决定增减性，b是直线在y轴上的截距。*定义域：R*值域：R*单调性：当k>0时，在R上单调递增；当k<0时，在R上单调递减。*奇偶性：当b=0时，是正比例函数，为奇函数；当b≠0时，为非奇非偶函数。4.2二次函数4.2.1定义与解析式形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。常见解析式形式：*一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)*顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。*交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)，其中x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标（即方程ax²+bx+c=0的两个实根）。4.2.2图像与性质二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线。*开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。*顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时）。*对称轴：直线x=-b/(2a)。*单调性：*a>0时，在区间(-∞,-b/(2a)]上单调递减，在区间[-b/(2a),+∞)上单调递增；*a<0时，在区间(-∞,-b/(2a)]上单调递增，在区间[-b/(2a),+∞)上单调递减。*最值：*a>0时，函数有最小值，当x=-b/(2a)时，y_min=(4ac-b²)/(4a)；*a<0时，函数有最大值，当x=-b/(2a)时，y_max=(4ac-b²)/(4a)。*与坐标轴的交点：*与y轴交点：(0,c)。*与x轴交点：解方程ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac。*Δ>0时，有两个不同交点；*Δ=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；*Δ<0时，没有交点。4.2.3二次函数在闭区间上的最值问题这是二次函数性质应用的重点和难点，核心是结合抛物线的开口方向、对称轴位置以及所给闭区间的关系进行分类讨论。思路：1.确定抛物线开口方向（a的符号）；2.求出对称轴x=h；3.分析对称轴x=h与给定闭区间[m,n]的位置关系：*对称轴在区间左侧（h≤m）；*对称轴在区间右侧（h≥n）；*对称轴在区间内（m<h<n）。4.根据不同情况，结合单调性求出函数在[m,n]上的最大值和最小值。典型例题分析：例：求函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。解：f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2，对称轴为x=1，a=1>0，开口向上。∵对称轴x=1∈[0,3]。∴当x=1时，函数取得最小值f(1)=2。又∵f(0)=0-0+3=3，f(3)=9-6+3=6。∴函数