2026年计算机编程算法与数据结构进阶习题

2026年计算机编程算法与数据结构进阶习题一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在快速排序中，选择枢轴元素的不同方法对排序效率的影响主要体现在何处？A.分区操作的复杂度B.稳定性C.最佳情况下的时间复杂度D.平均情况下的时间复杂度2.下列哪种数据结构最适合实现LRU（最近最少使用）缓存淘汰算法？A.队列B.哈希表C.双向链表D.二叉搜索树3.在平衡二叉搜索树（如AVL树）中，每次插入或删除操作可能导致的最坏情况旋转次数是多少？A.O(logn)B.O(n)C.O(nlogn)D.O(n²)4.以下哪种算法的时间复杂度在最好、最坏和平均情况下均为O(nlogn)？A.快速排序B.堆排序C.归并排序D.冒泡排序5.在图的邻接矩阵表示中，判断是否存在边(u,v)的时间复杂度是？A.O(1)B.O(logn)C.O(n)D.O(n²)6.以下哪种数据结构适合实现LRU缓存，且支持O(1)时间复杂度的插入和删除操作？A.哈希表+双向链表B.哈希表+队列C.堆+队列D.哈希表+二叉搜索树7.在Kruskal算法中，边的排序是按什么顺序进行的？A.任意顺序B.逆序C.非递减顺序D.非递增顺序8.在二叉搜索树中，中序遍历的结果是什么？A.任意顺序B.前序遍历顺序C.逆序遍历顺序D.非降序排列9.以下哪种数据结构适合实现拓扑排序？A.堆B.队列C.哈希表D.二叉搜索树10.在Dijkstra算法中，优先队列（最小堆）的作用是什么？A.存储所有顶点B.选择当前距离最短的顶点C.记录边的权重D.实现图的邻接表表示二、填空题（每空2分，共20分）1.在归并排序中，合并两个有序子数组的时间复杂度是_______。2.在堆排序中，堆的调整操作（建堆或维护堆）的时间复杂度是_______。3.在B树中，每个节点的关键字数量与其子节点数量之间的关系是_______。4.在图的深度优先搜索中，使用栈而不是队列的关键原因是_______。5.在Kahn算法中，拓扑排序的顺序是基于_______。6.在快速排序中，枢轴选择不当（如总是选择最小或最大元素）会导致最坏情况下的时间复杂度为_______。7.在哈希表中，解决冲突的两种主要方法是_______和_______。8.在AVL树中，任意节点的左右子树高度差的最大值是_______。9.在Dijkstra算法中，使用优先队列而不是数组的原因是_______。10.在图的广度优先搜索中，使用队列而不是栈的关键原因是_______。三、简答题（每题5分，共25分）1.简述快速排序和归并排序的优缺点，并说明在什么场景下选择哪种算法更合适。2.解释为什么哈希表的负载因子通常控制在0.7～0.8之间？3.描述二叉搜索树和AVL树的区别，并说明AVL树如何保持平衡。4.在图的邻接表和邻接矩阵表示中，分别说明其适用场景和优缺点。5.解释Kruskal算法和Prim算法的异同，并说明它们分别适用于哪种类型的图。四、算法设计题（每题10分，共30分）1.设计一个算法，在未排序的数组中找到第k个最大元素，要求时间复杂度为O(n)。2.实现一个LRU缓存，支持get和put操作，要求get和put的时间复杂度为O(1)。3.给定一个无向图，设计一个算法判断该图是否是二分图，并说明算法思路。五、编程题（每题15分，共30分）1.实现一个函数，输入一个字符串，返回该字符串中所有唯一字符的排序序列。示例：输入"abcabcbb"，输出"abc"。2.实现一个函数，输入一个链表，返回该链表的中间节点。要求时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。答案与解析一、单项选择题1.D解析：枢轴选择影响快速排序的平均时间复杂度，但对平均时间复杂度影响较小，关键在于避免最坏情况（如已排序数组选择第一个或最后一个元素）。2.C解析：双向链表支持O(1)的头部和尾部操作，结合哈希表可以实现O(1)的get和put。3.A解析：AVL树通过旋转操作保持平衡，每次插入或删除最多需要O(logn)次旋转。4.C解析：归并排序在最好、最坏和平均情况下均为O(nlogn)，而快速排序在最坏情况下为O(n²)。5.A解析：邻接矩阵中直接通过索引访问边是否存在，时间复杂度为O(1)。