苏科版数学八年级上册 第三章 实数 第3课时：实数的运算与大小比较

苏科版数学八年级上册第三章实数第3课时：实数的运算与大小比较一、教学内容分析  本节课在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的坐标系中，属于“数与代数”领域，核心在于发展学生的数感和运算能力。从单元知识链看，它前承“平方根、立方根”及“实数概念”，是学生从有理数域正式拓展到实数域后，对运算规则和序关系的一次系统性建构与确认，后启“实数在数轴上的表示”及后续函数、方程等学习，具有承上启下的枢纽作用。知识技能层面，要求学生理解实数范围内的运算法则（交换律、结合律、分配律）依然成立，并掌握借助计算器进行近似计算以及比较两个实数大小的基本方法。其认知层级需从“识记”规则上升至“理解”规则的合理性（与有理数运算的一致性）及“应用”规则解决新情境问题。过程方法上，本课是渗透“从特殊到一般”、“类比迁移”及“数形结合”思想的绝佳载体。例如，通过具体无理数的运算实例归纳一般法则，通过将实数与熟悉的数轴位置对应来比较大小，均是上述思想的具体化。素养价值渗透点在于，通过探索实数系运算的封闭性与有序性，让学生体会数学体系的严谨、和谐与扩展之美，感悟数学抽象与逻辑推理的力量，从而内化理性精神和科学态度。  学情研判需立足“以学定教”。学生已熟练掌握有理数的四则运算和大小比较，并对平方根、立方根及实数概念有初步认识，这为类比迁移提供了基础。然而，认知难点可能在于：对“无限不循环小数”（无理数）参与运算的“操作感”模糊，易产生畏难心理；在比较含无理数的实数大小时，容易陷入试图将其精确化为小数再比较的思维定势，而非灵活运用平方、估算法或数形结合。教学过程中，将通过“前测性提问”（如：“√2与1.5谁大？你是怎么判断的？”）和观察小组讨论中的观点交锋，动态把握这些思维节点。针对此，教学调适应提供差异化支持：对于基础薄弱的学生，提供从有理数到实数的具体、渐进式例子作为“脚手架”；对于思维活跃的学生，则引导其深入思考运算法则成立的本质（如：为何分配律对无理数也适用？），并挑战更具综合性的比较大小问题，满足其探究深度。二、教学目标  知识目标：学生能准确阐述实数运算法则（加法、乘法的运算律）与有理数保持一致，并理解其在实数范围内的普适性；能说出比较两个实数大小的常用方法（直接观察、平方、绝对值、借助数轴或计算器估算法），并能在具体问题中选择恰当方法。  能力目标：学生能够运用计算器对含无理数的表达式进行近似计算，并按要求确定结果的精确度；能够综合运用估算法、平方法或数形结合的方法，流畅、严谨地推理出两个实数的大小关系，并清晰表述判断过程。  情感态度与价值观目标：在探究实数运算规则统一性的过程中，学生能感受到数学知识体系的严谨与扩展之美，克服对无理数运算的陌生感与畏难情绪，增强数学学习的自信心与探究欲。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的类比迁移思维与数形结合思想。通过将有理数的运算和比较经验迁移至实数范围，体会数学知识扩展的一般逻辑；通过将抽象的实数与直观的数轴上的点建立一一对应，运用几何直观解决代数比较问题。  评价与元认知目标：学生能在完成例题和练习后，依据清晰的步骤标准（如：比较大小的步骤是否完整、方法选择是否合理）进行自我核对或同伴互评；能反思在解决实数大小比较问题时，自己习惯性首选的策略是什么，以及在不同情境下如何优化策略选择。三、教学重点与难点  教学重点为实数运算法则的理解与初步应用，以及实数大小比较方法的掌握。确立依据在于，从课程标准看，实数运算的封闭性和有序性是实数系作为“数”的核心属性，属于“大概念”；从学业评价看，实数的运算（特别是与乘方、开方结合）及大小比较是高频基础考点，是后续学习不等式、函数单调性、数值估算等内容的逻辑基石。掌握这些，意味着学生真正将实数“纳为己用”，完成了数系认知的关键一跃。  教学难点在于对无理数参与运算合理性的抽象理解，以及灵活、恰当地选用方法比较两个实数（尤其是均含无理数时）的大小。难点成因在于，无理数的无限不循环性使其无法像有理数那样进行精确的笔算，学生必须超越具体数值运算，从“运算律”的层面进行把握，认知跨度较大；比较大小时，方法多样，何时平方、何时估值、何时借助数轴，需要根据数字特征进行判断与决策，对学生分析问题的能力和思维灵活性要求较高。突破方向在于，通过丰富的具体实例让学生“看到”运算律在近似计算中的体现，以及通过对比不同方法的优劣，在解决具体问题中积累策略选择经验。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含数轴动态演示、比较大小方法步骤图）；实物投影仪；每位学生准备科学计算器。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含探究活动记录、分层练习题）；实数分类及有理数运算律回顾卡片。2.学生准备2.1知识回顾：复习有理数的运算律及大小比较规则；了解√2，√3，π等常见无理数的近似值。2.2学具：方格纸、直尺。3.环境预设3.1座位安排：小组合作式座位（46人一组），便于讨论与互评。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与认知冲突：教师在屏幕上出示：计算√2×√3与√6的值（保留两位小数）。请学生用计算器快速计算。“大家先别急着算，凭感觉猜一猜，√2×√3的结果，和√6是什么关系？是大于、小于，还是……可能相等？”（等待学生猜想并计算）。计算结果（均约为2.449）引发惊奇：“哎？看起来相等！这是巧合吗？”  1.1问题提出：“在有理数范围内，我们的运算有明确的法则。现在进入了实数这个更广阔的‘王国’，无理数这位新成员也要参与运算。那么，老规矩还适用吗？我们该如何确定任意两个实数谁大谁小呢？这就是今天我们要破解的核心谜题。”  1.2路径明晰：“我们将首先化身‘法则检察官’，用具体例子检验运算律；接着成为‘大小裁判官’，学习多种‘判案’手法。过程中，大家手中的计算器和数轴将成为得力助手。回想一下有理数比较大小的法宝，看看它们能否在实数世界继续发光发热。”第二、新授环节任务一：回顾旧知，搭建迁移桥梁教师活动：首先，通过快速问答激活记忆：“我们学过的有理数运算，有哪些基本的‘交通规则’？（加法和乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律）比较两个有理数大小，最基本的方法是什么？（化成小数或统一分母比较）”。随后，展示实数分类图，引导学生明确：“实数由有理数和无理数共同组成。既然运算律在有理数中畅行无阻，那我们今天的第一个大胆猜想就是——它们能否推广到整个实数范围？猜想需要验证。”学生活动：快速回应教师的提问，回顾有理数核心运算律和比较大小方法。观察实数分类图，理解验证猜想的意义。部分学生可能提出初步想法。即时评价标准：1.能否准确、流利地说出至少三条有理数运算律。2.能否清晰表述有理数比较大小的核心思路（统一形式）。3.是否对“猜想验证”的数学探究路径表现出认同和兴趣。形成知识、思维、方法清单：★实数运算律的猜想：基于数学体系的一致性与扩展性，提出加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在实数范围内仍然成立的猜想。这是本节课逻辑推理的起点。▲类比迁移思想：将解决已知问题（有理数）的经验和方法，尝试应用于未知或更一般情境（实数）中。教师提示：“这是我们探索新领域时一个非常有力的思维武器。”任务二：实证探究，验证运算律教师活动：抛出具体验证任务：“口说无凭，实例为证。请各小组任选一条运算律（如分配律：a(b+c)=ab+ac），并选取a，b，c为具体的实数（可以包含像√2，π这样的无理数），利用计算器计算等号两边的近似值（保留足够多的小数位），看看是否‘大致相等’。”