6.A解析：哈希表实现O(1)查找，双向链表实现O(1)插入和删除。7.C解析：Kruskal算法需要按边的权重非递减顺序排序，以构建最小生成树。8.D解析：中序遍历二叉搜索树得到非降序排列。9.B解析：拓扑排序需要按依赖关系排列，队列适合实现广度优先遍历。10.B解析：优先队列（最小堆）用于快速选择当前距离最短的顶点。二、填空题1.O(n)解析：归并排序合并两个长度为n/2的子数组需要O(n)时间。2.O(logn)解析：堆调整操作需要O(logn)时间。3.关键字数量是子节点数量的2-1（非根节点）或2（根节点）解析：B树设计保证节点利用率，减少树高度。4.栈支持后进先出，适合模拟深度优先搜索的递归过程解析：DFS通常用递归实现，递归调用栈符合后进先出特性。5.顶点的入度解析：Kahn算法通过不断移除入度为0的顶点实现拓扑排序。6.O(n²)解析：枢轴选择不当会导致分区不均匀，如已排序数组每次选择第一个元素。7.开放寻址法、链地址法解析：开放寻址法通过探测解决冲突，链地址法通过链表解决冲突。8.±1解析：AVL树通过旋转操作保证任意节点的左右子树高度差不超过1。9.避免重复扫描所有顶点解析：优先队列按距离排序，每次O(1)获取最小距离顶点。10.队列支持先进先出，适合模拟广度优先搜索解析：BFS需要按层次遍历，队列符合先进入先处理逻辑。三、简答题1.快速排序vs归并排序-快速排序：优点：平均O(nlogn)时间复杂度，原地排序（空间复杂度O(logn)）。缺点：最坏情况O(n²)，非稳定排序。适用场景：数据随机分布时效率高，适合原地排序。-归并排序：优点：稳定排序，保证O(nlogn)时间复杂度。缺点：需要额外空间O(n)，不适合原地排序。适用场景：需要稳定排序或链表排序时。2.哈希表负载因子负载因子α=填入元素数/哈希表大小。-太低：空间浪费，冲突概率低但利用率低。-太高：冲突增多，导致链表过长，查询时间退化为O(n)。-0.7～0.8：平衡冲突和空间利用率，实际应用中表现最佳。3.二叉搜索树vsAVL树-二叉搜索树：-不平衡时高度可达O(n)，最坏情况操作时间复杂度O(n)。-适合动态数据集但性能不稳定。-AVL树：-通过旋转操作保持平衡，高度限制在O(logn)。-所有操作保证O(logn)时间复杂度，但实现更复杂。4.邻接表vs邻接矩阵-邻接表：优点：空间复杂度O(V+E)，适合稀疏图（E远小于V²）。缺点：查询边是否存在时间复杂度O(E)，不如矩阵高效。适用场景：稀疏图、动态图。-邻接矩阵：优点：查询边是否存在时间复杂度O(1)，适合稠密图。缺点：空间复杂度O(V²)，适合稠密图。适用场景：稠密图、静态图。5.KruskalvsPrim算法-相同点：-都用于构建最小生成树（MST）。-都基于贪心策略。-不同点：-Kruskal：按边权重排序，适合无向稀疏图。-Prim：按顶点连接情况扩展，适合无向稠密图。适用场景：-Kruskal：边数量远小于顶点平方（E≪V²）。-Prim：顶点数量远小于边数量（E≈V²）。四、算法设计题1.第k个最大元素算法：-使用快速选择算法（Quickselect），基于快速排序分区思想。-选择pivot，将数组分为>pivot和<pivot两部分，根据k与分区位置调整递归范围。时间复杂度：平均O(n)，最坏O(n²)。2.LRU缓存实现：-哈希表记录键到双向链表节点的映射。-双向链表记录访问顺序，最近访问在头部，最久未访问在尾部。操作：-get(key)：查哈希表，若存在则移动到头部，返回值；否则返回-1。-put(key,value)：查哈希表，若存在则更新值并移动到头部；否则创建新节点，移动到头部，若超出容量则删除尾部节点并更新哈希表。3.二分图判断算法：-将图染色，初始任意顶点染第一种颜色，DFS遍历相邻顶点染另一种颜色。-若遇到相邻顶点颜色相同，则不是二分图。时间复杂度：O(V+E)。五、编程题1.唯一字符排序代码（Python示例）：pythondefunique_sorted(s):counter={}forcins:counter[c]=counter.get(c,0)+1return''.join(sorted(counter.keys()))示例：输入："abcabcbb"→输出："abc"。