巡视指导，关注学生选取的数值是否有代表性（正数、负数、含0、纯无理数、有理数与无理数混合）。收集各组数据后，引导学生思考：“多个例子都支持我们的猜想，但这能算严格证明吗？计算器显示的是近似值哦。”（引发对“证明”与“验证”差异的思考）进而总结：“虽然严格证明需要更深的数学知识，但大量实例让我们有足够信心接受这个结论。所以，在实数范围内进行运算时，我们可以像在有理数中一样，放心地使用这些律来进行简化和变形。”学生活动：小组合作，商议选取验证哪条运算律及具体的数值。分工操作计算器，记录并比对计算结果。观察多组数据，形成“运算律很可能成立”的直观感受。参与讨论“近似验证”与“严格证明”的区别。即时评价标准：1.小组选择的验证数值是否具有多样性和典型性。2.计算操作是否规范，记录是否清晰。3.能否在讨论中理解“实例验证”是支持猜想的重要手段，但不是逻辑证明。形成知识、思维、方法清单：★实数运算律：实数范围内，加法、乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律仍然成立。这意味着我们处理实数式子时，可以进行合并、展开、重新组合等变形。★计算器的使用：对含无理数的表达式进行近似计算是重要技能。需注意输入格式、运算顺序和精确度要求。▲数学探究中的“验证”：通过特例检验猜想，是发现规律的重要步骤。教师可说：“虽然我们不能检查所有情况，但多方位的验证能给我们很强的信心，就像医生通过多项检查来诊断病情一样。”任务三：策略探索，比较实数大小（一）——直接法与估算法教师活动：出示第一组比较题：①3与√7；②π与3.14。提问：“这两组数，能不能直接看出大小？你的依据是什么？”引导学生总结直接法（正数>0>负数；正数绝对值大的正数大，负数绝对值大的反而小）。接着出示挑战：③√5与2.2361。追问：“还能直接判断吗？看起来都是正数且很接近。怎么办？”启发学生利用√4=2，√9=3，所以√5约在2.2到2.3之间进行估值，再与2.2361比较。引出估算法的关键：寻找与被开方数最接近的完全平方数。“同学们，当数字‘脸生’时，我们给它找个‘熟人’（完全平方数）做参照，就能看出它的‘身高范围’了。”学生活动：积极思考并回答前两组问题，总结直接比较的情况。面对第三题，尝试估算√5的大致范围。可能有的学生想到用计算器算具体值比较，教师肯定其工具使用，同时引导思考：“如果不允许用计算器，我们还能判断吗？”从而聚焦估值策略。即时评价标准：1.能否正确运用正负数大小规则进行直接判断。2.能否主动联想到利用完全平方数对被开方数进行“卡位”估值。3.估算过程是否合理，表述是否清晰。形成知识、思维、方法清单：★实数大小比较的直接法：依据正负性进行快速判断。牢记“正数>零>负数”，“两个负数，绝对值大的反而小”。这是比较的第一步。★估算法（用于含无理数的正数比较）：通过寻找相邻的完全平方数，确定无理算术平方根的整数部分及大致范围。例如，由4<5<9得2<√5<3，进一步可细化。教师提示：“这就像在地图上用两个地标来确定一个未知地点的区域。”任务四：策略探索，比较实数大小（二）——平方法与数轴法教师活动：出示更复杂的比较题：④√7+√2与√10+1（提示：直接估算法有些麻烦）；⑤√3与1.7。对于④，引导学生思考：“如果两边都是正数，且不方便直接估算，我们能否通过一种运算让无理数‘现出原形’？比如，把它们同时平方试试看？”组织学生尝试平方后比较(√7+√2)²与(√10+1)²的大小，注意提醒完全平方公式的应用。对于⑤，则引导：“除了算数值，我们还能否借助图形工具？数轴上的点是如何表示实数的？√3对应哪个点？”动态演示在数轴上标出1.7和√3对应点的位置。“看，数轴这个‘标尺’一目了然地告诉我们谁在右边谁就大。反过来，比较大小的时候，我们是把它们‘请’到数轴这个公共的‘擂台’上来一较高下。”学生活动：对于问题④，在教师引导下尝试对两边平方，展开并比较结果，感受平方法如何将根号比较转化为有理数比较。对于问题⑤，回忆实数与数轴上点的一一对应关系，在草稿纸上或想象中绘制数轴，标出两点，直观判断大小。比较两种方法的适用情境。即时评价标准：1.运用平方法时，平方操作是否准确，展开、化简、比较的步骤是否完整。2.能否清晰说明数轴上点位置与实数大小的对应关系（右大左小）。3.能否初步意识到不同题目特征可能对应不同的优选方法。形成知识、思维、方法清单：★平方法：适用于比较两个正实数的大小，特别是都含算术平方根时。原理：若a>0,b>0，则a>b⇔a²>b²。操作时需注意两边是否均为正，以及平方后的化简。▲数轴法：利用“数轴上的点与实数一一对应，右边的点表示的数总比左边的大”这一几何直观来比较大小。非常直观，是数形结合思想的典型应用。教师点评：“平方法是‘代数硬算’，数轴法是‘几何直观’，各有各的妙处。”任务五：综合辨析，方法优化选择教师活动：呈现一组实数比较题：A.√15与3.87；B.√10与π；C.(√61)/2与0.5；D.√a+2与√a+1(a≥0)。不要求学生立即计算，而是开展“方法预选”活动：“请大家当一回‘策略军师’，针对每一题，快速思考并小组讨论：优先选用哪种方法？理由是什么？”巡视倾听各组的讨论，邀请小组分享他们的策略选择及理由。重点引导辨析C、D两题：C题可能需要先估算√6范围，或变形后比较；D题则直接利用不等式性质（a≥0时，√a+2>√a+1）。总结：“看来，没有一种方法包打天下。我们要先‘诊断’数字的特征，再‘对症下药’，选择最直接、最可靠的方法。”学生活动：小组展开热烈讨论，分析每个题目的数字特征，回忆并比较不同方法的适用条件，形成小组的策略共识。派代表分享，并倾听其他小组的不同思路，进行思维碰撞。在教师引导下，深入理解C、D题的解决关键。即时评价标准：1.小组讨论是否围绕“方法选择依据”展开，而非直接计算答案。2.分享时能否清晰陈述选择某种方法的理由（如：“因为都是负数，所以用直接法看绝对值”）。3.能否吸收其他小组的合理建议，优化自己的策略。形成知识、思维、方法清单：★方法选择策略：比较实数大小前，先观察特征：①判断正负（直接法）；②若均正，看是否易估值或含相同根式；③若含根式且形式复杂可考虑平方法；④数轴法适用于有明显参照点或需直观理解时。▲数学决策思维：面对多解问题，养成先分析、后选择策略的习惯，是高效解决问题和高阶思维的表现。教师强调：“磨刀不误砍柴工，好的策略选择往往事半功倍。”第三、当堂巩固训练  设计分层练习题，学生根据自身情况至少完成基础层和综合层。  基础层（巩固核心规则）：1.口答：实数运算中，下列变形依据哪条运算律？(3+√2)+√5=3+(√2+√5)。2.比较大小（直接写出结果）：(1)√3____1.732;(2)√5____2.5。  综合层（情境应用与简单综合）：3.已知正方形的面积为10cm²，圆的面积约为9.42cm²（π取3.14），比较它们的边长（或半径）与3.1cm的大小。4.不用计算器，比较√12√3与√6的大小。（提示：尝试平方法或变形后分析）  挑战层（开放探究）：5.试说明：对于任意两个不相等的实数a和b，它们的平均数(a+b)/2一定介于它们之间。你能用数轴和实数的运算性质两种方式来说明吗？  反馈机制：基础层题目通过全班齐答或手势反馈快速核对；综合层题目由学生在学习任务单上完成，教师巡视选取有代表性的解法（包括正确和典型错误）用实物投影展示，引导学生进行同伴互评：“这位同学用了平方法，步骤完整吗？”“这个估算过程哪里可以更精确？”挑战层作为思考题，鼓励学有余力学生课后探究，下节课前简要分享思路。第四、课堂小结  引导学生进行自主结构化总结：“请用一两分钟，在笔记本上画出本节课的‘知识方法树’或思维导图，主干是‘实数的运算与大小比较’，看看你能延伸出多少分支（运算律、比较方法、思想方法等）。”邀请两位学生分享他们的梳理成果。教师在此基础上进行提炼：“今天我们共同确认了实数王国里的‘基本法’（运算律），并装备了多种‘裁判工具’（比较大小的方法）。核心思想是类比和数形结合。记住，遇到新数别慌张，想想旧知来帮忙；比较大小先观察，策略选对快又准。”  作业布置：必做作业（对应基础层与综合层练习）；选做作业（探究挑战层第5题，并寻找一个生活中的实例，需要用实数大小比较做出决策，简要说明）。预告下节课：“运用今天所学的‘比较术’，我们将更深入地探究实数在数轴上的精确表示，看看神秘的√2、π这些点究竟如何被‘捕捉’到数轴上。”六、作业设计1.基础性作业（必做）  (1)课本对应章节的练习题（聚焦于直接运用运算律进行简单变形及基础的大小比较）。  (2)用计算器计算（精确到0.01）：①2π√10；②(√5+1)²。  (3)比较下列各组数的大小：①√8与2.8；②√7与2.6；③1/2与(√21)。2.拓展性作业（建议大部分学生完成）  现有一根长度为√50cm的木条，需要裁断用于制作两个正方形框架，一个面积为20cm²，另一个面积为18cm²。不考虑损耗，通过计算和比较说明这根木条的长度是否足够。（要求：列出算式，并说明比较过程）3.探究性/创造性作业（选做）  (1)探索与证明：请尝试通过几何图形（如面积模型）直观说明乘法分配律a(b+c)=ab+ac对于正实数a,b,c成立。（可画图辅助说明）  (2)数学写作：以“我眼中的实数运算律”或“比较实数大小的一波三折”为题，写一篇简短的数学日记，记录本节课学习中的思考、困惑或领悟。七、本节知识清单及拓展★1.实数运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律；乘法对加法的分配律。这些律在实数范围内普遍成立，是进行代数式变形的根本依据。★2.实数大小比较的直接法：基于正负性判断。正数>0>负数；两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的反而小。★3.估算法（针对算术平方根）：若a<x<b（其中a,b为完全平方数），则√a<√x<√b。例如，由4<7<9，得2<√7<3。★4.平方法：适用于比较两个正实数a,b的大小。原理：若a>0,b>0，则a>b⇔a²>b²。操作时需确保两边为正，且平方后常转化为有理数比较。★5.数轴法：所有实数与数轴上的点一一对应。数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。这是比较大小的几何直观方法，体现了数形结合思想。▲6.计算器的使用：处理含无理数的混合运算时，利用计算器求近似值是实用技能。需注意运算顺序和精确度要求。▲7.方法选择策略：先判正负，再观特征。形式简单可估值，根式复杂思平方，几何直观想数轴。养成先分析后解题的习惯。▲8.实数系的序结构：实数集是有序的，即任意两个实数都可以比较大小。这一性质与实数在数轴上的稠密性、连续性密切相关。▲9.类比思想的应用：从有理数到实数，许多性质（如运算律、大小比较规则）得以保留和扩展，这是数学知识体系发展的典型模式。▲10.无限不循环小数的运算：虽然无法写出其全部小数位，但作为确定的实数，它们严格满足运算律。运算结果可能是有理数（如√2√2=2），也可能是新的无理数。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析。本节课预设的知识与技能目标达成度较高，通过层层任务驱动和大量实例操作，绝大多数学生能准确复述运算律并运用直接法、估算法解决基础比较问题。能力目标中，计算器使用熟练，但在灵活选择方法比较大小上，呈现出明显分化：约70%的学生能在提示下选择合适策略，独立分析能力有待后续持续培养。情感与思维目标在课堂探究氛围中有所浸润，学生对“数学规定背后的合理性”表现出兴趣，数形结合思想在任务四中得到有效体验。  （二）核心环节有效性评估。“任务二：验证运算律”虽耗时稍多，但至关重要。学生亲自动手计算、观察，使抽象的“律”变得可感知，有效降低了认知负荷。“任务五：方法优化选择”是培养高阶思维的关键，小组讨论中的观点交锋异常宝贵。例如，在比较“(√61)/2